2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 18  След.
 
 Re: ВТФ Доказательство клёвое весеннее
Сообщение19.03.2023, 13:22 


13/05/16
355
Москва
Geen в сообщении #1585992 писал(а):
Antoshka в сообщении #1585989 писал(а):
однако если вы возьмёте $a=2,b=4,c=64$, то $x=\frac{56}{16-2}=4$.

И как я должен угадывать что именно я должен и, что важнее, могу взять?

Ну вот смотрите, можно записать тождественное равенство $x^2-(a+b)x+8=(x^2-b(b+1)x+c)+(b^2-a)x+(8-c);$ раз это тождественное равенство, то общий корень икс этих двух квадратных уравнений тоже ему удовлетворяет, но по условию должно быть
Antoshka в сообщении #1585989 писал(а):
$$\left\{
\begin{array}{lcl}
x^2-(a+b)x+8=0 \\
x^2-b(b+1)x+c=0 \\
\end{array}
\right.$$
Это значит, что вышеупомянутое тождество можно переписать в виде $0=0+(b^2-a)x+(8-c)$, то есть получилось линейное уравнение с неравными нулю коэффициентами, поэтому этот общий корень икс из него определяется совершенно однозначно!

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ Доказательство клёвое весеннее
Сообщение20.03.2023, 10:05 


13/05/16
355
Москва
mathematician123 в сообщении #1585891 писал(а):
Вы можете написать разбор случая, когда $r_{60} < 0$ и $R_3 = r_6$?

Пишу разбор случая $r_{60}<0;$
Выше я показал, что (если кто не видел, то вот ссылка https://dxdy.ru/post1585844.html#p1585844) как и в случае $r_{60}>0$, который я тут изложил, нужно рассмотреть именно корень $T$, который фигурирует в лемме 2 (вот ссылка на неё https://dxdy.ru/post1583842.html#p1583842), при этом формулы из леммы 2 справедливы и для случая $r_{60}<0;$, ну разве что у меня там написано $\cos\gamma$, а позже по рекомендации mihaild я ввёл обозначение $T=\cos\gamma$ и ещё $r_3=r_4\pm r_{50}\sqrt{\left\lvert r_{60}\right\rvert}i$ раз $r_{60}<0$, то есть уже будут иметь место комплексные числа, причём понятно, что числа $r_5,r_6$ можно выбрать таким образом, что число $r_5\sqrt{r_6}=r_{50}\sqrt{\left\lvert r_{60}\right\rvert}$ будет свободно от квадратов. Когда я рассматривал случай $r_{60}>0$, я показал, что число $r_{60}$ является иррациональным, ибо оно делится ровно на $7^3$, значит $\sqrt{\left\lvert r_{60}\right\rvert}$ иррационально и $\sqrt{r_6}$ тоже. Это даёт возможность найти второй способ представления чисел $j_1,j_2$! Смотрите, из леммы 2 видно, что $\left\{
\begin{array}{lcl}
 j_1j_2\in\mathbb{Q}  \\
 j_1+j_2=(T+2/3)\in\mathbb{Q}\\
\end{array}
\right.$ следовательно $j_1,j_2$ можно найти, записав их через теорему Виета, а затем подставив их как коэффициенты в квадратное уравнение! В силу леммы 2, каждое из них имеет иррациональную мнимую часть. В остальном, как и ранее, получаем два способа представления чисел $j_1,j_2$ по формуле Кардано и через корни квадратного уравнения! Остаётся только приравнять эти два способа представления чисел и решить получающуюся систему уравнений! Вот и все! Давайте рассмотрим какой нибудь случай. Например, такой $\left\{
\begin{array}{lcl}
  j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_3}}\\
  j_1=R_1+R_2\sqrt{R_3}i \\
  j_2=\frac{\sqrt[3]{r_3}}{r_2}\\
  j_2=R_1-R_2\sqrt{R_3}i\\
  r_3=r_4+r_5\sqrt{r_6}i
\end{array}
\right.$ как и раньше, уединяем кубический корень, возводим в куб, затем группируем мнимую и действительную часть числа отдельно. В результате получится система уравнений для действительной и система для мнимой частей
$\left\{
\begin{array}{lcl}
 r_1^3-r_2^3R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)r_4+r_2^3R_2r_5\sqrt{r_6}(3R_1^2-R_2^2R_3)\sqrt{R_3}=0 \\
 r_4-r_2^3R_1(R_1^2+3R_2^2R_3)=0\\
\end{array}
\right.$
$\left\{
\begin{array}{lcl}
 r_5+r_2^3R_2(3R_1^2-R_2^2R_3)=0 \\
 r_5R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)+r_4R_2(3R_1^2-R_2^2R_3)=0 \\
\end{array}
\right.$
Что через что выражать, учитывая, что $R_3=r_6$? Сначала выражаем $(3R_1^2-R_2^2R_1)R_2=\frac{-r_5}{r_2^3}$ из первого уравнения второй системы и подставляем его во второе уравнение второй системы. Получится, что $r_5R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)=\frac{r_4r_5}{r_2^3}\Rightarrow (R_1^2-3R_2^2R_3)=\frac{r_4}{r_2^3R_1};$
Из второго уравнения первой системы следует, что $R_1^2+3R_2^2R_3=\frac{r_4}{r_2^3R_1};$ вычтем друг из друга два только что полученных уравнения и получим $6R_2^2R_3=0\Rightarrow R_2=0;$ Получили противоречие! Остальные случаи разбираются аналогично!

