Сила, действующая на точку в ОТО

[sergey zhukov]

alexgol176
Я сразу скажу, что слабо разбираюсь в ОТО. Могу лишь заметить, что:

1. Такая трехмерная сила определена у ЛЛ для частного случая постоянного гравитационного поля, а не для общего случая;

2. Имея некоторое движение тела, можно просто объявить его свободным и ничего не объяснять. Не требуется никаких сил для того, чтобы тело двигалось именно так. Это движение свободное по определению. Все же остальные движения автоматически становятся не свободными и требуют каких-то сил для своего осуществления. Путем введения понятия об искривлении пространства-времени удалось максимально расширить класс свободных движений. Настолько, что понятие о силах гравитации стало вовсе не нужным. Но мы можем вернуться к представлению об этих силах, если есть желание, и снова объявить, что движение в гравитационном поле не свободно и требует сил гравитации, формулы для которых такие-то. Часть математики из описания свободного движения "перетекает" в описание сил и наоборот.

[Утундрий]

alexgol176 в сообщении #1583423 писал(а):

Насколько корректно так определять 3-силу в ОТО?

Так кто же им запретит определять? Вы тоже можете. Введите произвольный параметр, монотонно изменяющийся вдоль мировой линии частицы, выразите все производные в уравнении геодезической через производные по этому параметру, затем считайте "силой" всё, кроме вторых производных. Если вам это нужно просто для получения "чего-то трёхмерного", то можно этим и ограничиться. Авторы пошли именно таким путём. Что-то трёхмерное у них определённо получилось.

[pppppppo_98]

piksel в сообщении #1581824 писал(а):

Согласен с вами, но чтобы определить метрику нужен тензор энергии-импульса, куда входит плотность активной гравитационной массы, которая инвариантна.

Не входит... туда входят впростейшем случае тензоры эм-поля и полей материи (то что в КМ назывут фермионными полями)

[svv]

pppppppo_98, имеется в виду член $\mu u^i u^k$ (где $\mu$ — инвариантная плотность массы), из которого ТЭИ свободных частиц единственно и состоит.

[chislo_avogadro]

alexgol176 в сообщении #1583423 писал(а):

Данную формулу для силы авторы распространяют на ОТО, заменяя обычный дифференциал 3-импульса ковариантным, посчитанным с помощью 3-мерных символов Кристоффеля $\lambda^\alpha_{\beta\gamma}$:

$$ f^\alpha = c\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\dfrac{Dp^\alpha}{ds}. $$

Насколько корректно так определять 3-силу в ОТО?

Посмотрите сообщения Paganel в этой теме -
post1549679.html#p1549679
Он дал там ссылку на свою работу, где, среди прочего, "прямолинейно" вычислил силу притяжения неподвижного тяготеющего тела дифференцированием $m\gamma \vec v$ по лабораторному времени. Результат совпал с ландаулифшицевским для тех же условий. Ссылка, правда, была удалена, но файл я могу дать, если будет интерес.

Чтобы не рыться в старом, процитирую существенное -

Paganel в сообщении #1549679 писал(а):

4) При правильном включении вращения, с откорректированной угловой скоростью вращения, ... получается правильный ответ для гравитационной силы, и он совпадает с ответом из ЛЛ2.

Под "вращением" здесь понимается вращение ортов, по которым раскладывается скорость.

В работе сказано примерно то же -

Paganel. Имеет ли фотон гравитационную массу? писал(а):

Сами Ландау и Лифшиц не использовали изложенный векторный язык и пришли к
ответу, применяя алгебраический аппарат ковариантного дифференцирования, суть
которого не отличается от вышеизложенного.

[piksel]

pppppppo_98 в сообщении #1583968 писал(а):

piksel в сообщении #1581824 писал(а):

Согласен с вами, но чтобы определить метрику нужен тензор энергии-импульса, куда входит плотность активной гравитационной массы, которая инвариантна.

Не входит... туда входят впростейшем случае тензоры эм-поля и полей материи (то что в КМ назывут фермионными полями)

Для макротел это практически одно то же. Вы можете получить активную гравитационную массу, используя только аппарат ТО, или, если вам известно как, использовать для этого фермионные поля. Но результат должен совпасть.

[Geen]

piksel в сообщении #1584257 писал(а):

Вы можете получить активную гравитационную массу, используя только аппарат ТО

Покажите, пожалуйста, как это делается (может быть я хоть так узнаю, что такое "активная гравитационная масса").

