ВТФ Доказательство клёвое весеннее

[Antoshka]

dick в сообщении #1585371 писал(а):

Вот Ваша сумма кубов: $m^3+w^3=3A(3A^2-2mw)$;
Скобка не делится на 3, значит сумма кубов делится на 9 только если $A$ делится на 3. Иначе говоря, $A$ делится на 3, потому что $A$ делится на 3.

Вообще-то если $3\mid (m+w)$, то $9\mid (m^3+w^3)$, что устанавливается разложением суммы кубов на множители, а что при этом в правой части стоит, вообще не имеет значения!

mihaild в сообщении #1585371 писал(а):

Вот к этому ИМХО цепляться не надо. Это лирика, которая (вроде бы) никак не используется. Иногда такое неформальное указание "куда мы вообще идем" помогает, в данном случае нет, но это не критично.

В данном случае именно ПОМОГАЕТ, так как это объясняет, почему общий случай надо рассматривать именно начиная с показателя семь!! Я уже ответил другому участнику

Antoshka в сообщении #1585348 писал(а):

Близкое к тождественному это значит, что если не получится выразить переменную $D$ в явном виде с помощью соотношений $\eqno[2]$, то останавливаемся на полученных результатах, то есть соотношениях три. Что я и сделал. Вот вам кстати ответ на вопрос, почему общий случай начинается именно с показателя 7. Для кубов нужна лемма специальная $N_1=N_2 3^{1/3}+N_3 3^{2/3}, N_i\in\mathbb{N}$, которая на общий случай не годится. Для показателя 5 переменная $D$ тоже есть, но она там выражается в явном виде, то есть показатель 5 это случай тоже отдельный

mihaild в сообщении #1585365 писал(а):

Но нужно, чтобы можно было легко найти переменную, и что про неё уже было доказано.

Понял, значит новые переменные надо выделять отдельной строкой. Я просто жирным выделил их и думал, что этого достаточно

mihaild в сообщении #1585365 писал(а):

И я даже не понимаю, где именно. В смысле условие о четности $z$ должно было быть где-то выше, или оно на самом деле дальше не нужно, или еще что-то?

Вы писали, что у меня две леммы под номером 2. Я ответил, что это я опечатался

mihaild в сообщении #1585365 писал(а):

Видите, Вы даже их перечислить не можете:) Беглый взгляд дает еще как минимум $\gamma$ (кстати вот пример - вам вроде бы сама $\gamma$ не нужна, только косинус от неё - ну и обозначили бы косинус за переменную; мелочь, но неприятно), $F$, $\varepsilon_{1,2,3,4}$, $b$, $e$.

Те переменные, которые вы перечислили, используются в доказательстве всего раз, так что их сократить никак не получится. Обозначить косинус как переменную я бы не додумался никогда, так как никогда не думал, что угол может кому-то мешать

mihaild в сообщении #1585365 писал(а):

Читал, конечно. Я же говорю - это наверное очевидно, но раз уж я туплю, то можете или расписать, или сослаться - почему если $z$ делится на $7$, $x, y, z$ - взаимно просты и $x^7 + y^7 = z^7$, то $z - x$ - точная седьмая степень?

Ваш коллега Someone расписывал эти соотношения, известные как формулы Абеля. Даю ссылку на его сообщение https://dxdy.ru/post12465.html#p12465

mihaild в сообщении #1585365 писал(а):

Нет, это значит что общим делителем у них может быть единица.

Неясно выразился. Если у них и есть общий делитель, то это может быть только показатель степени и больше ничего

mihaild в сообщении #1585365 писал(а):

Не знаю такого умолчания. Более того, нигде не только не доказано, но даже и не сформулировано что $r_{60}$ не является точным квадратом.

