ВТФ Доказательство клёвое весеннее

[Antoshka]

mihaild в сообщении #1585504 писал(а):

Можете всё-таки сказать "да или нет" - получается ли у Вас $e+d=FD\sqrt[6]{7a}-(a-FD)\cos\gamma \sqrt[6]{7a} $. Я не спрашиваю обоснование, просто получается ли так у вас.

Да так

mihaild в сообщении #1585504 писал(а):

Короткие выражения с небольшим числом переменных:)
Вообще, как правило, лучше, чтобы рассуждение явно делилось на этапы, в каждом из которых как можно более простые условие и результат, и следующие этапы из предыдущих используют только эти результаты, а не внутренние детали.
Но это пожелание. Что совсем критично - чтобы все переходы были обоснованы. Вот то, что ваши два уравнения эквивалентны - это на первый взгляд совсем неочевидно, и даже непонятно, как думать. Если они нужны Вам оба - то стоит дать им разные номера (вообще номера можно не экономить, их много разных, и, в отличии от переменных, даже сотня номеров не представляет особой проблемы для чтения).

Понял

mihaild в сообщении #1585504 писал(а):

Только наверное не $Q_1$ и $Q_2$, а $-Q_1 - Q_2$ и $Q_1 \cdot Q_2$.
Да, так можно, просто это скорее нахождение корней системы сведением к квадратному уравнению по теореме Виета. Но неважно.

Ок

mathematician123 в сообщении #1585503 писал(а):

Являются ли числа $j_1, j_2$ вещественными? Или они могут быть комплексными?

Вещественные они. Вы из Питера судя по всему

[Rak so dna]

Antoshka в сообщении #1583842 писал(а):

В получившейся системе $\eqno[7]$ вычтем и сложим первое уравнение с третьим. Это даст возможность найти сумму и разность чисел $e,d$. Получается, что $\left\{ \begin{array}{lcl} e-d=(a-FD)\cos\gamma \sqrt[6]{7a},\\ e+d=FD\sqrt[6]{7a}-(a-FD)\cos\gamma \sqrt[6]{7a}\\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} e=FD\sqrt[6]{7a}/2, \\ d=\frac{\sqrt[6]{7a}}{2}-(a-FD)\cos\gamma\sqrt[6]{7a}\ \ \ \eqno[8]\ \end{array} \right.$
Надо упростить систему $\eqno[8]$.

Должно быть $d=FD\frac{\sqrt[6]{7a}}{2}-(a-FD)\cos\gamma\sqrt[6]{7a}$

[Antoshka]

Rak so dna в сообщении #1585508 писал(а):

Должно быть $d=FD\frac{\sqrt[6]{7a}}{2}-(a-FD)\cos\gamma\sqrt[6]{7a}$

Благодарю. Вы правы. Посмотрел у себя в тетради и понял, что забыл написать $FD$. Доказательство остаётся в силе, ошибки нет

-- 15.03.2023, 14:35 --

mihaild в сообщении #1585496 писал(а):

Просто если да, то вместе с $[8]$ это влечёт $FD = 1$, соответственно $a - b = 1$.

Я опечатался, когда писал решения системы. Ничего подобного не будет, я опечатался, но ошибки это не влечет

-- 15.03.2023, 14:51 --

Вот правильный вариант

Rak so dna в сообщении #1585508 писал(а):

Должно быть $d=FD\frac{\sqrt[6]{7a}}{2}-(a-FD)\cos\gamma\sqrt[6]{7a}$

[mihaild]

Rak so dna, хорошая находка.
Antoshka, ну знаете, если рассуждение написано с таким уровнем подробности, что даже не видно, где это равенство используется (и соответственно нельзя проверить, используется ли правильная или неправильная версия), то проверять его бессмысленно.

Antoshka в сообщении #1585384 писал(а):

Просто я посмотрел на все 3 корня, найденные с помощью wolfram mathematica, и сразу понял, какие комплексные, о чем написал в доказательстве

А как именно Вы это поняли? Я честно вбил Ваше уравнение, и вольфрам, закономерно, выдал три корня на два экрана каждый, из которых один очевидно вещественный, а два других - совершенно непонятно.