[piksel]

Geen в сообщении #1584297 писал(а):

piksel в сообщении #1584257 писал(а):

Вы можете получить активную гравитационную массу, используя только аппарат ТО

Покажите, пожалуйста, как это делается (может быть я хоть так узнаю, что такое "активная гравитационная масса").

Раз вопрос задан, не делая слишком больших обобщений, предлагаю рассмотреть слабо гравитирующее газовое облако, состоящее из n частиц, с одинаковой массой покоя m, хаотично движущаяся со скоростью, имеющей абсолютное значение $v$ в некоторой системе координат. Исследуется случай, когда искажения длины и времени, вызванные наличием Лоренц-фактора будут на порядок больше, чем искривление пространства-времени под действием гравитации. Предполагается, что в момент времени $t'=0$ расстояниями между частицами $\delta r $ можно пренебречь при определении гравитации, создаваемой этим облаком в рассматриваемой области, находящейся на удалении. Разрежение газа определяется условием $\alpha_M/\delta r<<v^2/c^2$ при скорости света $c$ и $\alpha_M=\frac{2\gamma M}{c^2}$ с гравитационной постоянной $\gamma$ и гравитационной массой облака $M$. Статистически облако может быть представлено в виде набора систем, состоящих из двух частиц А и В, которые движутся в противоположных направлениях.
Активная гравитационная масса этого этого облака оказывается
$M = nm\frac{2}{\pi }\frac{{1 + {\beta ^2}}}{{{{(1 - {\beta ^2})}^{3/2}}}}E\left( \beta \right),$
где $ E\left( \beta \right)$ - полный эллиптический интеграл 2-го рода от $\beta=v/c$.
Как она получена, можно посмотреть здесь
Ссылки удалены.
Не знаю как отнесутся модераторы к этим ссылкам, но замечу, что это содержание прошедшего реферирование доклада, сделанного на IC-MSQUARE 2022.
Сможет ли pppppppo_98 получить такой же результат с помощью фермионных полей?

[Geen]

piksel в сообщении #1584335 писал(а):

Исследуется случай, когда искажения длины и времени, вызванные наличием Лоренц-фактора будут на порядок больше, чем искривление пространства-времени под действием гравитации.

Я правильно понимаю, что "активную гравитационную массу" Вы можете определить только для случая, когда гравитацией можно пренебречь? (и только для системы, которая развалится за короткое время?)
После этого хочется спросить, что Вы назваете "выводом по ТО"?

piksel в сообщении #1584335 писал(а):

Не знаю как отнесутся модераторы к этим ссылкам

Я не знаю, как отнесутся модераторы, но лично я по этим ссылкам не пойду - мне хватило уже написанного.

piksel в сообщении #1584335 писал(а):

Сможет ли pppppppo_98 получить такой же результат с помощью фермионных полей?

Не буду ручаться, но думаю, что правильный результат он может получить (если, всё же, будет дано определение), а вот "такой же" - вряд ли...

[Ende]

piksel в сообщении #1584335 писал(а):

Не знаю как отнесутся модераторы к этим ссылкам, но замечу, что это содержание прошедшего реферирование доклада, сделанного на IC-MSQUARE 2022

Доклад на конференции не становится авторитетным источником только потому, что оргкомитет его пропустил. Рецензирование на конференциях, даже если оно есть, на порядок слабее, чем в нормальных журналах. Поэтому давайте без таких ссылок. Все, что хотите изложить, излагайте здесь.

[piksel]

piksel в сообщении #1584335 писал(а):

Geen в сообщении #1584297 писал(а):

piksel в сообщении #1584257 писал(а):

Вы можете получить активную гравитационную массу, используя только аппарат ТО

Покажите, пожалуйста, как это делается (может быть я хоть так узнаю, что такое "активная гравитационная масса").