До меня только сейчас дошло. Нужно, чтобы доказательство состояло из лемм таким образом, что все свойства переменных, которые в них есть, должны быть выписаны в явном виде, вне зависимости от того, что написано перед леммами. Видимо поэтому вы не видите никакого умолчания.

dick в сообщении #1585371 писал(а):

А в результате непонятно, о каком уравнении речь.
(кстати, Вы же в курсе, что даже если в формуле Кардано получились выражения, содержащие комплексные радикалы, то это не означает, что корни уравнения не-вещественные? просто у Вас есть утверждение что два других корня неизвестно какого уравнения комплексные)

Да в курсе конечно. Просто я посмотрел на все 3 корня, найденные с помощью wolfram mathematica, и сразу понял, какие комплексные, о чем написал в доказательстве

mihaild в сообщении #1585365 писал(а):

Вообще, если уж Вы считали всё в мат. пакете - можете это просто собрать в минимальное количество скриптов, прямо как считали (Вы же не перевбивали решение одного уравнения в другое, а сохраняли промежуточные варианты)? Это очень сильно упростит поиск ошибки

То есть вы реально думали, что я корни кубического уравнения находил вручную? Нет конечно. Только с помощью компьютера. Вы имеете ввиду выложить сюда файл с вычислениями?

[mihaild]

Antoshka в сообщении #1585384 писал(а):

данном случае именно ПОМОГАЕТ, так как это объясняет, почему общий случай надо рассматривать именно начиная с показателя семь!

Ну кому-то может и помогает. Само по себе это объяснение даже не особо нужно, хотите рассматривать показатель семь, потому что для меньших Ваши рассуждения не работают - пожалуйста, имеете право, даже объяснять, почему они не работают для меньших показателей, совсем не обязательно (ну разве что может возникнуть вопрос, где рассуждение ломается для показателя $2$, но тут пока это не нужно).

Antoshka в сообщении #1585384 писал(а):

Даю ссылку на его сообщение post12465.html#p12465

Ага, я очередной раз забыл что для доказательства $z - y = u^n$ нужен фундаментальный факт что $x - y + y = x$.

(Оффтоп)

Скорее всего это опять всплывает через пару лет, и я к тому времени опять забуду. Хотя доказательство есть у Постникова, может быть вспомню посмотреть там.

Antoshka в сообщении #1585384 писал(а):

До меня только сейчас дошло. Нужно, чтобы доказательство состояло из лемм таким образом, что все свойства переменных, которые в них есть, должны быть выписаны в явном виде, вне зависимости от того, что написано перед леммами.

Да, это очень правильное наблюдение. Именно такой стиль позволяет читать и проверять рассуждения, которые не получается удержать в голове целиком: разбиваем его на части, и каждую часть проверяем отдельно.

Antoshka в сообщении #1585384 писал(а):

То есть вы реально думали, что я корни кубического уравнения находил вручную?

Ну мало ли, всякое бывает. Проблема автоматических символьных вычислений в том, что небольшая неаккуратность где-то приводит к тому, что система делает очень странные предположения, и упрощает ответ до неверности. Ну там например считает что корни различны и делит на их разность. Поэтому нужно либо тщательно проверять результат (а для этого он должен быть выписан), либо смотреть, как именно велись вычисления.

(Оффтоп)

Я когда-то считал по формуле Феррари какие-то корни, потом подставлял в интеграл, всё руками. Ответ, естественно, получился никак не связанный с правильным.

Antoshka в сообщении #1585384 писал(а):

Вы имеете ввиду выложить сюда файл с вычислениями?

Совсем хорошо было бы еще и как-то оформленный, чтобы максимальное количество штук проверялось автоматически.
Например в Вашем решении $[2.2]$

Antoshka в сообщении #1577830 писал(а):

Получаем систему уравнений

$$\left\{ \begin{array}{lcl} m^7w^7=(a-b)^7D^{-7} \\ m^7+w^7=(2b-a)\sqrt[6]{7a}\ \eqno[2.2]\\ \end{array} \right.$$

Находим $m^7,w^7$ как корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Результат такой (знаки согласованы, это важно!!!)

$$\left\{ \begin{array}{rcl} m^7=\frac{(2b-a)\sqrt[6]{7a}\pm\sqrt{(2b-a)^2\sqrt[3]{7a}-4(a-b)^7D^{-7}}}{2} \\ w^7=\frac{(2b-a)\sqrt[6]{7a}\mp\sqrt{(2b-a)^2\sqrt[3]{7a}-4(a-b)^7D^{-7}}}{2} \\ \end{array} \right.$$

Можно как-то обозначить получающиеся корни, и попросить систему проверить, что их произведение и сумма какие надо.
(кстати, к этому моменту уже есть какие-то предположения, несимметричные относительно $x$ и $y$? если нет, то это выглядит как хороший момент эти предположения сделать, и зафиксировать конкретный выбор знаков)

Вообще тут конечно нужен специалист по ТЧ. Наверняка профессионалу должно быть очевидно, верна или неверна лемма 1, и соответственно нужно ли тратить время на её проверку.

