"Сила Окуня" vs. ЛЛ2, п. 88, (3)

[chislo_avogadro]

Речь о формуле для гравитационной силы из известного обзора Окуня о массе -

$$\displaystyle \mathbf F = -GM\frac{E}{c^2}\left[ \biggl(1+\frac{\mathbf{v^2}}{c^2}\biggr)\mathbf r - \frac{\mathbf r \mathbf v}{c^2} \mathbf v \right]r^{-3}. \qquad \qquad \qquad \qquad (8.1)$$

Выглядит весьма элегантно. Как её получить? В УФН была статья, в которой "показано, в частности, как подобная формула могла бы возникнуть".

Автор исходит из определения силы как $\displaystyle \frac{d\mathbf p}{d\tau}$ и определяет наблюдателя как "находящегося в определённом месте шварцшильдовской системы координат" $\displaystyle (r,\theta,\varphi)$. Здесь $d\tau = \gamma ds$ - собственное время наблюдателя.

Далее он пишет уравнения движения ОТО, решает их и получает результат -

$\displaystyle \frac{d\mathbf p}{d\tau} = \frac{m}{\sqrt{1-v^2}\sqrt{1-r_g/r}} \biggl\{ -\frac{M}{r^2}\mathbf{e}_r + \biggl( 1- \frac{r_g}{r}\biggr) \frac{v_\widehat{\varphi}}{r}\mathbf{v}_R \biggr\}, \qquad \qquad \qquad \qquad (30)$

Где

${\displaystyle \mathbf{v}_R = \displaystyle v_{\widehat{\varphi}} \displaystyle \mathbf{e}_r - v_{\widehat{r}} \displaystyle \mathbf{e}_\varphi.}\qquad \qquad \qquad \qquad (32)$

И если в $(30)$ множитель $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-r_g/r}}$ заменить на $\simeq \displaystyle \biggl( 1 + \frac{r_g}{2r}\biggr)$ то, с учётом $(32),$ действительно, получается $(8.1)$.

(Оффтоп)

Равенство $(30)$ можно получить и не решая уравнений. Как я понял, достаточно их записать и сравнить с ньютоновскими.

Всё вроде бы хорошо, но, заглянув в ЛЛ2, §88, задача 1, можно увидеть, что у них гравитационная сила $(3)$ от скорости не зависит.

Замечу, что в шварцшильдовской метрике задача ЛЛ очень упрощается: все $g^\alpha = 0$ и, следовательно, $\Gamma^{\alpha}_{0\beta}$ в $(1)$ тоже нули; "синхронизованное собственное время" это просто $ds$; в уравнениях движения $(2)$ второй член обнуляется.

Как видно из решения, различие кроется в определениях силы. В ЛЛ она определяется с помощью некоего "трехмерного ковариантного дифференциала" - именно он даёт зависящий от скорости член, равный и противоположный по знаку тому, что в уравнении движения $(2)$, и в итоге они взаимно уничтожаются.

Кто же прав, какое определение верно?

[piksel]

Замечу, что сила Окуня получена для метрики Шварцшильда в сферических координатах, в которых появляются фиктивные составляющие силы. Это приводит, в частности, к появлению различных поперечной и продольной пассивной гравитационной массы частиц. В изотропных координатах этого не происходит.

[piksel]

(Оффтоп)

Считать силу, получаемую по аналогии с ньютоновской F=dp/dt, гравитационной концептуально не вполне корректно. В статье, на которую дана ссылка, берется лагранжиан материальной частицы
$L=\frac{1}{2}mg_{ij}\frac{dx_i}{ds}\frac{dx_j}{ds}$
и из него в соответствии с механикой Лагранжа определяются физические импульсы
$p^{\lambda }=g^{\lambda j}\frac{\partial L}{\partial u^{i} } $.
Но сила определяется по Ньютону. Получается некий гибрид ньютоновской и лагранжевой механики. По Лагранжу обобщенная сила будет
$F_{i } =\frac{\partial L}{\partial x^{i} }$.
В ЛЛ2 п. 96 написано, что "в гравитационном поле должен сохраняться не 4-импульс одной лишь материи, а 4-импульс материи вместе с гравитационным полем". Очевидно, что это должно выполняться и для отдельной частицы, но в формулах (8.1) и (30) 4-импульс гравитационного поля отсутствует. Поэтому пытаться определить через эти выражения гравитационную массу частиц ошибочно.

