ВТФ Доказательство клёвое весеннее

[mathematician123]

Rak so dna в сообщении #1587132 писал(а):

Интересно, а существует ли на сегодня хоть какое-то элементарное доказательство ВТФ для третьей степени?

В книге Г. Эдвардс "Последняя теорема Ферма" есть доказательство. Там тоже есть числа вида $x + y\sqrt{-3}$, но как я понял они там для удобства используются.

[пианист]

В книге Эвардса, насколько я понял, то же доказательство, что и у Постникова. Числа $x + y\sqrt{-3}$ используются, чтобы доказать, что если взаимно простые целые числа $a$, $b$ такие, что $a^2 + 3b^2$ куб целого числа, то найдутся такие целые $c$, $d$, что $a = c(c^2 - 9d^2)$, $b = 3d(c^2 - d^2)$ ($a^2 + 3b^2$ раскладывают в $(a + b\sqrt{-3})(a - b\sqrt{-3})$).
Насколько такое использование преследует лишь удобство, не могу сказать.

[mathematician123]

пианист в сообщении #1587294 писал(а):

Числа $x + y\sqrt{-3}$ используются, чтобы доказать, что если взаимно простые целые числа $a$, $b$ такие, что $a^2 + 3b^2$ куб целого числа, то найдутся такие целые $c$, $d$, что $a = c(c^2 - 9d^2)$, $b = 3d(c^2 - d^2)$

Да, но вроде там не используется и не доказывается каких-то специфических свойств этих чисел. Используются они для удобства: например, вместо системы $a = c(c^2 - 9d^2)$, $b = 3d(c^2 - d^2)$ можно написать короче $a + b\sqrt{-3} = (c + d\sqrt{-3})^3$.

[пианист]

Эйлер по-простому, из того, что $x^2 + 3 y^2$ куб, делает вывод, что и $x + y\sqrt{-3}$, и $x - y\sqrt{-3}$ кубы. Это неправильно, потому что единственности разложения на простые в числах $x + y\sqrt{-3}$ нет.
Эдвардс спасает положение введением хитрых дополнительных правил разложения, Постников вообще привлекает к рассмотрению расширение кубическими корнями из единицы и нормы.
Не вижу, как тут можно обойтись без привлечения дополнительных сущностей.

[Elfhybr]

пианист в сообщении #1587323 писал(а):

Эйлер по-простому, из того, что $x^2 + 3 y^2$ куб, делает вывод, что и $x + y\sqrt{-3}$, и $x - y\sqrt{-3}$ кубы. Это неправильно, потому что единственности разложения на простые в числах $x + y\sqrt{-3}$ нет.
Эдвардс спасает положение введением хитрых дополнительных правил разложения, Постников вообще привлекает к рассмотрению расширение кубическими корнями из единицы и нормы.
Не вижу, как тут можно обойтись без привлечения дополнительных сущностей.

Какие сущности вы имеете ввиду?

-- 29.03.2023, 21:03 --

пианист в сообщении #1587323 писал(а):

Эйлер по-простому, из того, что $x^2 + 3 y^2$ куб, делает вывод, что и $x + y\sqrt{-3}$, и $x - y\sqrt{-3}$ кубы. Это неправильно, потому что единственности разложения на простые в числах $x + y\sqrt{-3}$ нет.
Эдвардс спасает положение введением хитрых дополнительных правил разложения, Постников вообще привлекает к рассмотрению расширение кубическими корнями из единицы и нормы.
Не вижу, как тут можно обойтись без привлечения дополнительных сущностей.

Если и Эйлер не справился, значит,таки нет этого пресловутого элементарного доказательства для 3 степени...

[пианист]

Elfhybr в сообщении #1587407 писал(а):

Какие сущности вы имеете ввиду?

Понятия, выходящие за рамки школьной программы.

Elfhybr в сообщении #1587407 писал(а):

Если и Эйлер не справился, значит,таки нет этого пресловутого элементарного доказательства для 3 степени...

Не знаю. Мне элементарное доказательство ВТФ-3 неизвестно, но я особо никогда и не интересовался и не имею аргументов ни за, ни против существования такового.

[Elfhybr]

пианист в сообщении #1587414 писал(а):

Не знаю. Мне элементарное доказательство ВТФ-3 неизвестно, но я особо никогда и не интересовался и не имею аргументов ни за, ни против существования такового.

В принципе у Рибенбойма Эйлеровсккое с поправками вполне себе.

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1587132 писал(а):

Интересно, а существует ли на сегодня хоть какое-то элементарное доказательство ВТФ для третьей степени?