Antoshka в сообщении #1583842 писал(а):

Очевидно, $y-v=x-u=-k$. Получается, что $y=v+(y-v)\Leftrightarrow y=m^7+7mh_y$. Где $h_y$ целое число.

Вот тут, видимо, подразумевается, что $k$ делится на $7m$, но это не сказано, поэтому остается только догадываться.

[Antoshka]

mihaild в сообщении #1585395 писал(а):

Ну кому-то может и помогает. Само по себе это объяснение даже не особо нужно, хотите рассматривать показатель семь, потому что для меньших Ваши рассуждения не работают - пожалуйста, имеете право, даже объяснять, почему они не работают для меньших показателей, совсем не обязательно

Понял

mihaild в сообщении #1585395 писал(а):

Ну мало ли, всякое бывает. Проблема автоматических символьных вычислений в том, что небольшая неаккуратность где-то приводит к тому, что система делает очень странные предположения, и упрощает ответ до неверности.

Я все тщательно проверил

mihaild в сообщении #1585395 писал(а):

Совсем хорошо было бы еще и как-то оформленный, чтобы максимальное количество штук проверялось автоматически.
Например в Вашем решении

Такую проверку я легко могу устроить на компьютере

mihaild в сообщении #1585395 писал(а):

Вообще тут конечно нужен специалист по ТЧ. Наверняка профессионалу должно быть очевидно, верна или неверна лемма 1, и соответственно нужно ли тратить время на её проверку.

Лемма 1 специалистам скорее всего неизвестна, так как в книге Рибенбойма, где собраны соотношения, полученные элементарными методами, её нет. Да и someone про неё не знает, иначе он бы эти соотношения выписал тут на форуме.

mihaild в сообщении #1585395 писал(а):

Вот тут, видимо, подразумевается, что $k$ делится на $7m$, но это не сказано, поэтому остается только догадываться

Да, правильно

[mihaild]

Antoshka в сообщении #1585404 писал(а):

Я все тщательно проверил

Antoshka в сообщении #1585404 писал(а):

Такую проверку я легко могу устроить на компьютере

Так а чего Вы хотите, выкладывая свое рассуждение на форуме?
У Вас просто куча выкладок, про которые магическим образом утверждается, что они приводят к нужному результату. Т.к. никакой конкретной структуры не прослеживается, то единственный способ найти ошибку в Вашем рассуждении - это проверить все выкладки по одной. Но проверять то, что считает компьютер - сложно и бессмысленно.

Antoshka в сообщении #1585404 писал(а):

Лемма 1 специалистам скорее всего неизвестна, так как в книге Рибенбойма, где собраны соотношения, полученные элементарными методами, её нет

Я не говорил, что она известна. Я говорил, что она (или её отрицание, не знаю) должны быть очевидны. Ну это просто наблюдение, что человек, лучше разбирающийся в теме, чем я, быстрее бы нашел ошибку, потому что ему проще было бы выделять подозрительные места.

Antoshka в сообщении #1585404 писал(а):

mihaild в сообщении #1585395 писал(а):

Вот тут, видимо, подразумевается, что $k$ делится на $7m$, но это не сказано, поэтому остается только догадываться

Да, правильно

Так тогда это нужно в явном виде сформулировать, и доказать.

Вообще, можете как-то кратко описать общую структуру, что происходит после первых двух лемм? Их я более-менее понимаю (существует примерно бесконечное количество чисел, через которые $x, y, z$ выражаются указанным образом), дальше вводим дробь $\frac{x^2 + y^2 - z^2}{2xy}$, и что-то про неё доказываем. Утверждается, что она является корнем какого-то кубического уравнения, но какого - загадка, и в чем дальше будет противоречие - тоже.

