ВТФ Доказательство клёвое весеннее

[Antoshka]

Geen в сообщении #1585992 писал(а):

Antoshka в сообщении #1585989 писал(а):

однако если вы возьмёте $a=2,b=4,c=64$, то $x=\frac{56}{16-2}=4$.

И как я должен угадывать что именно я должен и, что важнее, могу взять?

Ну вот смотрите, можно записать тождественное равенство $x^2-(a+b)x+8=(x^2-b(b+1)x+c)+(b^2-a)x+(8-c);$ раз это тождественное равенство, то общий корень икс этих двух квадратных уравнений тоже ему удовлетворяет, но по условию должно быть

Antoshka в сообщении #1585989 писал(а):

$$\left\{ \begin{array}{lcl} x^2-(a+b)x+8=0 \\ x^2-b(b+1)x+c=0 \\ \end{array} \right.$$

Это значит, что вышеупомянутое тождество можно переписать в виде $0=0+(b^2-a)x+(8-c)$, то есть получилось линейное уравнение с неравными нулю коэффициентами, поэтому этот общий корень икс из него определяется совершенно однозначно!

[Antoshka]

mathematician123 в сообщении #1585891 писал(а):

Вы можете написать разбор случая, когда $r_{60} < 0$ и $R_3 = r_6$?

Пишу разбор случая $r_{60}<0;$
Выше я показал, что (если кто не видел, то вот ссылка https://dxdy.ru/post1585844.html#p1585844) как и в случае $r_{60}>0$, который я тут изложил, нужно рассмотреть именно корень $T$, который фигурирует в лемме 2 (вот ссылка на неё https://dxdy.ru/post1583842.html#p1583842), при этом формулы из леммы 2 справедливы и для случая $r_{60}<0;$, ну разве что у меня там написано $\cos\gamma$, а позже по рекомендации mihaild я ввёл обозначение $T=\cos\gamma$ и ещё $r_3=r_4\pm r_{50}\sqrt{\left\lvert r_{60}\right\rvert}i$ раз $r_{60}<0$, то есть уже будут иметь место комплексные числа, причём понятно, что числа $r_5,r_6$ можно выбрать таким образом, что число $r_5\sqrt{r_6}=r_{50}\sqrt{\left\lvert r_{60}\right\rvert}$ будет свободно от квадратов. Когда я рассматривал случай $r_{60}>0$, я показал, что число $r_{60}$ является иррациональным, ибо оно делится ровно на $7^3$, значит $\sqrt{\left\lvert r_{60}\right\rvert}$ иррационально и $\sqrt{r_6}$ тоже. Это даёт возможность найти второй способ представления чисел $j_1,j_2$! Смотрите, из леммы 2 видно, что $\left\{ \begin{array}{lcl} j_1j_2\in\mathbb{Q} \\ j_1+j_2=(T+2/3)\in\mathbb{Q}\\ \end{array} \right.$ следовательно $j_1,j_2$ можно найти, записав их через теорему Виета, а затем подставив их как коэффициенты в квадратное уравнение! В силу леммы 2, каждое из них имеет иррациональную мнимую часть. В остальном, как и ранее, получаем два способа представления чисел $j_1,j_2$ по формуле Кардано и через корни квадратного уравнения! Остаётся только приравнять эти два способа представления чисел и решить получающуюся систему уравнений! Вот и все! Давайте рассмотрим какой нибудь случай. Например, такой $\left\{ \begin{array}{lcl} j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_3}}\\ j_1=R_1+R_2\sqrt{R_3}i \\ j_2=\frac{\sqrt[3]{r_3}}{r_2}\\ j_2=R_1-R_2\sqrt{R_3}i\\ r_3=r_4+r_5\sqrt{r_6}i \end{array} \right.$ как и раньше, уединяем кубический корень, возводим в куб, затем группируем мнимую и действительную часть числа отдельно. В результате получится система уравнений для действительной и система для мнимой частей
$\left\{ \begin{array}{lcl} r_1^3-r_2^3R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)r_4+r_2^3R_2r_5\sqrt{r_6}(3R_1^2-R_2^2R_3)\sqrt{R_3}=0 \\ r_4-r_2^3R_1(R_1^2+3R_2^2R_3)=0\\ \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{lcl} r_5+r_2^3R_2(3R_1^2-R_2^2R_3)=0 \\ r_5R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)+r_4R_2(3R_1^2-R_2^2R_3)=0 \\ \end{array} \right.$
Что через что выражать, учитывая, что $R_3=r_6$? Сначала выражаем $(3R_1^2-R_2^2R_1)R_2=\frac{-r_5}{r_2^3}$ из первого уравнения второй системы и подставляем его во второе уравнение второй системы. Получится, что $r_5R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)=\frac{r_4r_5}{r_2^3}\Rightarrow (R_1^2-3R_2^2R_3)=\frac{r_4}{r_2^3R_1};$
Из второго уравнения первой системы следует, что $R_1^2+3R_2^2R_3=\frac{r_4}{r_2^3R_1};$ вычтем друг из друга два только что полученных уравнения и получим $6R_2^2R_3=0\Rightarrow R_2=0;$ Получили противоречие! Остальные случаи разбираются аналогично!