[Antoshka]

mihaild в сообщении #1585513 писал(а):

Antoshka, ну знаете, если рассуждение написано с таким уровнем подробности, что даже не видно, где это равенство используется (и соответственно нельзя проверить, используется ли правильная или неправильная версия), то проверять его бессмысленно.

Понял. Спасибо за помощь

[mathematician123]

Antoshka в сообщении #1585506 писал(а):

Вещественные они.

Вещественность $j_1$, $j_2$ равносильна неравенству $r_{60} > 0$. Вы умеете его доказывать? $r_{60} = r_{61} - r_{62}$. При этом $r_{61}$ и $r_{62}$ задаются громоздкими формулами. Так что сходу без пояснений не ясно выполняется ли это неравенство.

[Antoshka]

mathematician123 в сообщении #1585517 писал(а):

Вещественность $j_1$, $j_2$ равносильна неравенству $r_{60} > 0$. Вы умеете его доказывать? $r_{60} = r_{61} - r_{62}$. При этом $r_{61}$ и $r_{62}$ задаются громоздкими формулами. Так что сходу без пояснений не ясно выполняется ли это неравенство

В доказательстве я написал, что доказывал лемму о корне кубического уравнения с помощью wolfram mathematica. Программа записала все корни по формуле Кардано, потому сразу неравенство $r_{60}>0$ стало очевидным, то есть два корня комплексные, один действительный

[Rak so dna]

Antoshka в сообщении #1585528 писал(а):

Программа записала все корни по формуле Кардано, потому сразу неравенство $r_{60}>0$ стало очевидным, то есть два корня комплексные, один действительный

Antoshka проведите аналогичные рассуждения для уравнения $x^3-ax-1=0$. Поиграйтесь с различными $a$ и увидите кое-что интересное.

[mihaild]

Antoshka в сообщении #1585528 писал(а):

В доказательстве я написал, что доказывал лемму о корне кубического уравнения с помощью wolfram mathematica. Программа записала все корни по формуле Кардано, потому сразу неравенство $r_{60}>0$ стало очевидным, то есть два корня комплексные, один действительный

А можете точно процитировать выхлоп?
Потому что если попросить вольфрам записать корни кубического уравнения в общем виде, то он радостно выражает заведомо вещественный корень через квадратные корни из чисел, которые могут оказаться отрицательными. Ну и естественно в выражении для возможно комплексных корней всегда будет $i$, независимо от того, являются ли эти корни на самом деле чисто вещественными, или нет.

Вообще, будет гораздо проще понять, о чем речь, если Вы явно напишете, какие именно манипуляции проводили с помощью вольфрама - что в точности давали на вход, что в точности давали на выход; если выход одного подсчета сразу давали на вход другому, то промежуточный результат выписывать не обязательно. И отдельно - как именно Вы интерпретировали каждый результат. Потому что сейчас получается, что любой читающий будет почти все усилия тратить на абсолютно бесполезную деятельность по проверке, способен ли вольфрам переварить длинные формулы (итак понятно, что способен). Потому что выделить, что конкретно Вы с ними делаете, и в какой момент что куда подставляется, и что из этого получается с помощью просто алгебраических преобразований, сделанных машиной, а что - Вашими рассуждениями - невозможно.

[Antoshka]

mihaild в сообщении #1585533 писал(а):

Вообще, будет гораздо проще понять, о чем речь, если Вы явно напишете, какие именно манипуляции проводили с помощью вольфрама - что в точности давали на вход, что в точности давали на выход; если выход одного подсчета сразу давали на вход другому, то промежуточный результат выписывать не обязательно. И отдельно - как именно Вы интерпретировали каждый результат. Потому что сейчас получается, что любой читающий будет почти все усилия тратить на абсолютно бесполезную деятельность по проверке, способен ли вольфрам переварить длинные формулы (итак понятно, что способен)

Специально для вас создам файл и выложу. Заодно посмотрите, к чему приводит минимальное количество неизвестных, как вы хотите

-- 16.03.2023, 10:07 --

Rak so dna в сообщении #1585531 писал(а):

Antoshka проведите аналогичные рассуждения для уравнения $x^3-ax-1=0$. Поиграйтесь с различными $a$ и увидите кое-что интересное.