[Elfhybr]

Antoshka в сообщении #1577830 писал(а):

$(x+y-z)^7=7(x+y)(z-x)(z-y)D^7\Leftrightarrow (x+y-z)^7-(x^7+y^7-z^7)$ $=7(x+y)(z-x)(z-y)D^7$.

Где-то я эту знаменитую формулу уже видел на страницах форума. Только вместо D там была вроде W...

-- 14.03.2023, 21:17 --

Antoshka в сообщении #1585384 писал(а):

mihaild в сообщении #1585365

писал(а):
Нет, это значит что общим делителем у них может быть единица.
Неясно выразился. Если у них и есть общий делитель, то это может быть только показатель степени и больше ничего

Непонятно, так пришли мы к консенсусу по этому вопросу? Без него мне кажется дальше и двигаться нет смысла...

[mihaild]

Elfhybr в сообщении #1585429 писал(а):

Непонятно, так пришли мы к консенсусу по этому вопросу?

Да, доказательство есть у Постникова ("Теорема Ферма", стр. 19-21 в издании 1978 года). Чтобы не потерялось, перепишу сюда.
Пусть $x^n + y^n = z^n$, $n$ простое большее $2$, $x, y, z$ взаимно просты, $y$ не делится на $n$. Тогда $\sqrt[n]{z - x}$ - целое число.
Напишем $a = z - x$, $b = \frac{y^n}{a} = \frac{z^n - x^n}{a} = \frac{(a + x)^n - x^n}{a} = C_n^0 a^{n - 1} + C_n^1 a^{n - 2} x + \ldots + C_n^{n - 1} x^{n - 1}$.
Очевидно что $a$ и $x$ взаимно просты, потому что любой их общий делитель делит $a + x = z$.
В выражении для $b$ все слагаемые, кроме, быть может, последнего, делятся на $a$ - значит любой общий делитель $a$ и $b$ делит $C_n^{n - 1} x^{n - 1} = n \cdot x^{n - 1}$. Но у $a$ нет общих делителей с $x$, а т.к. $y^n = ab$ не делится на $n$, то $n$ тоже не входит в общие делители $a$ и $b$. Значит, $a$ и $b$ взаимно просты. Ну и т.к. их произведение является $n$-й степенью, то и каждое из них является $n$-й степенью.
Рассуждение в общем-то довольно очевидное, я его кучу раз проводил, и каждый раз забывал не только доказательство, но и утверждение.

[Antoshka]

Elfhybr в сообщении #1585429 писал(а):

Где-то я эту знаменитую формулу уже видел на страницах форума. Только вместо D там была вроде W...

Её писал здесь пользователь ishan

Elfhybr в сообщении #1585429 писал(а):

Непонятно, так пришли мы к консенсусу по этому вопросу? Без него мне кажется дальше и двигаться нет смысла...

Как я понял, да. Я дал ссылку на формулы, которые ранее написал someone. mihaild написал, что посмотрит их у Постникова

mihaild в сообщении #1585406 писал(а):

Вообще, можете как-то кратко описать общую структуру, что происходит после первых двух лемм? Их я более-менее понимаю (существует примерно бесконечное количество чисел, через которые $x, y, z$ выражаются указанным образом), дальше вводим дробь $\frac{x^2 + y^2 - z^2}{2xy}$, и что-то про неё доказываем. Утверждается, что она является корнем какого-то кубического уравнения, но какого - загадка, и в чем дальше будет противоречие - тоже.