[Rak so dna]

Antoshka в сообщении #1586082 писал(а):

Из второго уравнения первой системы следует, что $R_1^2+3R_2^2R_3=\frac{r_4}{r_2^3R_1};$

Нет не следует, проверяйте внимательно свои выкладки.

Antoshka в сообщении #1586082 писал(а):

Остальные случаи разбираются аналогично!

Не нужно вот таких фраз, ибо:
1) Раздражает
2) Все равно никто не поверит
3) Вы и сами это не проверяли

[Antoshka]

Rak so dna в сообщении #1586083 писал(а):

Нет не следует, проверяйте внимательно свои выкладки.

Я опечатался. Уже поправил

Rak so dna в сообщении #1586083 писал(а):

Не нужно вот таких фраз, ибо:
1) Раздражает
2) Все равно никто не поверит
3) Вы и сами это не проверяли

Я так написал, чтобы не перегружать читателя информацией. Если все окажется верным для этого случая, пойдём дальше

[Rak so dna]

Antoshka второе уравнение первой системы должно быть
$r_4-r_2^3R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)=0$

-- 20.03.2023, 11:50 --

Antoshka в сообщении #1586082 писал(а):

Давайте рассмотрим какой нибудь случай. Например, такой

$$\left\{ \begin{array}{lcl} j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_3}}\\ j_1=R_1+R_2\sqrt{R_3}i \\ j_2=\frac{\sqrt[3]{r_3}}{r_2}\\ j_2=R_1-R_2\sqrt{R_3}i\\ r_3=r_4+r_5\sqrt{r_6}i \end{array} \right.$$

Хочу сэкономить ваше время. Искать противоречие в этой системе - это все равно что искать противоречие в фразе: "Некоторое комплексное число представляется в виде $a+bi$". Что бы действительно появился шанс найти некое противоречие, вы обязаны использовать конкретику представления вашего $\cos\gamma$

[Antoshka]

У меня в течение недели были проблемы со входом на сайт, поэтому я решил дождаться пятницы. Когда я заходил на сайт, при переходе в любой раздел меня выкидывало почему-то

Rak so dna в сообщении #1586089 писал(а):

Antoshka второе уравнение первой системы должно быть

Да, вы правы. Ошибся. Просто в воскресенье мне показалось, что доказательство можно сократить, а я мнимую единицу не заметил, потому ошибся

Rak so dna в сообщении #1586089 писал(а):

Хочу сэкономить ваше время. Искать противоречие в этой системе - это все равно что искать противоречие в фразе: "Некоторое комплексное число представляется в виде $a+bi$".

Не совсем. Из этой системы получается полезное тождественное равенство, которое можно использовать для получения противоречия! Я эту систему потому и записал!