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ Доказательство клёвое весеннее
Сообщение20.03.2023, 10:18 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
Antoshka в сообщении #1586082 писал(а):
Из второго уравнения первой системы следует, что $R_1^2+3R_2^2R_3=\frac{r_4}{r_2^3R_1};$
Нет не следует, проверяйте внимательно свои выкладки.

Antoshka в сообщении #1586082 писал(а):
Остальные случаи разбираются аналогично!
Не нужно вот таких фраз, ибо:
1) Раздражает
2) Все равно никто не поверит
3) Вы и сами это не проверяли

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ Доказательство клёвое весеннее
Сообщение20.03.2023, 10:28 


13/05/16
355
Москва
Rak so dna в сообщении #1586083 писал(а):
Нет не следует, проверяйте внимательно свои выкладки.
Я опечатался. Уже поправил
Rak so dna в сообщении #1586083 писал(а):
Не нужно вот таких фраз, ибо:
1) Раздражает
2) Все равно никто не поверит
3) Вы и сами это не проверяли
Я так написал, чтобы не перегружать читателя информацией. Если все окажется верным для этого случая, пойдём дальше

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ Доказательство клёвое весеннее
Сообщение20.03.2023, 10:53 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
Antoshka второе уравнение первой системы должно быть
$r_4-r_2^3R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)=0$

-- 20.03.2023, 11:50 --

Antoshka в сообщении #1586082 писал(а):
Давайте рассмотрим какой нибудь случай. Например, такой $$\left\{
\begin{array}{lcl}
 j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_3}}\\
 j_1=R_1+R_2\sqrt{R_3}i \\
 j_2=\frac{\sqrt[3]{r_3}}{r_2}\\
 j_2=R_1-R_2\sqrt{R_3}i\\
 r_3=r_4+r_5\sqrt{r_6}i
\end{array}
\right.$$
Хочу сэкономить ваше время. Искать противоречие в этой системе - это все равно что искать противоречие в фразе: "Некоторое комплексное число представляется в виде $a+bi$". Что бы действительно появился шанс найти некое противоречие, вы обязаны использовать конкретику представления вашего $\cos\gamma$

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ Доказательство клёвое весеннее
Сообщение24.03.2023, 10:04 


13/05/16
355
Москва
У меня в течение недели были проблемы со входом на сайт, поэтому я решил дождаться пятницы. Когда я заходил на сайт, при переходе в любой раздел меня выкидывало почему-то
Rak so dna в сообщении #1586089 писал(а):
Antoshka второе уравнение первой системы должно быть
Да, вы правы. Ошибся. Просто в воскресенье мне показалось, что доказательство можно сократить, а я мнимую единицу не заметил, потому ошибся
Rak so dna в сообщении #1586089 писал(а):
Хочу сэкономить ваше время. Искать противоречие в этой системе - это все равно что искать противоречие в фразе: "Некоторое комплексное число представляется в виде $a+bi$".

Не совсем. Из этой системы получается полезное тождественное равенство, которое можно использовать для получения противоречия! Я эту систему потому и записал!
Rak so dna в сообщении #1586089 писал(а):
Что бы действительно появился шанс найти некое противоречие, вы обязаны использовать конкретику представления вашего $\cos\gamma$