Да, вводим дробь и обозначим её как $T=\frac{x^2 + y^2 - z^2}{2xy}$ Соотношения $\eqno[3]$ из леммы 2 были получены именно ради этой дроби. Так вот, берём и подставляем соотношения $\eqno[3]$ в эту дробь и максимально упрощаем. Затем замечаем, что эту дробь можно переписать в виде дроби $T=\frac{h_1}{h_2},(h_1,h_2)=1,h_1,h_2\in\mathbb{Z}$ и квадратного уравнения вида $\sqrt[3]{7a}FD^2-2\sqrt[3]{7a}(a-FD)TD-2F^6(T+1)=0$
Это квадратное уравнение нужно, чтобы получить прямо из него Пифагорову тройку, которая в конечном счёте запишется так
$(F^7(T+1))^2+((a-FD)T)^2(\sqrt[3]{7a}(FD-(a-FD)T))^2=$ $(((a-FD)T)^2\sqrt[3]{7a}+F^7(T+1))^2;\eqno[5]$
Если свести количество переменных к минимуму, то получится длинное уравнение, да! Как в таких случаях поступают специалисты - не знаю. Записываем решения Пифагоровой тройки в действительных числах (вы же понимаете, что решения Пифагоровой тройки можно записывать в действительных числах?) и решаем получающуюся систему уравнений. Из решений этой системы составляется кубическое уравнение относительно $T$, которое в конечном счёте имеет вид $8\sqrt[3]{7a}F^5h_2^3T^3+16\sqrt[3]{7a}F^5h_2^3T^2+(8\sqrt[3]{7a}F^5h_2^3-14F^6(2a-FD)^2h_2D^3)T+$ $+(7F^{11}(2a-FD)^3D^2-7F^6(2a-FD)^2h_2^3D^3)=0$ и именно это кубическое уравнение приведёт к противоречию по той причине, что из действительного корня этого кубического уравнения, можно составить систему уравнений, неразрешимую в рациональных числах!

[mihaild]

Antoshka в сообщении #1585438 писал(а):

Затем замечаем, что эту дробь можно переписать в виде дроби $T=\frac{h_1}{h_2},(h_1,h_2)=1,h_1,h_2\in\mathbb{Z}$ и квадратного уравнения вида $\sqrt[3]{7a}FD^2-2\sqrt[3]{7a}(a-FD)TD-2F^6(T+1)=0$

За этим я внимательно не следил (при необходимости, если дальше проблем не обнаружится, вернемся), но допустим.
Что значит "получить из уравнения пифагорову тройку"? Это значит, что $[5]$ равносильно выписанному чуть выше квадратному уравнению, или что-то ещё?

Antoshka в сообщении #1585438 писал(а):

вы же понимаете, что решения Пифагоровой тройки можно записывать в действительных числах?

Я не знаю, что такое "решения пифагоровой тройки".
Пифагоровой тройкой обычно называют решение уравнения $\aleph^2 + \beth^2 = \gimel^2$ в натуральных числах. Если хотите, можно называть пифагоровой тройкой решение этого уравнения в положительных вещественных числах, просто про это надо явно сказать.
Но я не знаю, что такое "решения пифагорвой тройки", тем более как их записывать. Этому нужно дать определение. Ну и что значит "составить систему уравнений из корня" я тоже не знаю.
(я подозреваю, что ошибка где-то в рассуждениях, потому что это в них гораздо проще запутаться, чем в командах вольфрама; если найти в форме рассуждений ошибку не удастса - придется проверять выкладки, что вряд ли удастся сделать за разумное время; естественно, для проверки всё придется расписывать в несколько раз подробнее, чем сейчас)

[Antoshka]

mihaild в сообщении #1585459 писал(а):

За этим я внимательно не следил (при необходимости, если дальше проблем не обнаружится, вернемся), но допустим.
Что значит "получить из уравнения пифагорову тройку"? Это значит, что $[5]$ равносильно выписанному чуть выше квадратному уравнению, или что-то ещё?

Ну если очень грубо говоря, то да

mihaild в сообщении #1585459 писал(а):

Я не знаю, что такое "решения пифагоровой тройки".
Пифагоровой тройкой обычно называют решение уравнения $\aleph^2 + \beth^2 = \gimel^2$ в натуральных числах. Если хотите, можно называть пифагоровой тройкой решение этого уравнения в положительных вещественных числах, просто про это надо явно сказать.