Rak so dna в сообщении #1586089 писал(а):

Что бы действительно появился шанс найти некое противоречие, вы обязаны использовать конкретику представления вашего $\cos\gamma$

mihaild рекомендовал обозначить $\cos\gamma=T$
Действительно, в правильном виде система выглядит так
$\left\{ \begin{array}{lcl} r_5+r_2^3R_2(3R_1^2-R_2^2R_3)=0 \\ r_5R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)+r_4R_2(3R_1^2-R_2^2R_3)=0 \\ \end{array} \right.$$$\left\{ \begin{array}{lcl} r_1^3-r_2^3R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)r_4+r_2^3R_2r_5\sqrt{r_6}(3R_1^2-R_2^2R_3)\sqrt{R_3}=0 \\ r_4-r_2^3R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)=0\\ \end{array} \right.$
Сразу бросается в глаза то, что эти системы записаны как будто бы относительно двух неизвестных $R_2(3R_1^2-R_2^2R_3)$ и $R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)$, потому надо их выразить из каждого уравнения и посмотреть, что получится! Рассматриваем при этом случай $R_3=r_6;$ итак, из первого уравнения первой системы следует $R_2(3R_1^2-R_2^2R_3)=\frac{-r_5}{r_2^3};\eqno[13]$
Из второго уравнения второй системы следует $R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)=\frac{r_4}{r_2^3};\eqno[14]$
Теперь поставляем полученные соотношения в первое уравнение второй системы и получаем интересное уравнение, при этом учитывая, что $R_3=r_6$ это уравнение позволит вывести противоречие в дальнейшем $r_1^3-r_4^2-r_5^2r_6=0;\eqno[15]$ напомню, что $r_6>0$ здесь. Его так выбрали! Раз сейчас рассматривается случай $r_{60}<0$, то имеют место комплексные числа, так почему бы не воспользоваться извлечением корня из комплексного числа? Тем более, что в случае комплексных чисел надо понять, какие случаи надо рассматривать, а какие нет. В данном случае корень кубический, потому будет три комплексных числа! Я начал рассматривать случай

Antoshka в сообщении #1586082 писал(а):

$$\left\{ \begin{array}{lcl} j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_3}}\\ j_1=R_1+R_2\sqrt{R_3}i \\ j_2=\frac{\sqrt[3]{r_3}}{r_2}\\ j_2=R_1-R_2\sqrt{R_3}i\\ r_3=r_4+r_5\sqrt{r_6}i \end{array} \right.$$

Надо вычислить $\sqrt[3]{r_3}=\sqrt[3]{r_4+r_5\sqrt{r_6}i};$ для этого находим модуль комплексного числа $r_3$, обозначаемый как $r$ и его аргумент $Arg(r_3)$! Итак, $r=\sqrt{r_4^2+r_5^2r_6};$ с учётом полученного тождества $\eqno[15]$ можно записать $r=r_1\sqrt{r_1};$ Теперь находим $Arg(r_3);$ вообще говоря, он может принимать разные значения в зависимости от того, каким является $r_4$, положительным или отрицательным! Пусть будет $r_4>0;$ тогда раз $r_5$ по лемме 2 положительное, то $Arg(r_3)$ принадлежит первой четверти! Это значит, что $Arg(r_3)=\arccos{\frac{r_4}{r_1\sqrt{r_1}}};$ тогда $\sqrt[3]{r_4+r_5\sqrt{r_6}i}=\sqrt[3]{r}(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}}})=\sqrt{r_1}(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}}});$ причём раз корень берётся кубический, то и $k_1$ принимает ровно три значения. Выгодно взять так $k_1={0;1;2}$ Почему я написал $k_1$? Потому что есть же два слагаемых $j_1,j_2$ и каждое из них содержит кубический корень из комплексного числа! Значит для $j_2$ будет так $\sqrt[3]{r_4+r_5\sqrt{r_6}i}=\sqrt[3]{r}(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}}})=\sqrt{r_1}(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}}});$ как и $k_1$, $k_2$ принимает ровно те же значения $k_2={0;1;2}$ дальше думаю понятно. Раз $(j_1+j_2)\in\mathbb{Q}$, то мнимая часть соответствующего комплексного числа должна быть равна нулю! То есть $j_1,j_2$ с учётом всего написанного выше принимают вид такой

$$\left\{ \begin{array}{lcl} j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt{r_1}\big(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}}}\big)}\\ j_2=\frac{\sqrt{r_1}\big(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}}}\big)}{r_2} \\ Arg(r_3)=\arccos{\frac{r_4}{r_1\sqrt{r_1}}} \ \ \eqno[16] \end{array} \right.$$

Вот и считаем теперь $j_1+j_2$, домножая на сопряженное выражение $j_1$ и приравнивая мнимую часть нулю! При этом в знаменателе $j_1$ получается тригонометрическое тождество. В результате получается уравнение такое $\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}} =\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}}$, из которого видно, что при $k_1=k_2$ получается верное равенство! Значит этот случай стоит рассматривать! Просто я в начале написал, что комплексные числа у слагаемых $j_1,j_2$ под кубическими корнями равны. Вот я и объяснил выше, почему именно такой случай является интересным. Продолжение в следующем сообщении!

