ВТФ Доказательство клёвое весеннее

[Elfhybr]

Rak so dna в сообщении #1589136 писал(а):

Так смысл статьи — восстановить предположительно имеющееся у Эйлера элементарное доказательство.

О какой статье вы говорите? Я вот привел цитату из Эдвардса, где утверждается, что первоначальное доказательство Эйлера вероятно не спасаемо. Может быть вы знаете в каком другом источнике показано, как залатать его? И что значит восстановить, оно что было утеряно? И почему предположительно? Доказательство или есть или его нет.

[пианист]

(Оффтоп)

Elfhybr в сообщении #1589139 писал(а):

Доказательство или есть или его нет

https://youtu.be/UA6txlN1lbU
:))

[Elfhybr]

Пианист, в самую точку!)

[Shadow]

Rak so dna в сообщении #1589136 писал(а):

А что с ним не так?

В данной работе рассматриваются числа, представимые в квадратичной форме $u^3+3v^2$ и их свойства - произведение таких чисел есть такое число, частное таких чисел, если оно целое - тоже представимо в такой форме. Все правильно, используется замечательное тождество $(a^2+3b^2)(c^2+3d^2)=(ac\pm 3bd)^2+3(ad \mp bc)^2$.
Но я бы сказал даже насилуется, потому что автор делает фундаментаьную ошибку, что если $x^2+3y^2$ тому равно, то обязательно $x=ac\pm 3bd,y=ad \mp bc$ - только так и никак иначе.
Данное заблуждение принимает уже юмористический характер при доказателстве утверждения 6:
Если простое число представимо в такой форме, то такое представление - единственное. И доказывает:
Пусть $P=a^2+3b^2=p^2+3q^2$.
Раз они равны, то одно делится на другое, а значит их частное тоже представимо в такой форме, тоесть
$a^2+3b^2=(p^2+3q^2)(u^2+3v^2)$.
Далее автор замечает, что $u^2+3v^2=1$, a после детального рассмотрения - что $u=\pm 1, v=0$.
Подставляет, раскрывает по замечательной формуле и вот - $a=p,b=q$
Прекрасно! Вот только автор не заметил, что расширил доказательство для всех чисел, а не только для простых, потому что в данном "доказательстве" простота $P$ никому нахрен не нужна. Ну бред же.

(Пример нормального доказательства)

Пусть простое $p=a^2+3b^2=c^2+3d^2$

$\begin{cases} a^2 \equiv -3b^2 \pmod p \\c^2 \equiv -3d^2 \pmod p \end{cases}$

$\Longrightarrow a^2c^2 \equiv 9b^2d^2 \pmod p$

$\Longrightarrow p \mid (ac-3bd)(ac+3bd)$

Так как $p$ - простое, то хотя бы один из множителей должен нацело делится на $p$. Но $ac+3bd \le p$. Из AM-GM следует

$ac+3bd \le \dfrac{a^2+c^2}{2}+3\cdot \dfrac{b^2+d^2}{2}=\dfrac{a^2+3b^2+c^2+3d^2}{2}=\dfrac{p+p}{2}=p$

Причем равенство достигается только при $a=c,b=d$. Иначе не делится. Ну и тем более
$0<|ac-3bd|<p$

Откуда и единственность представления для простых чисел данного вида.

[пианист]

Shadow в сообщении #1589199 писал(а):

В данной работе рассматриваются

Уточните, пожалуйста, о какой работе речь.
Если речь о книге Эдвардса "Последняя теорема Ферма...", то что есть утверждение 6 - вроде там леммы так не нумеруются.

[Rak so dna]

пианист статья

-- 11.04.2023, 10:11 --

Shadow в сообщении #1589199 писал(а):

автор делает фундаментаьную ошибку, что если $x^2+3y^2$ тому равно, то обязательно $x=ac\pm 3bd,y=ad \mp bc$ - только так и никак иначе.

Я этого не вижу. Если речь идет об утверждении 5, то там вводятся подстановки $\frac{pa+3qb}{P}=u$, $\frac{pb-aq}{P}=v$, откуда, учитывая что $P=p^2+3q^2$ чисто алгебраически следует $a=pu-3qv$, $b=pv+qu$

(Оффтоп)

Давайте при обсуждении все-таки пользоваться авторскими обозначениями

[Shadow]

Rak so dna в сообщении #1589202 писал(а):

Если речь идет об утверждении 5

Нет, речь идет об утверждении 6:

$a^2+3b^2=(p^2+3q^2)(1^2+3\cdot 0^2) \Longrightarrow a=p\cdot 1\pm 3\cdot q \cdot 0, b= p\cdot 0 \mp q\cdot 1$

[Rak so dna]

Shadow ну так и в чем проблема? В утверждении 6 воспользовались утверждением 5 и получили то что получили.

[Shadow]

Rak so dna в сообщении #1589209 писал(а):

Shadow ну так и в чем проблема?

А проблема в том, что
$4^2+3\cdot 5^2=(8^2+3\cdot 3^2)(1^2+3\cdot 0^2)$
И при этом $4 \ne 8,5 \ne 3$
Наверное скажете, что $91$ не простое. И представимо двумя способами, потому и формула не работает. А если простое было представимо двумя способами???? Ведь это и нужно доказать!
И вообще утверждение 5 верно не толко для простых чисел, а для всех. И вообще это трудно читать, я кое-что зачеркнул.

[Rak so dna]

Shadow не понимаю что должен показать ваш пример, нарушающий условия утверждения 6. Судя по вашей презентации, вы не согласны все-таки с утверждением 5 ?

[Shadow]

Rak so dna в сообщении #1589216 писал(а):

Судя по вашей презентации, вы не согласны все-таки с утверждением 5 ?

Нет, я согласен. И с утверждением 6 я согласен. Не согласен с доказателственной частью. Я привел в оффтоп нормальное доказателство утверждения 6. Все эти утверждения известны и доказаны давным-давно. Их можно было использовать на халяву - в математике так принято, и сосредоточится на основном - исправление пробела в доказателстве Эйлера. Но я его не видел. Возможно, вина во мне - не знаю.

[Elfhybr]

Shadow в сообщении #1589199 писал(а):

В данной работе рассматриваются числа

Уточните, всё-таки, о какой работе идет речь. Это Эдвардс?

[пианист]

Elfhybr
Статья Ю.Ю.Мачиса https://www.mathnet.ru/php/archive.phtm ... n_lang=rus

[Elfhybr]

пианист в сообщении #1589234 писал(а):

Elfhybr
Статья Ю.Ю.Мачиса https://www.mathnet.ru/php/archive.phtm ... n_lang=rus

Спасибо!

[Elfhybr]

Shadow в сообщении #1589218 писал(а):

Нет, я согласен. И с утверждением 6 я согласен. Не согласен с доказателственной частью. Я привел в оффтоп нормальное доказателство утверждения 6. Все эти утверждения известны и доказаны давным-давно. Их можно было использовать на халяву - в математике так принято, и сосредоточится на основном - исправление пробела в доказателстве Эйлера. Но я его не видел. Возможно, вина во мне - не знаю.

Так вы всё-таки не видите в этой работе исправления того самого пробела о котором пишет Эдвардс? И что вы вообще думаете о возможности исправления этого пробела?