Сила, действующая на точку в ОТО

[svv]

alexgol176, Вы ещё заглядываете в тему?

[schekn]

Утундрий в сообщении #1576180 писал(а):

ЛЛ в упомянутой задаче пользуются элементами теории 3+1 расщепления Зельманова. Там же, в подстрочном примечании можно найти ссылку на его работу. Теория эта, с одной стороны, геометрически тривиальна (проектирование всех тензоров на монаду), а с другой - не так чтобы проста. В теоретических курсах она обычно отсутствует. Однако в т.н. "Численной относительности" все её формулы регулярно "переоткрываются" и используются.

Я так понимаю Вы специалист по 3+1 расщеплению Зельманова. Вы не встречали противоречий и сложностей данного подхода в рамках ОТО? У меня три вопроса по данной концепции.

[Утундрий]

schekn в сообщении #1581278 писал(а):

Я так понимаю Вы специалист по 3+1 расщеплению Зельманова.

Ну, как сказать. Мне был интересен этот вопрос и я его выяснил. Потом, понятно, для очистки совести полез в Анналы и обнаружил, что "всё уже украдено до нас".

schekn в сообщении #1581278 писал(а):

У меня три вопроса по данной концепции.

Валяйте.

[pppppppo_98]

Doctor Boom в сообщении #1576166 писал(а):

Ведь и для электромагнитных сил можно сделать ковариантный подход (без члена взаимодействия в лагранжиане)

как?

-- Пн фев 13, 2023 03:21:40 --

piksel в сообщении #1576277 писал(а):

"Действующая на частицу сила f есть производная от ее импульса p по (синхронизированному) собственному времени..." В таком определении есть некоторая натянутость, заключающаяся в том, что время берется собственное для частицы, а импульс считается в координатной системе отсчета.

не то что натянутость а полная некорректоность ... Мы все существуем в собственной системе координат. Относительно нее - мы всегда неподвижны. Стало быть и сила равно 0...Сил - понятие отсутствующее в ОТО, она возникает только при ньютоновском переходе, где метрика искусственным образом раскладывается на некий евклидов фон и возмущение из-за наличие массивных тел. Причем эта постановка уже приводит к противроечиям при нетривиальной топологии , отличной от топологии евклидова пространства... Кстати одним из мотивов создания ОТО , были как размышления эйнштейна после открытия СТО - что теперь полный непотреб с гравитацией, ибо в определение ньютоновской гравитации входит расстояние - а оно разное в разных ИСО, стало быть и силы гравитации - разные в разных ИСО, и стало быть одним ковырянием в носу морщеньем лбамысленным экспериментом (переходом к иной исо) можно заставить землю крутиться по разным орбитам, или вообще выкинуть за пределы солнечной системы - сила то гравитации разная... А вся ньютонова механика крутиться вокруг того что силы локально зависят от локальных координат и скоростей - и при смене СО таким образом посеняются...Стало быть все силы надо выкинуть по тем же причинам , и перейти к полям... Дык вот у гравитации нет такого поля - метрика не материальное поле, а уравнения эйнштейна - это не про динамику - а про условия связи на метрику (хоть и гиперболическое уравнение в частных производных) ... Это скорее не вам , а топикстартеру

[Doctor Boom]

pppppppo_98 в сообщении #1581351 писал(а):

как?

Можно ввести конструкцию $\nabla_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu}-A_\mu$, это ковариантная производная в зарядовом пространстве, а $F_{\mu\nu}$ имеет смысл кривизны в этом пространстве (т.е. тут формулировка будет похожа на ковариантную ОТО-шную без члена взаимодействия)Про это написано у Фаддеева со Славновым в "Введении в квантовую теорию калибровочных полей" и наверное у Рубакова

[pppppppo_98]

Doctor Boom в сообщении #1581378 писал(а):

pppppppo_98 в сообщении #1581351 писал(а):

как?

Можно ввести конструкцию $\nabla_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu}-A_\mu$, это ковариантная производная в зарядовом пространстве, а $F_{\mu\nu}$ имеет смысл кривизны в этом пространстве (т.е. тут формулировка будет похожа на ковариантную ОТО-шную без члена взаимодействия)Про это написано у Фаддеева со Славновым в "Введении в квантовую теорию калибровочных полей" и наверное у Рубакова

ну ввели. И что член взаимодействия $\bar{\psi}\hat{A}\psi$при подстановке в фермионную часть лагражиана $$\bar{\psi}\hat{\partial}\psi\rightarrow\bar{\psi}\hat{\nabla}\psi=\bar{\psi}\hat{\partial}\psi+\bar{\psi}\hat{A}\psi$-и возникнет связь поля и тока. ака произведение тока $j_\mu=\bar{\psi}\gamma_\mu\psi$ на поле $A^\mu$ - в том самом лагранжиане...Таким образом не спрятать мусор под ковер. (нормировочные константы типа i - пропущены)

[Doctor Boom]

pppppppo_98
Ну дык в ОТО мы тоже можем расписать ковариантную производную, и получить там символы Кристоффеля, силы инерции и т.д.

pppppppo_98 в сообщении #1581541 писал(а):

лагранжиане...Таким образом не спрятать мусор под ковер.