Похоже, что существует

[пианист]

Ну, так себе, элементарность, в смысле.
Конечно, числа $x^2 + 3y^2$ "натуральнее", чем числа $x + y\sqrt{-3}$, да, но по-любому остается самая суть: мы вводим некие (новые) штуки, устанавливаем правила обращения с этими штуками, и только потом, на основании этих правил доказываем.
Я бы такое элементарным не счел, но это, конечно, дело вкуса.

[Rak so dna]

Ну не знаю... Вот основная лемма:

Пусть $a$ и $b$ – такие взаимно простые числа, что $a^2 + 3b^2$ является кубом. Тогда существуют такие целые $p$ и $q$, что $a=p^3-9pq^2$, $b=3p^2q-3q^3$.

И какие такие "новые штуки" вводятся при ее доказательстве? Доказываются некоторые свойства чисел вида $a^2 + 3b^2$ исключительно школьными методами. Без всяких квадратичных вычетов, символов Лежандра, комплексных чисел, девизоров и прочих радостей. Причем додуматься, что нужно рассматривать числа вида именно $a^2 + 3b^2$, имхо, не сложно (ну это как бы прямо в условии есть). Так что если уж такое доказательство нельзя назвать элементарным, то непонятно какое вообще можно...

[Elfhybr]

Rak so dna в сообщении #1588363 писал(а):

Похоже, что существует

Спасибо! Похоже на то!

[Elfhybr]

Rak so dna в сообщении #1588500 писал(а):

И какие такие "новые штуки" вводятся при ее доказательстве? Доказываются некоторые свойства чисел вида $a^2 + 3b^2$ исключительно школьными методами. Без всяких квадратичных вычетов, символов Лежандра, комплексных чисел, девизоров и прочих радостей. Причем додуматься, что нужно рассматривать числа вида именно $a^2 + 3b^2$, имхо, не сложно (ну это как бы прямо в условии есть). Так что если уж такое доказательство нельзя назвать элементарным, то непонятно какое вообще можно...

ВОт странно...Если признают доказательство abc-гипотезы Мотидзуки, то доказательство ВТФ для 6 степени и выше станет до неприличия элементарным. Но не доказательство Уайлза, не abc-гипотеза не охватывает 3 степени, а значит не могут считаться полными...Может быть существует и по настоящему полное доказательство ВТФ в общем виде, без всяких исключений: типа ну зачем доказывать 3 степень, её же доказал Эйлер, правда он там притянул кое-что за уши, и вообще вроде Куммер потом исправлял все его огрехи итд итп.

[Shadow]

Rak so dna в сообщении #1588363 писал(а):

Похоже, что существует

Все, что там написано до и после Утверждения 4 - детские упражнения. (но правильно все). А доказательство в данной работе не приводится.
Нужно доказать, что если $\gcd(a,b)=1, \;\;3 \not |a$ то

1. Все простые нечетные делители $a^2+3b^2$ имеют вид $6k+1$
2. Все простые вида $6k+1$ представимы в виде $p^2+3q^2$

Приводятся ссылки на
[1] H. Edwards, Fermat’s Last Theorem, Springer, New York, 2000.
[2] Г. Эдвардс, Последняя теорема Ферма, Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел, Мир, М., 1980.

Первое так и не нашел в свободном доступе, почитал второе - там в виде "доказательства" приводится табличка 1.4

Цитата:

Все числа, меньшие 256, которые можно представить в виде x^2 + 3y^2. Простые числа выделены жирным шрифтом

И само доказательство ввело меня в ступор:

Цитата:

Изучение этой таблицы показывает, что опять данное число можно представить в виде $x^2 + 3y^2$ тогда и только тогда, когда оно является (1) квадратом, или (2) простым числом такого вида, или (3) произведением таких чисел. Далее, легко заметить, что все входящие в таблицу простые числа, кроме числа $3 = 0^2 + 3\cdot 1^2$, которое явно является здесь исключительным, отличаются одно от другого на кратные 6, а на самом деле каждое из них на единицу больше, чем некоторое кратное 6. Поскольку все простые вида $6n + 1$ рано или поздно окажутся в этой таблице (но не вообще все числа такого вида, так как отсутствует 55), то естественно догадаться, что любое простое, отличное от 3, можно представить в виде $x^2 + 3y^2$ тогда и только тогда, когда оно имеет вид $6n + 1$.

[пианист]

Shadow в сообщении #1588757 писал(а):

там в виде "доказательства" приводится табличка 1.4

Это же не доказательство, это доводы уровня "здравый смысл", в какую сторону стоит копать дальше.
Доказательство леммы в п.2.5.

[Shadow]

пианист в сообщении #1588759 писал(а):

Доказательство леммы в п.2.5.

Точнее 2.4 (6') на стр. 69 из этого источника.