mihaild рекомендовал обозначить $\cos\gamma=T$
Действительно, в правильном виде система выглядит так
$\left\{
\begin{array}{lcl}
r_5+r_2^3R_2(3R_1^2-R_2^2R_3)=0 \\
r_5R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)+r_4R_2(3R_1^2-R_2^2R_3)=0 \\
\end{array}
\right.$$$\left\{
\begin{array}{lcl}
r_1^3-r_2^3R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)r_4+r_2^3R_2r_5\sqrt{r_6}(3R_1^2-R_2^2R_3)\sqrt{R_3}=0 \\
r_4-r_2^3R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)=0\\
\end{array}
\right.$
Сразу бросается в глаза то, что эти системы записаны как будто бы относительно двух неизвестных $R_2(3R_1^2-R_2^2R_3)$ и $R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)$, потому надо их выразить из каждого уравнения и посмотреть, что получится! Рассматриваем при этом случай $R_3=r_6;$ итак, из первого уравнения первой системы следует $R_2(3R_1^2-R_2^2R_3)=\frac{-r_5}{r_2^3};\eqno[13]$
Из второго уравнения второй системы следует $R_1(R_1^2-3R_2^2R_3)=\frac{r_4}{r_2^3};\eqno[14]$
Теперь поставляем полученные соотношения в первое уравнение второй системы и получаем интересное уравнение, при этом учитывая, что $R_3=r_6$ это уравнение позволит вывести противоречие в дальнейшем $r_1^3-r_4^2-r_5^2r_6=0;\eqno[15]$ напомню, что $r_6>0$ здесь. Его так выбрали! Раз сейчас рассматривается случай $r_{60}<0$, то имеют место комплексные числа, так почему бы не воспользоваться извлечением корня из комплексного числа? Тем более, что в случае комплексных чисел надо понять, какие случаи надо рассматривать, а какие нет. В данном случае корень кубический, потому будет три комплексных числа! Я начал рассматривать случай
Antoshka в сообщении #1586082 писал(а):
$$\left\{
\begin{array}{lcl}
 j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_3}}\\
 j_1=R_1+R_2\sqrt{R_3}i \\
 j_2=\frac{\sqrt[3]{r_3}}{r_2}\\
 j_2=R_1-R_2\sqrt{R_3}i\\
 r_3=r_4+r_5\sqrt{r_6}i
\end{array}
\right.$$
Надо вычислить $\sqrt[3]{r_3}=\sqrt[3]{r_4+r_5\sqrt{r_6}i};$ для этого находим модуль комплексного числа $r_3$, обозначаемый как $r$ и его аргумент $Arg(r_3)$! Итак, $r=\sqrt{r_4^2+r_5^2r_6};$ с учётом полученного тождества $\eqno[15]$ можно записать $r=r_1\sqrt{r_1};$ Теперь находим $Arg(r_3);$ вообще говоря, он может принимать разные значения в зависимости от того, каким является $r_4$, положительным или отрицательным! Пусть будет $r_4>0;$ тогда раз $r_5$ по лемме 2 положительное, то $Arg(r_3)$ принадлежит первой четверти! Это значит, что $Arg(r_3)=\arccos{\frac{r_4}{r_1\sqrt{r_1}}};$ тогда $\sqrt[3]{r_4+r_5\sqrt{r_6}i}=\sqrt[3]{r}(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}}})=\sqrt{r_1}(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}}});$ причём раз корень берётся кубический, то и $k_1$ принимает ровно три значения. Выгодно взять так $k_1={0;1;2}$ Почему я написал $k_1$? Потому что есть же два слагаемых $j_1,j_2$ и каждое из них содержит кубический корень из комплексного числа! Значит для $j_2$ будет так $\sqrt[3]{r_4+r_5\sqrt{r_6}i}=\sqrt[3]{r}(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}}})=\sqrt{r_1}(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}}});$ как и $k_1$, $k_2$ принимает ровно те же значения $k_2={0;1;2}$ дальше думаю понятно. Раз $(j_1+j_2)\in\mathbb{Q}$, то мнимая часть соответствующего комплексного числа должна быть равна нулю! То есть $j_1,j_2$ с учётом всего написанного выше принимают вид такой $$\left\{
\begin{array}{lcl}
 j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt{r_1}\big(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}}}\big)}\\ j_2=\frac{\sqrt{r_1}\big(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}}}\big)}{r_2} \\
Arg(r_3)=\arccos{\frac{r_4}{r_1\sqrt{r_1}}} \ \ \eqno[16]
\end{array}
\right.$$ Вот и считаем теперь $j_1+j_2$, домножая на сопряженное выражение $j_1$ и приравнивая мнимую часть нулю! При этом в знаменателе $j_1$ получается тригонометрическое тождество. В результате получается уравнение такое $\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}} =\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}}$, из которого видно, что при $k_1=k_2$ получается верное равенство! Значит этот случай стоит рассматривать! Просто я в начале написал, что комплексные числа у слагаемых $j_1,j_2$ под кубическими корнями равны. Вот я и объяснил выше, почему именно такой случай является интересным. Продолжение в следующем сообщении!