Ну вот мы и спрятали
$$\bar{\psi}\hat{\nabla}\psi=\bar{\psi}\hat{\partial}\psi+\bar{\psi}\hat{A}\psi$, у нас "на самом деле" фермионная часть $\bar{\psi}\hat{\nabla}\psi$, а $\bar{\psi}\hat{\partial}\psi$ артефакт координатной сетки в зарядовом пространстве, ну в этой интерпретации

[Утундрий]

schekn
Я жду.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1581732 писал(а):

schekn
Я жду.

(Оффтоп)

Я нашел некоторые изъяны в своих вопросах, но надеюсь в ближайшие дни сформулирую.

[piksel]

pppppppo_98 в сообщении #1581351 писал(а):

Сил - понятие отсутствующее в ОТО, она возникает только при ньютоновском переходе, где метрика искусственным образом раскладывается на некий евклидов фон и возмущение из-за наличие массивных тел. Причем эта постановка уже приводит к противроечиям при нетривиальной топологии , отличной от топологии евклидова пространства... А вся ньютонова механика крутиться вокруг того что силы локально зависят от локальных координат и скоростей - и при смене СО таким образом посеняются... Дык вот у гравитации нет такого поля - метрика не материальное поле, а уравнения эйнштейна - это не про динамику - а про условия связи на метрику (хоть и гиперболическое уравнение в частных производных) ...

Согласен с вами, но чтобы определить метрику нужен тензор энергии-импульса, куда входит плотность активной гравитационной массы, которая инвариантна.

pppppppo_98 в сообщении #1581351 писал(а):

Кстати одним из мотивов создания ОТО , были как размышления эйнштейна после открытия СТО - что теперь полный непотреб с гравитацией, ибо в определение ньютоновской гравитации входит расстояние - а оно разное в разных ИСО, стало быть и силы гравитации - разные в разных ИСО, и стало быть одним ковырянием в носу морщеньем лбамысленным экспериментом (переходом к иной исо) можно заставить землю крутиться по разным орбитам, или вообще выкинуть за пределы солнечной системы - сила то гравитации разная... А вся ньютонова механика крутиться вокруг того что силы локально зависят от локальных координат и скоростей - и при смене СО таким образом посеняются...Стало быть все силы надо выкинуть по тем же причинам , и перейти к полям... Дык вот у гравитации нет такого поля - метрика не материальное поле, а уравнения эйнштейна - это не про динамику - а про условия связи на метрику (хоть и гиперболическое уравнение в частных производных)

Если используя механику Лагранжа получить уравнения движения частицы, куда входит контравариантный импульс и соответствующая сила, то там появляется дополнительный член, который характеризует энергообмен частицы с гравитационным полем. При этом, лагранжиан задается метрикой, а уравнения движения дают геодезические, поэтому Земля по разным орбитам крутиться не будет. Сила действительно нековариантна и ее величина зависит от выбора координат, но в сумме со скоростью энергообмена с гравитационным полем они дают импульс частицы, который ковариантен. И в ОТО появляется нековариантный псевдо-тензор нелокализуемой энергии гравитационного поля. В пределе слабой гравитации компоненты вектора силы в различных системах координат ассимтотически сходятся, и из нее можно определить гравитационную массу (пассивную) частицы. Сравнение ее с активной позволяет проверить, насколько справедливы законы сохранения энергии, импульса и 3й закон Ньютона, вытекающий из них. Плотность гравитационной массы, определенной в собственной системе отсчета при слабой гравитации, согласно ОТО, ввиду инвариантности может быть перенесена в тензор энергии-импульса и для сильной гравитации с нетривиальной топологией.

[alexgol176]

Утундрий в сообщении #1576180 писал(а):

Что ж, это меняет дело. Похоже, ТС интересует не рассчёт эффектов, а философское обоснование со ссылкой на авторитеты и вплоть до наведения полнейшего порядка в определениях. Меня тоже периодически в такую степь заносит, но (слава Тензору!) достаточно скоро отпускает.

ЛЛ в упомянутой задаче пользуются элементами теории 3+1 расщепления Зельманова. Там же, в подстрочном примечании можно найти ссылку на его работу. Теория эта, с одной стороны, геометрически тривиальна (проектирование всех тензоров на монаду), а с другой - не так чтобы проста. В теоретических курсах она обычно отсутствует. Однако в т.н. "Численной относительности" все её формулы регулярно "переоткрываются" и используются.