Раз вопрос задан, не делая слишком больших обобщений, предлагаю рассмотреть слабо гравитирующее газовое облако, состоящее из n частиц, с одинаковой массой покоя m, хаотично движущаяся со скоростью, имеющей абсолютное значение $v$ в некоторой системе координат. Исследуется случай, когда искажения длины и времени, вызванные наличием Лоренц-фактора будут на порядок больше, чем искривление пространства-времени под действием гравитации. Предполагается, что в момент времени $t'=0$ расстояниями между частицами $\delta r $ можно пренебречь при определении гравитации, создаваемой этим облаком в рассматриваемой области, находящейся на удалении. Разрежение газа определяется условием $\alpha_M/\delta r<<v^2/c^2$ при скорости света $c$ и $\alpha_M=\frac{2\gamma M}{c^2}$ с гравитационной постоянной $\gamma$ и гравитационной массой облака $M$. Статистически облако может быть представлено в виде набора систем, состоящих из двух частиц А и В, которые движутся в противоположных направлениях.
Активная гравитационная масса этого этого облака оказывается
$M = nm\frac{2}{\pi }\frac{{1 + {\beta ^2}}}{{{{(1 - {\beta ^2})}^{3/2}}}}E\left( \beta \right),$
где $ E\left( \beta \right)$ - полный эллиптический интеграл 2-го рода от $\beta=v/c$.

Как определяется активная гравитационная масса, то есть, притягивающая, та, что значится в выражении для ньютоновского гравитационного потенциала:

Слабо гравитирующее газовое облако состоит из одинаковых частиц с массой покоя $m$, хаотично движущаяся со скоростью, имеющей абсолютное значение $v$ в некоторой системе координат ${\textrm{К}}'=(t',x',y',z')$. Предполагается, что в момент времени $t'=0$ расстояниями $\delta r$ между частицами можно пренебречь при определении гравитации, создаваемой этим облаком в рассматриваемой области, находящейся на удалении. Разрежение газа определяется условием
${\alpha }_M/\delta r\mathrm{<<}v^2/c^2$ (1)
при скорости света $c$ и ${\alpha }_M=\frac{2\gamma M}{c^2}$ с гравитационной постоянной $\gamma $ и гравитационной массой облака $M$. Статистически облако может быть представлено в виде набора систем, состоящих из двух частиц А и В, которые движутся в противоположных направлениях.

Рис. 1

Слабое гравитационное поле одной частицы приближенно описывается в связанных с ней координатах $\textrm{К}=(t,x,y,z)$ линеаризованной изотропной метрикой Шварцшильда
$ds^2=c^2 \left( 1-\frac{\alpha }{r}\right) dt^2-\left( 1+\frac{\alpha }{r}\right) (x^2+y^2+z^2) $ (2)
при $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ $ и $\alpha =\frac{2\gamma m}{c^2}$ .



Применение преобразований Лоренца к метрике Шварцшильда

Условие (1) означает, что искажения длины и времени, вызванные наличием Лоренц-фактора $\frac{1}{\sqrt{1-{\widetilde{\beta }}^2}}$ при $\widetilde{\beta }=\frac{\breve{v}}{\mathrm{\ }c\mathrm{\ }}$ , будут на порядок больше, чем искривление пространства-времени под действием гравитации. Поэтому ее влияние на преобразования Лоренца
$ t=\frac{t'+\frac{\widetilde{\beta }}{c}x'}{\sqrt{1-{\widetilde{\beta }}^2}}, x=\frac{x'+\tilde{v}t'}{\sqrt{1-{\widetilde{\beta }}^2}}, y=y', \mathrm{z=z}'. $ (3)
при
$ \tilde{v}=v $ (4)
и
$ \tilde{v}=-v $ (5)
будет незначительно, и они могут быть применены к метрике (2). Преобразование координат при
$r'\mathrm{=}\sqrt{{\left(\frac{x'+\tilde{v}t'}{\sqrt{1-{\widetilde{\beta }}^2}}\right)}^2+{y'}^2+{z'}^2}$ (6) приносит
$ds^2\mathrm{=}c^2\left(1-\frac{1+{\widetilde{\beta }}^2}{\mathrm{1}-{\widetilde{\beta }}^2}\frac{\alpha }{r'}\right)d{t'}^2-\frac{4\tilde{v}}{1-{\widetilde{\beta }}^2}\frac{\alpha }{r'}dt'dx'-\left(1+\frac{\mathrm{1}+{\widetilde{\beta }}^2}{\mathrm{1}-{\widetilde{\beta }}^2}\frac{\alpha }{r'}\right)d{x'}^2-\left(1+\frac{\alpha }{r'}\right)({dy'}^2+{dz'}^2).$ (7)