С физической гравитационной силой естественно связывать, как и физические импульсы, контравариантную обобщенную силу, которая для лагранжиана материальной частицы составит
$F^{k} =g^{k\lambda }\frac{\partial L}{\partial x^{\lambda } } =\frac{1}{2}mg^{k\lambda } \frac{\partial g_{ij} }{\partial x^{\lambda } }\frac{dx_i}{ds}\frac{dx_j}{ds}. $
В уравнениях Лагранжа в контравариантной форме
$\frac{dp^{k} }{ds} +mg^{k{\kern 1pt} \lambda } \frac{\partial g_{\lambda {\kern 1pt} i} }{\partial x^{j} }\frac{dx_j}{ds} p^{i}=F^{k} $
второй член в левой части может быть связан с импульсами, которыми обменивается частица с гравитационным полем при движении в нем.
Сила $F^{k}$ нековариантна. Поэтому ее можно рассматривать, например, для метрики Шварцшильда только в пределе слабой гравитации.

[chislo_avogadro]

piksel в сообщении #1549502 писал(а):

Получается некий гибрид ньютоновской и лагранжевой механики. По Лагранжу обобщенная сила будет
$F_{i } =\frac{\partial L}{\partial x^{i} }$.

Любопытно было бы попробовать и этот путь. Я, правда, не представляю, как получить на нём (8.1), т. к. лагранжиан свободной частицы трудно представить себе явно зависящим от $\varphi.$

piksel в сообщении #1549502 писал(а):

Сила $F^{k}$ нековариантна.

Ковариантное выражение даётся
https://en.wikipedia.org/wiki/Four-force
$\displaystyle F^{\lambda }:={\frac {DP^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dP^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{{\mu \nu }}U^{\mu }P^{\nu }$
В отсутствие сторонних сил это ноль. То есть, 4-сила хорошо определена. Вопрос "лишь" в том, как из неё получить компоненты 3-силы в произвольно выбранной системе отсчёта, подобно тому, как это имеет место в специальной относительности. ЛЛ вот предлагают свой "трёхмерный ковариантный дифференциал", но его как-то больше нигде не видно, трудно "прочувствовать".

Между прочим в п. 87 ЛЛ дают и иное определение -

Цитата:

Производная $\dfrac{d^2x^i}{d^2s}$ есть 4-ускорение частицы. По-
этому мы можем назвать величину $-m\Gamma^i_{kl}u^ku^l$ «4-силой», дейст-
вующей на частицу в гравитационном поле.

А это уже совпало бы с УФН-овским определением.

Однако трагедии во всей этой ситуации, видимо, нет (хотя и особой красоты тоже), поскольку значение имеет лишь определение движения, а оно в гравитации определяется, как я понимаю, без обращения к силам.

[zykov]

chislo_avogadro в сообщении #1549546 писал(а):

поскольку значение имеет лишь определение движения, а оно в гравитации определяется, как я понимаю, без обращения к силам.

Верно.
Уже в СТО понятие силы теряет полезность. А тянут его по привычке, что неправильно.

[Paganel]

Формула Окуня банально неправильная. Из ОТО вытекает не она, а другая - формула ЛЛ. Подробности тут:
ссылка удалена

[Pphantom]

Paganel, если очень хочется, изложите свою позицию тут - без ссылок на внешние ресурсы. Хотя сначала все-таки рекомендуется подумать о том, что общепринятое отношение к массе фотона не сводится к Л.Б.Окуню, его статья в УФН - лишь методически последовательное изложение других многочисленных работ.

[Paganel]

Попробую изложить коротко.

1) Формула Ритуса (30) из стартового поста неправильная: согласно ей скорость тела относительно покоящегося(!!) наблюдателя меняется даже в отсутствие тяготения (при $M=0$). Это не так ни в классической механике, ни в ОТО.

2) Проверка вычислений Ритуса показывает, что проблема возникла потому, что в ответе (30) ошибочно пропущен вклад от вращения единичных векторов (ортов), по которым раскладывается скорость.

3) Сила Окуня (8.1) вовсе не получается из (30), как написано в стартовом посте: она веь исчезает при $M=0$. Она получается из поправленной формулы (30) после включения вращения, но включения неправильного - игнорируя эффекты пространственной кривизны.

4) При правильном включении вращения, с откорректированной угловой скоростью вращения, вместо формулы Окуня получается правильный ответ для гравитационной силы, и он совпадает с ответом из ЛЛ2.