Странный ответ.
Что Вы, можете сказать со своей стороны?
Академик Ландау неправ, считая что на частицу в гравитационном поле действует сила, выражение для которой он привёл?
У Вас есть своё мнение по-существу о приведённом выводе? Без пространных рассуждений о том, чем пользовался Ландау и на что ссылался.

[Утундрий]

alexgol176
Я уже, грешным делом, расслабился и решил, что вы ушли в себя и остались там навсегда. А вы, оказывается, всё это время копили желчь. Надеюсь, после этой серии плевков вам полегчало. Дискутировать с вами в такой манере я не намерен. Пойдите, погуляйте, пока из вас не выветрится весь петушиный задор.

[alexgol176]

Утундрий в сообщении #1583270 писал(а):

alexgol176
А вы, оказывается, всё это время копили желчь.

Я до этого не видел вашего ответа. Почему — не знаю...

Утундрий в сообщении #1583270 писал(а):

alexgol176
Надеюсь, после этой серии плевков вам полегчало.

Странно, почему мой интерес к вашему личному мнению по существу вопроса для Вас так болезненен, что Вы увидели "серию плевков"?..

Вообще, почему мои вопросы о невинной задачке, поставленной и решённой в учебнике Ландау и Лифшица, вызывают такую странную реакцию кандидатов и докторов физматнаук?

Что такого "краеугольного" или не знаю... "сакрального" там написано, что люди избегают прямо ответить, что по этому поводу думают?

[Утундрий]

alexgol176 в сообщении #1583337 писал(а):

Что такого "краеугольного" или не знаю... "сакрального" там написано, что люди избегают прямо ответить, что по этому поводу думают?

Я и ответил. Указал откуда это вылезло и как это понимать. Авторы учебника не владели соответствующим аппаратом, поэтому использовали его: 1) не в полной мере (но оставив ссылку на общий случай) 2) странным образом.

Какого ещё ответа вы ждёте?

[alexgol176]

Утундрий в сообщении #1583395 писал(а):

alexgol176 в сообщении #1583337 писал(а):

Какого ещё ответа вы ждёте?

Не знаю, может я действительно недостаточно чётко сформулировал вопрос, потому не могу добиться ответа.

Попробую ещё раз. При разговоре об ОТО принято говорить, что "гравитация – не сила", поскольку движение частицы в ОТО описывается при помощи 4-мерного уравнения движения, содержащего коэффициенты аффинной связности, описывающие геометрию пространства-времени. Т. о. для описания движения частицы в ОТО не требуется никаких представлений о 3-мерной силе, действующей на частицу со стороны гравитационного поля.

Ландау и Лифшиц решили представить дело так: с трехмерной точки зрения движение частицы в постоянном гравитационном поле таково, как если бы на неё со стороны этого поля действовала некая сила (подобно тому, как это делается в классической механике в НИСО, когда вводят силы инерции).

Был получен следующий результат:
$\mathbf{f} = \dfrac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\left\{-\operatorname{grad}\ln{\sqrt{h}} + \sqrt{h}\left[\tfrac{\mathbf v}{c},\operatorname{rot}\mathbf g\right] \right\}$

В итоге возникло три конкретных вопроса.

1) Насколько справедлив такой результат? Грубо говоря, считают ли специалисты, что данная формула верна или у них есть к ней претензии?

2) Насколько корректно такое трёхмерное представление?

3) В рамках СТО (§10) 3-мерная сила вводится как и в классической механике:

$$ \mathbf f = \dfrac{d\mathbf p}{dt}, $$

где $\mathbf p$ ‒ 3-импульс частицы, а $t$ ‒ время. Переходя собственному времени $d\tau$ или, что то же, к $ds$, авторы пишут:

$$ f^\alpha = c\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\dfrac{dp^\alpha}{ds}, $$

где $p^\alpha = mcu^\alpha\ (\alpha=1,2,3)$ ‒ пространственные компоненты 4-импульса: $p^\mu = mcu^\mu = mc\tfrac{dx^\mu}{ds}\ (\mu=0,1,2,3)$.

Данную формулу для силы авторы распространяют на ОТО, заменяя обычный дифференциал 3-импульса ковариантным, посчитанным с помощью 3-мерных символов Кристоффеля $\lambda^\alpha_{\beta\gamma}$:

$$ f^\alpha = c\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\dfrac{Dp^\alpha}{ds}. $$

Насколько корректно так определять 3-силу в ОТО?

Меня интересует мнение профессиональных физиков-теоретиков. Как бы они ответили на эти три вопроса.