[Rak so dna]

Antoshka я же вам указал, что в системе

$$\left\{ \begin{array}{lcl} j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_3}}\\ j_1=R_1+R_2\sqrt{R_3}i \\ j_2=\frac{\sqrt[3]{r_3}}{r_2}\\ j_2=R_1-R_2\sqrt{R_3}i\\ r_3=r_4+r_5\sqrt{r_6}i \end{array} \right.$$

вы не найдете противоречий в терминах этой же системы. Ведь если $\sqrt[3]{r_3}=r_2(R_1-R_2\sqrt{R_3}i)$, то $\frac{1}{\sqrt[3]{r_3}}=\frac{R_1+R_2\sqrt{R_3}i}{r_2(R_1^2+R_2^2R_3)}$ откуда $\frac{r_2^2(R_1^2+R_2^2R_3)}{r_2\sqrt[3]{r_3}}=R_1+R_2\sqrt{R_3}i$, поэтому, приняв $r_1=r_2^2(R_1^2+R_2^2R_3)$ мы гарантируем непротиворечивость системы. Возьмите, например, $R_1=r_4=0$, $r_1=r_2=r_5=r_6=R_2=R_3=1$ и убедитесь в этом.

[Antoshka]

Rak so dna в сообщении #1586538 писал(а):

Antoshka я же вам указал, что в системе

$$\left\{ \begin{array}{lcl} j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_3}}\\ j_1=R_1+R_2\sqrt{R_3}i \\ j_2=\frac{\sqrt[3]{r_3}}{r_2}\\ j_2=R_1-R_2\sqrt{R_3}i\\ r_3=r_4+r_5\sqrt{r_6}i \end{array} \right.$$

вы не найдете противоречий в терминах этой же системы. Ведь если $\sqrt[3]{r_3}=r_2(R_1-R_2\sqrt{R_3}i)$, то $\frac{1}{\sqrt[3]{r_3}}=\frac{R_1+R_2\sqrt{R_3}i}{r_2(R_1^2+R_2^2R_3)}$ откуда $\frac{r_2^2(R_1^2+R_2^2R_3)}{r_2\sqrt[3]{r_3}}=R_1+R_2\sqrt{R_3}i$, поэтому, приняв $r_1=r_2^2(R_1^2+R_2^2R_3)$ мы гарантируем непротиворечивость системы. Возьмите, например, $R_1=r_4=0$, $r_1=r_2=r_5=r_6=R_2=R_3=1$ и убедитесь в этом.

Вы абсолютно правы, я этого и не отрицаю! Действительно, чтобы получить противоречие для случая $r_{60}<0$ нужно получить какие-то факты, не связанные с описанной мною системой. Какие нужны соотношения, чтобы получить противоречие? Их нужно всего два!
1)$T$, которое по определению равно $T=\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}$, может быть только положительным! Это доказывается с помощью новых замен, которые здесь ещё не упоминались $\left\{ \begin{array}{lcl} x=R\sin t \\ y=R\cos t,R\in\mathbb{R}\\ \end{array} \right.$
2) Если посмотреть на лемму 2, то окажется, что $r_1,r_2$ это вовсе не какие-то там произвольные натуральные числа, а такие, что для них выполняется оценка $r_1\geqslant\frac{r_2^2}{9};$ Тут $T=\cos\gamma;$

Antoshka в сообщении #1583842 писал(а):