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ Доказательство клёвое весеннее
Сообщение24.03.2023, 11:58 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
Antoshka я же вам указал, что в системе $$\left\{
\begin{array}{lcl}
 j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_3}}\\
 j_1=R_1+R_2\sqrt{R_3}i \\
 j_2=\frac{\sqrt[3]{r_3}}{r_2}\\
 j_2=R_1-R_2\sqrt{R_3}i\\
 r_3=r_4+r_5\sqrt{r_6}i
\end{array}
\right.$$ вы не найдете противоречий в терминах этой же системы. Ведь если $\sqrt[3]{r_3}=r_2(R_1-R_2\sqrt{R_3}i)$, то $\frac{1}{\sqrt[3]{r_3}}=\frac{R_1+R_2\sqrt{R_3}i}{r_2(R_1^2+R_2^2R_3)}$ откуда $\frac{r_2^2(R_1^2+R_2^2R_3)}{r_2\sqrt[3]{r_3}}=R_1+R_2\sqrt{R_3}i$, поэтому, приняв $r_1=r_2^2(R_1^2+R_2^2R_3)$ мы гарантируем непротиворечивость системы. Возьмите, например, $R_1=r_4=0$, $r_1=r_2=r_5=r_6=R_2=R_3=1$ и убедитесь в этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ Доказательство клёвое весеннее
Сообщение27.03.2023, 22:19 


13/05/16
355
Москва
Rak so dna в сообщении #1586538 писал(а):
Antoshka я же вам указал, что в системе $$\left\{
\begin{array}{lcl}
 j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_3}}\\
 j_1=R_1+R_2\sqrt{R_3}i \\
 j_2=\frac{\sqrt[3]{r_3}}{r_2}\\
 j_2=R_1-R_2\sqrt{R_3}i\\
 r_3=r_4+r_5\sqrt{r_6}i
\end{array}
\right.$$ вы не найдете противоречий в терминах этой же системы. Ведь если $\sqrt[3]{r_3}=r_2(R_1-R_2\sqrt{R_3}i)$, то $\frac{1}{\sqrt[3]{r_3}}=\frac{R_1+R_2\sqrt{R_3}i}{r_2(R_1^2+R_2^2R_3)}$ откуда $\frac{r_2^2(R_1^2+R_2^2R_3)}{r_2\sqrt[3]{r_3}}=R_1+R_2\sqrt{R_3}i$, поэтому, приняв $r_1=r_2^2(R_1^2+R_2^2R_3)$ мы гарантируем непротиворечивость системы. Возьмите, например, $R_1=r_4=0$, $r_1=r_2=r_5=r_6=R_2=R_3=1$ и убедитесь в этом.

Вы абсолютно правы, я этого и не отрицаю! Действительно, чтобы получить противоречие для случая $r_{60}<0$ нужно получить какие-то факты, не связанные с описанной мною системой. Какие нужны соотношения, чтобы получить противоречие? Их нужно всего два!
1)$T$, которое по определению равно $T=\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}$, может быть только положительным! Это доказывается с помощью новых замен, которые здесь ещё не упоминались $\left\{
\begin{array}{lcl}
 x=R\sin t \\
 y=R\cos t,R\in\mathbb{R}\\
\end{array}
\right.$
2) Если посмотреть на лемму 2, то окажется, что $r_1,r_2$ это вовсе не какие-то там произвольные натуральные числа, а такие, что для них выполняется оценка $r_1\geqslant\frac{r_2^2}{9};$ Тут $T=\cos\gamma;$
Antoshka в сообщении #1583842 писал(а):
Лемма 2. Корень такой $\cos\gamma=j_1+j_2-\frac{2}{3}$, где $$\left\{
\begin{array}{lcl}
 j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_3}}\\
j_2=\frac{\sqrt[3]{r_3}}{r_2} \   \    \eqno[10]\\
\end{array}
\right. \left\{
\begin{array}{lcl}
 r_1=16\sqrt[6]{7a}^2h_2^2+21(2a-FD)^2FD^3,\\
 r_2=12\sqrt[6]{7a}h_2,\\
r_3=r_4+r_{50}\sqrt{r_{60}}
\end{array}
\right.$$