Ничего интересного не увидел

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1585531 писал(а):

Antoshka проведите аналогичные рассуждения для уравнения $x^3-ax-1=0$. Поиграйтесь с различными $a$ и увидите кое-что интересное.

Antoshka в сообщении #1585590 писал(а):

Ничего интересного не увидел

Скармливаем уравнение CAS, получаем:
$x_1=\left(\frac{\sqrt{27-4a^3}}{2\cdot3^{3/2}}+\frac12\right)^{1/3}+\frac{a}{3\left(\frac{\sqrt{27-4a^3}}{2\cdot3^{3/2}}+\frac12\right)^{1/3}}$ остальные корни содержат $i$. Т.е.

Antoshka в сообщении #1585528 писал(а):

Программа записала все корни по формуле Кардано, потому сразу неравенство $r_{60}>0$ стало очевидным, то есть два корня комплексные, один действительный

В нашем случае $r_{60}=27-4a^3$. Но, например при $a=2$ имеем $r_{60}<0$. Поэтому ваше рассуждение не работает, на что уже не раз указывал mihaild.

[Antoshka]

Rak so dna в сообщении #1585593 писал(а):

Скармливаем уравнение CAS, получаем:
$x_1=\left(\frac{\sqrt{27-4a^3}}{2\cdot3^{3/2}}+\frac12\right)^{1/3}+\frac{a}{3\left(\frac{\sqrt{27-4a^3}}{2\cdot3^{3/2}}+\frac12\right)^{1/3}}$ остальные корни содержат $i$. Т.е.

Rak so dna в сообщении #1585593 писал(а):

В нашем случае $r_{60}=27-4a^3$. Но, например при $a=2$ имеем $r_{60}<0$. Поэтому ваше рассуждение не работает, на что уже не раз указывал mihaild.

Хорошо, я понял, в чем у вас проблема, поэтому подготовлю подробное описание, чтобы вы поняли.

[Rak so dna]

Antoshka лично мне не нужно никаких "описаний". Чтобы двигаться дальше, вам нужно ответить на вопрос mathematician123:

mathematician123 в сообщении #1585517 писал(а):

Вещественность $j_1$, $j_2$ равносильна неравенству $r_{60} > 0$. Вы умеете его доказывать?

Очевидно, что пока-что не умеете, т.к. просто разглядывая формулы CAS этого сделать не получится, что вам и было показано.

[Elfhybr]

mihaild в сообщении #1585513 писал(а):

Antoshka в сообщении #1585384

писал(а):
Просто я посмотрел на все 3 корня, найденные с помощью wolfram mathematica, и сразу понял, какие комплексные, о чем написал в доказательстве А как именно Вы это поняли? Я честно вбил Ваше уравнение, и вольфрам, закономерно, выдал три корня на два экрана каждый, из которых один очевидно вещественный, а два других - совершенно непонятно.

Является ли вообще для таких случаев wolfram mathematica полноценным инструментом для использования в решении задачи?

[mihaild]

Elfhybr в сообщении #1585730 писал(а):

Является ли вообще для таких случаев wolfram mathematica полноценным инструментом для использования в решении задачи?

Инструментом, конечно, является. Например посчитать значение какого-нибудь интеграла или сумму ряда, обратную матрицу и т.д. почти всегда удобнее на компьютере, чем руками. Плюс можно получить численную прикидку (иногда бывает нужно, если хотим понять, в ту ли вообще сторону смотрим).
Оперировать с километровыми формулами, не путаясь, оно, конечно, тоже умеет, но в этом как правило мало смысла, потому что получившееся на выходе выражение, как правило, математик, понимающий, что происходит на каждом шаге, мог бы свернуть в процессе вывода, а вот итогового крокодила - не получится. Самостоятельно понять, где что должно свернуться, чтобы что-то получилось целым, машина, как правило, не в состоянии, а чтобы подсказать ей, нужно самому понимать, что происходит, чему длинные выражения не способствуют.