Вот возьмём уравнение, которое вы записали. В моем Пифагоровой тройке все числа рациональные. Да, мою Пифагорову тройку можно было бы записать так, чтобы под квадратами стояли натуральные числа. В таком случае решения записались бы в виде(пишу для вашей тройки для удобства)

$$\left\{ \begin{array}{lcl} \aleph=L(f^2-g^2) \\ \beth=2Lfg \\ \gimel=L(f^2+g^2) L,f,g\in\mathbb{N} \end{array} \right.$$

Но такая запись не подходит, так как количество неизвестных должно быть минимальным,а тут общий делитель чисел $L$ присутствует! То есть полагаем $L=1$,а $f,g$ считаем действительными числами! Ну а числа в Пифагоровой тройке пять остаются как есть, то есть рациональными! Я это имел ввиду

mihaild в сообщении #1585459 писал(а):

Ну и что значит "составить систему уравнений из корня" я тоже не знаю.

Корень кубического уравнения относительно $T$ имеет очень интересный вид. Смотрите корень такой $T=j_1+j_2-\frac{2}{3}$, где $\left\{ \begin{array}{lcl} j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_3}}\\ j_2=\frac{\sqrt[3]{r_3}}{r_2} \ \ \eqno[10]\\ \end{array} \right.$ здесь $r_1,r_2$ это рациональные числа! А теперь подумайте, каким числом является произведение $j_1j_2$? А каким числом является их сумма $j_1+j_2$? Рациональными они являются, потому что $T$ рациональное! Это значит, что $j_1,j_2$ можно найти как корни квадратного уравнения по теореме Виета!! Так и записывается система уравнений, которая ведёт к противоречию!

-- 15.03.2023, 10:11 --

mihaild в сообщении #1585459 писал(а):

(я подозреваю, что ошибка где-то в рассуждениях

Вообще как так можно было ошибиться, чтобы корень кубического уравнения с пятью неизвестными и длинными коэффициентами имел специальный вид? По идее это маловероятно. Значит ошибка если и есть, то при рассмотрении случая, про который я писал в конце доказательства жирным шрифтом, что он доказывается аналогично, то есть здесь

Antoshka в сообщении #1583842 писал(а):

Случай

$$\left\{ \begin{array}{lcl} j_1=R_1-R_2\sqrt{R_3},\\ j_2=R_1+R_2\sqrt{R_3},\\ R_1,R_2,R_3\in\mathbb{Q} \end{array} \right.$$

доказывается таким же образом!

[mathematician123]

Antoshka в сообщении #1583842 писал(а):

$\left\{ \begin{array}{lcl} F^7(\cos\gamma+1)=2ed,\\ (a-FD)\cos\gamma \sqrt[3]{7a}(FD-(a-FD)\cos\gamma)=e^2-d^2,\\ (a-FD)^2\cos^2\gamma \sqrt[3]{7a}+F^7(\cos\gamma+1)=e^2+d^2, \ \eqno[7] \\ F=mw=(a-b)D^{-1},\\ b=a-FD,\\ e,d\in\mathbb{R} \end{array} \right.$
В получившейся системе $\eqno[7]$ вычтем и сложим первое уравнение с третьим. Это даст возможность найти сумму и разность чисел $e,d$. Получается, что $\left\{ \begin{array}{lcl} e-d=(a-FD)\cos\gamma \sqrt[6]{7a},\\ e+d=FD\sqrt[6]{7a}-(a-FD)\cos\gamma \sqrt[6]{7a}\\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} e=FD\sqrt[6]{7a}/2, \\ d=\frac{\sqrt[6]{7a}}{2}-(a-FD)\cos\gamma\sqrt[6]{7a}\ \ \ \eqno[8]\ \end{array} \right.$
Надо упростить систему $\eqno[8]$. Делается это, используя соотношения $\eqno[4]$ для $h_1,h_2$, записанные через $F,D,a$. Итак, $\left\{ \begin{array}{lcl} F=mw=(a-b)D^{-1},\\ b=a-FD,\\ h_1=FD^2/2\sqrt[3]{7a}-F^6,\\ h_2=D(a-FD)\sqrt[3]{7a}+F^6\\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} e=DF\sqrt[6]{7a}/2,\\ d=\frac{eF^5(2a-FD)}{Dh_2}\\ \end{array} \right.$

Складываю и получаю:

$$(e+d)^2 = (a-FD)^2\cos^2\gamma \sqrt[3]{7a}+2F^7(\cos\gamma+1)$$

Как из этого получить

$$e+d=FD\sqrt[6]{7a}-(a-FD)\cos\gamma \sqrt[6]{7a} $$

?