Система из двух тел


В системах отсчета ${\textrm{К}}_A$, ${\textrm{К}}_B$, связанных с рассматриваемыми телами, Рис. 1, гравитация каждого из них в отдельности описывается в соответствующей системе метрикой (2). Перейдем от этих систем координат к ${\textrm{К}}^'$, используя преобразования Лоренца для скоростей (4), (5).
Если представить метрические коэффициенты в форме
$ g_{ij}={\eta }_{ij}+{\xi }_{ij} , $ (8)
где ${\eta }_{ij}$ соответствуют метрике Минковского, то при слабой гравитации [5] соотношение
${\xi }_{ij}\approx \sum_n{{\xi }^n_{ij}}$ (9)
выполняется для общего поля, созданного $n$ подсистемами с метрическими коэффициентами
$ {g^n_{ij}=\eta }_{ij}+{\xi }^n_{ij} . $ (10)
Суммируя коэффициенты метрик, получаемых после подстановок значений скоростей (4) и (5) в метрику (7), находим, что поле рассматриваемой гравитационной системы в окрестности $t'=0$ приближенно будет описываться метрикой
$ds^2\mathrm{=}c^2\left(1-\frac{1+{\beta }^2}{\mathrm{1}-{\beta }^2}\frac{{\alpha }_1}{r'}\right)d{t'}^2-\left(1+\frac{\mathrm{1}+{\beta }^2}{\mathrm{1}-{\beta }^2}\frac{{\alpha }_1}{r^'}\right)d{x^'}^2-\left(1+\frac{{\alpha }_1}{r'}\right)({dy'}^2+{dz'}^2)$ (11)
при $\alpha _{1} =2\alpha $ и $\beta =\frac{v}{c}$.

Получим ускорение материальной частицы в момент времени, когда она покоится в системе отсчета $K'$. Из уравнений геодезических $\frac{du^{i} }{ds} +\Gamma _{kl}^{i} u^{k} u^{l} =0$ для пространственных координат с индексами $k=\mathrm{2,3,4}$, подставляя значения символов Кристоффеля ${\mathit{\Gamma}}^l_{ij}=\frac{1}{2}g^{lk}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\right)$, находим
$ \frac{du^k}{ds}=-\frac{1}{2}g^{kk}\frac{\partial g_{11}}{\partial x^k}{\left(u^1\right)}^2. $ (12)
Это уравнение приносит координатные ускорения
${\ddot{x}}'=-\frac{1}{2}\frac{c^2x'}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\frac{1+{\beta }^2}{\mathrm{1}-{\beta }^2}\frac{{\alpha }_1}{{r'}^3}\ , $ (13)
${\ddot{y}}'=-\frac{1}{2}{c^2y}'\frac{1+{\beta }^2}{\mathrm{1}-{\beta }^2}\frac{{\alpha }_1}{{r'}^3}\ , $ (14)
${\ddot{z}}'=-\frac{1}{2}{c^2z}'\frac{1+{\beta }^2}{\mathrm{1}-{\beta }^2}\frac{{\alpha }_1}{{r'}^3}$(15)
без малых величин большего порядка.


Гравитационная масса облака газа

Определим теперь среднюю гравитационную массу пары подобных частиц из облака газа, которое они образуют. Абсолютная величина ускорения частицы, находящейся на расстоянии $\bar{r}'$ от тел, составит
$ a'=\sqrt{{\ddot{x}'}^2+{\ddot{y}'}^2+{\ddot{z}'}^2} $ (16)
или
$a'=\frac{\mathrm{1}+{\beta }^2}{2\left(\mathrm{1}-{\beta }^2\right)}\frac{c^2{\alpha }_1}{{r'}^3}\sqrt{\frac{{x'}^2}{1-{\beta }^2}+{y'}^2+{z'}^2}\ $ (17)
Переходя к сферической системе координат с помощью преобразований
$ x'=r'\cos\varphi , \ \ \ \ \ $ $y'=r'\sin\varphi\cos\theta , \ \ \ \ \ $ $ z'=r'\sin\varphi\sin\theta .$ (18)
получим
$a'=\frac{c^2\left(1+{\beta }^2\right)}{2{\left(\mathrm{1}-{\beta }^2\right)}^{{3}/{2}}}\frac{{\alpha }_1}{{r'}^2}\sqrt{1-{\beta }^2{\mathrm{sin}}^2\varphi }\ .$ (19)
Для каждой пары частиц из облака газа система координат выбирается так, что ось $X'$ параллельна линии их движения, и расстояние до них составляет $r'$. В этом случае мы можем усреднить гравитационную массу одинаковых пар частиц, проявляющуюся в точке наблюдения, по углу $\varphi $. При их массе покоя $2m$ она будет
$ m_2=\frac{4m}{\pi }\frac{1+{\beta }^2}{{\left(\mathrm{1}-{\beta }^2\right)}^{{3}/{2}}}\int^{{\pi }/{2}}_0{\sqrt{1-{\beta }^2{\mathrm{sin}}^2\varphi }}d\varphi . $ (20)
Эта величина определяет гравитационную массу облака, состоящую из $n$ частиц:
$M=\frac{2nm}{\pi }\frac{1+{\beta }^2}{{(\mathrm{1}-{\beta }^2)}^{{3}/{2}}}E\left(\frac{\pi }{2},\ \beta \right)\ ,$ (21)
где $E\left(\frac{\pi }{2},\ \beta \right)$ это полный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода. На рис. 2 показано, как отношение гравитационной массы облака к суммарной массе покоя его частиц $Q=\frac{M}{nm}$ изменяется с увеличением скорости частиц.