Итак, вот имеем уравнение $\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_4+ir_5\sqrt{r_6}}}+\frac{\sqrt[3]{r_4+ir_5\sqrt{r_6}}}{r_2}=T+\frac{2}{3};$ его можно рассмотреть как квадратное относительно $t=\sqrt[3]{r_4+ir_5\sqrt{r_6}};$ В равносильном виде оно имеет вид $\frac{r_1}{r_2t}+\frac{t}{r_2}=T+\frac{2}{3}\Rightarrow t^2-r_2(T+\frac{2}{3})t+r_1=0;$ Его дискриминант $D_c=r_2^2(T+\frac{2}{3})^2-4r_1<0$ потому что речь идёт про комплексные числа, значит $\left\lvert D_c\right\rvert=-r_2^2(T+\frac{2}{3})^2+4r_1\Rightarrow r_2^2(T+\frac{2}{3})^2=4r_1-\left\lvert D_c\right\rvert$ $\Rightarrow r_2(T+\frac{2}{3})=\sqrt{4r_1-\left\lvert D_c\right\rvert}\Rightarrow T+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{4r_1-\left\lvert D_c\right\rvert}}{r_2};\eqno[17]$
В равенстве $\eqno [17]$ квадратный корень взят с плюсом, так как установлено, что $T>0;$
Вот теперь в равенстве $\eqno[17]$ используем описанные мною факты, оценивая при этом минимум левой и максимум правой части! Итак, левая часть минимум $\frac{2}{3}$, а правая максимум $\frac{2\sqrt{r_1}}{r_1^2/9}$ то есть если посмотреть на соотношения леммы 2, то видно, что по самым скромным оценкам $r_1>37$
Antoshka в сообщении #1583842 писал(а):
Лемма 2. Корень такой $\cos\gamma=j_1+j_2-\frac{2}{3}$, где $$\left\{
\begin{array}{lcl}
 j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_3}}\\
j_2=\frac{\sqrt[3]{r_3}}{r_2} \   \    \eqno[10]\\
\end{array}
\right. \left\{
\begin{array}{lcl}
 r_1=16\sqrt[6]{7a}^2h_2^2+21(2a-FD)^2FD^3,\\
 r_2=12\sqrt[6]{7a}h_2,\\
r_3=r_4+r_{50}\sqrt{r_{60}}
\end{array}
\right.$$
Вот и получилось противоречие!

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ Доказательство клёвое весеннее
Сообщение27.03.2023, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8354
Цюрих
Antoshka в сообщении #1587085 писал(а):
1)$T$, которое по определению равно $T=\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}$, может быть только положительным! Это доказывается с помощью новых замен
Это показывается элементарно из того, что $\left(\frac xz\right)^n + \left(\frac yz\right)^n = 1$, слева сумма двух убывающих по $n$ функций и $n > 2$, так что $\left(\frac xz\right)^n + \left(\frac yz\right)^n > 1$ (возможно и еще проще, но уж точно без всякой тригонометрии).

 Профиль  
                  
 
 Нет отрицательных?
Сообщение28.03.2023, 01:30 
Аватара пользователя


21/01/23

159
Запорожье
Я правильно понял? Есть противоречия, которые говорят, что у теоремы Ферма отрицательных быть не может?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ Доказательство клёвое весеннее
Сообщение28.03.2023, 08:44 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
Antoshka в сообщении #1587085 писал(а):
а правая максимум $\frac{2\sqrt{r_1}}{r_1^2/9}$
это было бы верно, будь $r_2\geqslant\frac{r_1^2}{9}$, у вас же
Antoshka в сообщении #1587085 писал(а):
выполняется оценка $r_1\geqslant\frac{r_2^2}{9}$


-- 28.03.2023, 08:48 --

(Оффтоп)

Интересно, а существует ли на сегодня хоть какое-то элементарное доказательство ВТФ для третьей степени?

 Профиль  
                  
 
 Постников
Сообщение28.03.2023, 09:23 
Аватара пользователя


21/01/23

159
Запорожье
Rak so dna Постников М.М. "Теорема ферма", 1978.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ Доказательство клёвое весеннее
Сообщение28.03.2023, 10:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
У Постникова обычное доказательство Эйлера (допиленное), требует рассмотрения арифметики чисел $x + y\sqrt{-3} $, вряд ли его можно назвать элементарным.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ Доказательство клёвое весеннее
Сообщение28.03.2023, 11:39 
Аватара пользователя


15/09/13
387
г. Ставрополь
Цена книги 20 коп.

 Профиль  
                  
 
 Закончились
Сообщение28.03.2023, 11:41 
Аватара пользователя


21/01/23

159
Запорожье
vxv Извините, денег - нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 265 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 18  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group