5) Все утверждения Окуня о зависимости гравитационной силы от направления скорости частицы (в т.ч. фотона), о связи удвоения гравитационной силы для горизонтально летящего фотона с удвоением угла отклонения фотона в гравитационном поле Солнца - неправильные. Удвоение угла объясняется не удвоением силы, а вкладом 3-мерной кривизны пространства, ведущему к повороту импульса без всякого приложения силы.

6) Детали вычислений, выводы и объяснения, дополнительные приложения расписаны в статье, ссылка на текст которой удалена модератором. Ну что ж, ждите тогда ее выхода из печати. Втискивать 22 страницы математического текста в сотню постов у меня нет сил.

7) На мысль модератора, что статья Окуня это "лишь методически последовательное изложение других многочисленных работ", отвечу, что это не относится к гравитационной массе релятивистских частиц. На тему такой массы никаких многочисленных работ нет. Мне они неизвестны (кроме ЛЛ2) и не цитируются ни Окунем, ни В.И.Ритусом - автором статьи с формулой (30).

[Pphantom]

Paganel в сообщении #1549679 писал(а):

Попробую изложить коротко.

Было бы неплохо при этом еще и формулы правильно оформлять (выше я сам поправил).

Paganel в сообщении #1549679 писал(а):

1) Формула Ритуса (30) из стартового поста неправильная: согласно ей скорость тела относительно покоящегося(!!) наблюдателя меняется даже в отсутствие тяготения (при $M=0$). Это не так ни в классической механике, ни в ОТО.

Можно начать с обоснования этого утверждения.

[chislo_avogadro]

К сожалению, уважаемый Paganel ушёл из темы, но ситуацию он прояснил - при нахождении силы нельзя забывать дифференцировать орты.

Суть дела легко проследить на ньютоновской гравитации - компоненты ускорения там можно записать в виде $\displaystyle \frac{dv_r }{dt} = - \frac{GM}{r^2} + \frac{1}{r}v^2_\varphi, \frac{dv_{\varphi}}{dt} = -\frac{1}{r}v_rv_{\varphi},$

и если вектор ускорения строить далее как $\displaystyle \frac{d\mathbf v }{dt} = \frac{d v_r }{dt}\mathbf e_r + \frac{d v_{\varphi} }{dt}\mathbf e_{\varphi}, $ то получится ненулевая сила при $M = 0.$

Этого, как видно, не будет, если, как положено, включить в дифференцирование скорости $\mathbf v = v_r \mathbf e_{r} + v_{\varphi} \mathbf e_{\varphi}$ и орты и учесть, что $\displaystyle d\mathbf e_r = \mathbf e_{\varphi}d\varphi$ и $\displaystyle d\mathbf e_{\varphi} = - \mathbf e_{r}d\varphi.$

Невероятно, но факт - в цитированной статье Ритуса в УФН этого не сделано, орты не продифференцированы. Это можно увидеть, если расписать (30) из стартового поста по компонентам и сравнить с уравнениями геодезических. Последние, к примеру можно в полуготовом виде найти у Толмена ("Относительность...", 1974), выражения (83.7) и (83.8) и преобразовать их с учётом, что для неподвижного наблюдателя $\displaystyle d\tau = \gamma ds, v_r = \sqrt{g_{rr}}\frac{dr}{d\tau}, v_{\varphi} = \sqrt{g_{\varphi\varphi}}\frac{d\varphi}{d\tau}.$ Компоненты совпадают точно.

Ещё один момент - дифференциалы ортов при изменении шварцшильдовского азимута тела выглядят так: $\displaystyle d\mathbf e_r = \mathbf e_{\varphi}\sqrt{1-\frac{r_g}{r}}d\varphi$ и $\displaystyle d\mathbf e_{\varphi} = - \mathbf e_{r}\sqrt{1-\frac{r_g}{r}}d\varphi.$ В работе Paganel это подробно обсуждается.

В итоге все члены, содержащие компоненты скоростей, из производной импульса исчезают, гравитационная сила направлена на центр тяготения.

chislo_avogadro в сообщении #1548063 писал(а):

Как видно из решения, различие кроется в определениях силы. В ЛЛ она определяется с помощью некоего "трехмерного ковариантного дифференциала" - именно он даёт зависящий от скорости член, равный и противоположный по знаку тому, что в уравнении движения $(2)$, и в итоге они взаимно уничтожаются.

Это оказалось неверно. Различие у Ритуса и Ландау-Лифшица заключено в том, что Ритус работает с вектором силы, а ЛЛ с её компонентами. Определение силы у них однако используется одно и то же, и, если всё делать с учётом приведенных корректировок, то и результат один и тот же.