[Antoshka]

mathematician123 в сообщении #1585482 писал(а):

Складываю и получаю:

$$(e+d)^2 = (a-FD)^2\cos^2\gamma \sqrt[3]{7a}+2F^7(\cos\gamma+1)$$

Как из этого получить

$$e+d=FD\sqrt[6]{7a}-(a-FD)\cos\gamma \sqrt[6]{7a} $$

?

Формально вы правы, но ошибки у меня нет. Смотрите $e^2-d^2=(e-d)(e+d)$, с этим никто не будет спорить. Вы совершенно правильно сложили $e^2+d^2+2ed$, но вы же видите, что выражение справа НЕ является полным квадратом. Ну значит находим $(e+d)$ из второго уравнения системы как $e+d=\frac{e^2-d^2}{e-d}$, ведь разность $(e-d)$ найдена!

[mihaild]

Ой. Вы $[5]$ обозначили два разных уравнения, а я долго думал и искал во втором что-то похожее на сумму квадратов.

Antoshka в сообщении #1577830 писал(а):

$\frac{D_4}{4}=(F^7(\cos\gamma+1))^2+(b\cos\gamma)^2\varepsilon_3^2=(\varepsilon_4)^2;\eqno[5]$

Antoshka в сообщении #1585438 писал(а):

$(F^7(T+1))^2+((a-FD)T)^2(\sqrt[3]{7a}(FD-(a-FD)T))^2=$ $(((a-FD)T)^2\sqrt[3]{7a}+F^7(T+1))^2;\eqno[5]$

Какой из номеров считать правильным?

Antoshka в сообщении #1585474 писал(а):

можно найти как корни квадратного уравнения по теореме Виета

А как, кстати, вы находите корни по теореме Виета? Я знаю только что она позволяет проверить, что наши два числа - действительно корни (посчитав их произведение и сумму). Т.е. если Вы хотите сказать "что-то там корни, проверяется по теореме Виета" - всё хорошо (как Вы нашли корни - неважно, если это можно проверить), но если тут что-то глубже - нужно написать.

mathematician123 в сообщении #1585482 писал(а):

$$e+d=FD\sqrt[6]{7a}-(a-FD)\cos\gamma \sqrt[6]{7a} $$

Antoshka, а это вообще правда (я не вижу этого у Вас, и не очень понимаю, как mathematician123 мог бы получить из процитированного фрагмента). Просто если да, то вместе с $[8]$ это влечёт $FD = 1$, соответственно $a - b = 1$.
(я не удивлюсь, если это правда - многократным использованием одного и того же уравнения очень легко незаметно получить тривиальное тождество, но, если это так, то это наверняка должно быть возможно показать сильно раньше, где-то в районе леммы 2 в худшем случае, и это сильно сократит многие выражения)

[Antoshka]

mihaild в сообщении #1585496 писал(а):

Ой. Вы $[5]$ обозначили два разных уравнения, а я долго думал и искал во втором что-то похожее на сумму квадратов.

mihaild в сообщении #1585496 писал(а):

Какой из номеров считать правильным?

А это одно и то же уравнение, просто вы же мне написали, что у меня переменных много, вот я и сократил их количество. Что лучше для вас? Видимо длинные выражения, раз вы считаете, что количество переменных должно быть минимальным

mihaild в сообщении #1585496 писал(а):

А как, кстати, вы находите корни по теореме Виета? Я знаю только что она позволяет проверить, что наши два числа - действительно корни (посчитав их произведение и сумму).