Ende в сообщении #1584413 писал(а):

Доклад на конференции не становится авторитетным источником только потому, что оргкомитет его пропустил. Рецензирование на конференциях, даже если оно есть, на порядок слабее, чем в нормальных журналах.

Все-таки IC-MSQUARE это конференция достаточно высокого уровня и статья проверялась редакторами самой конференции и издательством материалов конференций AIP, где она была опубликована. Да и по сложности этот материал не то, что доказательство восьмой проблемы Гильберта. Его может проверить любой, кто более менее шарит в ОТО, что неоднократно делалось и никто ошибки, влияющей на результат, не нашел.

Geen в сообщении #1584405 писал(а):

Я правильно понимаю, что "активную гравитационную массу" Вы можете определить только для случая, когда гравитацией можно пренебречь? (и только для системы, которая развалится за короткое время?)
После этого хочется спросить, что Вы назваете "выводом по ТО"?

Есть понятие контрпримера. Если существует некая теория и в дополнение к ней задается некоторый постулат, в данном случае утверждение о том, что энергия и импульс материи как источники гравитационного поля составляют известный гидродинамический тензор, с помощью ковариантных преобразований которого можно получить его значение для движущейся материи, которое будет согласованным с остальной частью теории, то достаточно одного примера, который бы противоречил этому постулату, чтобы признать его ошибочным. В данном случае значение гравитационной массы облака движущихся частиц не может быть получено с помощью ковариантных преобразований тензора энергии-импульса покоящейся материи.
Попробую дать этому некоторое объяснение, хотя, возможно, оно и не вполне корректно. Применимость законов сохранения, задаваемых группой симметрии, определяется тем, какие измеряемые величины сопоставляются сохраняемым параметрам. Однако нельзя перевести материю из одной связанной с ней инерциальной системы отсчета в другую, не затратив энергию. Поэтому отдельно взятые энергия и импульс материи, как источник гравитации, не могут быть скомпонованы в ковариантный тензор энергии-импульса. Чтобы получить ковариантность, придется добавлять в преобразованный тензор какие-то дополнительные сущности, имеющие энергию и импульс. Но тогда получится, что начальный тензор должен быть дополнен, а в этом случае, преобразованный тензор снова изменится.

[Geen]

piksel в сообщении #1615840 писал(а):

Активная гравитационная масса этого этого облака оказывается

Неверно. Переход к формуле (21) неправильно обоснован - к облаку тех самых частиц эта формула отношения не имеет.

piksel в сообщении #1615840 писал(а):

В данном случае значение гравитационной массы облака движущихся частиц не может быть получено с помощью ковариантных преобразований тензора энергии-импульса покоящейся материи.

Смешно. Особенно последующее "объяснение".

[piksel]

Geen в сообщении #1615923 писал(а):

piksel в сообщении #1615840 писал(а):

Активная гравитационная масса этого этого облака оказывается

Неверно. Переход к формуле (21) неправильно обоснован - к облаку тех самых частиц эта формула отношения не имеет.

Расшифруйте, пожалуйста, ваше утверждение: какой переход, в чем ошибка?

[Geen]

piksel в сообщении #1615925 писал(а):

Расшифруйте, пожалуйста, ваше утверждение: какой переход, в чем ошибка?

Увы, не раньше, чем Вы напишите текст, который можно цитировать.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- изложите все нужные результаты непосредственно в посте, набрав формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы). Это нужно в том числе и для того, чтобы Ваш текст можно было цитировать.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.