Лемма 2. Корень такой $\cos\gamma=j_1+j_2-\frac{2}{3}$, где

$$\left\{ \begin{array}{lcl} j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_3}}\\ j_2=\frac{\sqrt[3]{r_3}}{r_2} \ \ \eqno[10]\\ \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{lcl} r_1=16\sqrt[6]{7a}^2h_2^2+21(2a-FD)^2FD^3,\\ r_2=12\sqrt[6]{7a}h_2,\\ r_3=r_4+r_{50}\sqrt{r_{60}} \end{array} \right.$$

Итак, вот имеем уравнение $\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_4+ir_5\sqrt{r_6}}}+\frac{\sqrt[3]{r_4+ir_5\sqrt{r_6}}}{r_2}=T+\frac{2}{3};$ его можно рассмотреть как квадратное относительно $t=\sqrt[3]{r_4+ir_5\sqrt{r_6}};$ В равносильном виде оно имеет вид $\frac{r_1}{r_2t}+\frac{t}{r_2}=T+\frac{2}{3}\Rightarrow t^2-r_2(T+\frac{2}{3})t+r_1=0;$ Его дискриминант $D_c=r_2^2(T+\frac{2}{3})^2-4r_1<0$ потому что речь идёт про комплексные числа, значит $\left\lvert D_c\right\rvert=-r_2^2(T+\frac{2}{3})^2+4r_1\Rightarrow r_2^2(T+\frac{2}{3})^2=4r_1-\left\lvert D_c\right\rvert$ $\Rightarrow r_2(T+\frac{2}{3})=\sqrt{4r_1-\left\lvert D_c\right\rvert}\Rightarrow T+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{4r_1-\left\lvert D_c\right\rvert}}{r_2};\eqno[17]$
В равенстве $\eqno [17]$ квадратный корень взят с плюсом, так как установлено, что $T>0;$
Вот теперь в равенстве $\eqno[17]$ используем описанные мною факты, оценивая при этом минимум левой и максимум правой части! Итак, левая часть минимум $\frac{2}{3}$, а правая максимум $\frac{2\sqrt{r_1}}{r_1^2/9}$ то есть если посмотреть на соотношения леммы 2, то видно, что по самым скромным оценкам $r_1>37$

Antoshka в сообщении #1583842 писал(а):

Лемма 2. Корень такой $\cos\gamma=j_1+j_2-\frac{2}{3}$, где

$$\left\{ \begin{array}{lcl} j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_3}}\\ j_2=\frac{\sqrt[3]{r_3}}{r_2} \ \ \eqno[10]\\ \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{lcl} r_1=16\sqrt[6]{7a}^2h_2^2+21(2a-FD)^2FD^3,\\ r_2=12\sqrt[6]{7a}h_2,\\ r_3=r_4+r_{50}\sqrt{r_{60}} \end{array} \right.$$

Вот и получилось противоречие!

[mihaild]

Antoshka в сообщении #1587085 писал(а):

1)$T$, которое по определению равно $T=\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}$, может быть только положительным! Это доказывается с помощью новых замен

Это показывается элементарно из того, что $\left(\frac xz\right)^n + \left(\frac yz\right)^n = 1$, слева сумма двух убывающих по $n$ функций и $n > 2$, так что $\left(\frac xz\right)^n + \left(\frac yz\right)^n > 1$ (возможно и еще проще, но уж точно без всякой тригонометрии).

[Iosafat]

Я правильно понял? Есть противоречия, которые говорят, что у теоремы Ферма отрицательных быть не может?

[Rak so dna]

Antoshka в сообщении #1587085 писал(а):

а правая максимум $\frac{2\sqrt{r_1}}{r_1^2/9}$

это было бы верно, будь $r_2\geqslant\frac{r_1^2}{9}$, у вас же

Antoshka в сообщении #1587085 писал(а):

выполняется оценка $r_1\geqslant\frac{r_2^2}{9}$

-- 28.03.2023, 08:48 --

(Оффтоп)

Интересно, а существует ли на сегодня хоть какое-то элементарное доказательство ВТФ для третьей степени?

[Iosafat]

Rak so dna Постников М.М. "Теорема ферма", 1978.

[пианист]

У Постникова обычное доказательство Эйлера (допиленное), требует рассмотрения арифметики чисел $x + y\sqrt{-3} $, вряд ли его можно назвать элементарным.

[vxv]

Цена книги 20 коп.

[Iosafat]

vxv Извините, денег - нет.