Видимо я двусмысленно выражаюсь, оттого и происходит непонимание. Что значит найти корни по теореме Виета? Вот известно, что

$$\left\{ \begin{array}{lcl} j_1+j_2=Q_1\\ j_1j_2=Q_2\\ Q_1,Q_2\in\mathbb{Q} \end{array} \right.$$

Как найти $j_1,j_2$ по теореме Виета? Записываем квадратное уравнение в общем виде. Ну пусть будет $G^2+d_1G+d_2=0;$ Считаем, что $Q_1,Q_2$ нам известно, потому подставляем $Q_1,Q_2$ вместо $d_1,d_2$ соответственно, ну учитывая знак у суммы корней. Дальше решаем квадратное уравнение. Вот и все

mihaild в сообщении #1585496 писал(а):

Antoshka, а это вообще правда (я не вижу этого у Вас, и не очень понимаю, как mathematician123 мог бы получить из процитированного фрагмента).

По этому поводу уже ответил. Вот цитата

Antoshka в сообщении #1585493 писал(а):

Формально вы правы, но ошибки у меня нет. Смотрите $e^2-d^2=(e-d)(e+d)$, с этим никто не будет спорить. Вы совершенно правильно сложили $e^2+d^2+2ed$, но вы же видите, что выражение справа НЕ является полным квадратом. Ну значит находим $(e+d)$ из второго уравнения системы как $e+d=\frac{e^2-d^2}{e-d}$, ведь разность $(e-d)$ найдена!

-- 15.03.2023, 13:21 --

mihaild в сообщении #1585496 писал(а):

Antoshka, а это вообще правда (я не вижу этого у Вас, и не очень понимаю, как mathematician123 мог бы получить из процитированного фрагмента). Просто если да, то вместе с $[8]$ это влечёт $FD = 1$, соответственно $a - b = 1$.
(я не удивлюсь, если это правда - многократным использованием одного и того же уравнения очень легко незаметно получить тривиальное тождество, но, если это так, то это наверняка должно быть возможно показать сильно раньше, где-то в районе леммы 2 в худшем случае, и это сильно сократит многие выражения)

Про ваш вывод сразу не скажу, не задумывался над ним

[mathematician123]

Antoshka в сообщении #1585498 писал(а):

Видимо я двусмысленно выражаюсь, оттого и происходит непонимание. Что значит найти корни по теореме Виета? Вот известно, что

$$\left\{ \begin{array}{lcl} j_1+j_2=Q_1\\ j_1j_2=Q_2\\ Q_1,Q_2\in\mathbb{Q} \end{array} \right.$$

Являются ли числа $j_1, j_2$ вещественными? Или они могут быть комплексными?

[mihaild]

Antoshka в сообщении #1585498 писал(а):

Что лучше для вас? Видимо длинные выражения, раз вы считаете, что количество переменных должно быть минимальным

Короткие выражения с небольшим числом переменных:)
Вообще, как правило, лучше, чтобы рассуждение явно делилось на этапы, в каждом из которых как можно более простые условие и результат, и следующие этапы из предыдущих используют только эти результаты, а не внутренние детали.
Но это пожелание. Что совсем критично - чтобы все переходы были обоснованы. Вот то, что ваши два уравнения эквивалентны - это на первый взгляд совсем неочевидно, и даже непонятно, как думать. Если они нужны Вам оба - то стоит дать им разные номера (вообще номера можно не экономить, их много разных, и, в отличии от переменных, даже сотня номеров не представляет особой проблемы для чтения).

Antoshka в сообщении #1585498 писал(а):

Считаем, что $Q_1,Q_2$ нам известно, потому подставляем $Q_1,Q_2$ вместо $d_1,d_2$ соответственно, ну учитывая знак у суммы корней

Только наверное не $Q_1$ и $Q_2$, а $-Q_1 - Q_2$ и $Q_1 \cdot Q_2$.
Да, так можно, просто это скорее нахождение корней системы сведением к квадратному уравнению по теореме Виета. Но неважно.

Antoshka в сообщении #1585498 писал(а):

По этому поводу уже ответил

Можете всё-таки сказать "да или нет" - получается ли у Вас $e+d=FD\sqrt[6]{7a}-(a-FD)\cos\gamma \sqrt[6]{7a} $. Я не спрашиваю обоснование, просто получается ли так у вас.