(Оффтоп)

Pphantom можете восстановить ссылку? В порядке исключения? Возможно, работа кого-то заинтересует и будет критика.

[piksel]

chislo_avogadro в сообщении #1549546 писал(а):

piksel в сообщении #1549502 писал(а):

Получается некий гибрид ньютоновской и лагранжевой механики. По Лагранжу обобщенная сила будет
$F_{i } =\frac{\partial L}{\partial x^{i} }$.

Любопытно было бы попробовать и этот путь. Я, правда, не представляю, как получить на нём (8.1), т. к. лагранжиан свободной частицы трудно представить себе явно зависящим от $\varphi.$

Формулу (8.1) так получить не получится. Для метрики Шварцшильда в сферических координатах для материальной частицы контравариантная сила имеет вид
$Q_{}^{2} =\frac{c^{2} m\alpha }{r^{2} } \left(\frac{1}{2} -\frac{\eta ^{2} r}{r-\alpha } \right)+\frac{cA^{2} }{r^{3} } \left(1-\frac{\alpha }{2r} \right), $
где постоянная A определяется из уравнения
$\frac{d\varphi }{ds} =\frac{A}{r^{2} }.$
Постоянная $\eta$ для геодезических с неограниченным r определяется величиной радиальной скорости на бесконечности V и составляет
$\eta _{1} =\left(1-\frac{V^{2} }{c^{2} } \right)^{-1/2} .$
Если радиальная координата имеет конечное экстремальное значение $r_{ext} $, то получаем
$\eta _{2} =\left[\left(1+\frac{A^{2} }{r_{ext}^{2} } \right)\left(1-\frac{\alpha }{r_{ext} } \right)\right]^{1/2} .$
С формулой (8.1) выражение $Q^2$ совпадает только если частица неподвижна.
Поскольку координаты сферические, то появляется фиктивная составляющая силы, что делает ее зависимой от А и нет смысла определять из этого выражения пассивную гравитационную массу частицы кроме как в случае радиального движения. В прямоугольных координатах изотропной метрики Шварцшильда фиктивная составляющая не появляется и выражение для силы имеет вид
$Q_{rect}^{2} =-\frac{c^{2} m\alpha }{2\overline{r^{2} }\left(1+\frac{\alpha }{4\overline{r}} \right)^{3} } \left(\eta ^{2} \left[\left(1-\frac{\alpha }{4\overline{r}} \right)^{-3} +\left(1-\frac{\alpha }{4\overline{r}} \right)^{-2} \right]-\left(1+\frac{\alpha }{4\overline{r}} \right)^{-2} \right),$
где использована трансформация $r=\left(1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} \right)^{2} \bar{r}.$ При $\eta=\eta _1$ оно не зависит от постоянной А, то есть, от направления движения. Поэтому при слабой гравитации в некоторых случаях из нее можно определить пассивную гравитационную массу частицы.

[chislo_avogadro]

piksel в сообщении #1550751 писал(а):

chislo_avogadro в сообщении #1549546 писал(а):

piksel в сообщении #1549502 писал(а):

Получается некий гибрид ньютоновской и лагранжевой механики. По Лагранжу обобщенная сила будет
$F_{i } =\frac{\partial L}{\partial x^{i} }$.

Любопытно было бы попробовать и этот путь. Я, правда, не представляю, как получить на нём (8.1), т. к. лагранжиан свободной частицы трудно представить себе явно зависящим от $\varphi.$

Формулу (8.1) так получить не получится.

Так это и правильно, вероятнее всего верна формула из Ландау и Лифшица.

piksel в сообщении #1550751 писал(а):

Для метрики Шварцшильда в сферических координатах для материальной частицы контравариантная сила имеет вид
$Q_{}^{2} =\frac{c^{2} m\alpha }{r^{2} } \left(\frac{1}{2} -\frac{\eta ^{2} r}{r-\alpha } \right)+\frac{cA^{2} }{r^{3} } \left(1-\frac{\alpha }{2r} \right), $

Ваша формула, полученная видимо из лагранжиана, мне не очень ясна. Но если идти по этому пути, можно взять готовую формулу из Толмена -

$$\left( \frac{dr}{ds} \right)^2 + r^2 \left( \frac{d\varphi}{ds} \right)^2 - \frac{r_g}{r}\left[ 1 + r^2 \left( \frac{d\varphi}{ds} \right)^2 \right] = k^2 -1 \qquad (83.10)$$

Это выражение получено непосредственно из шварцшильдовской метрики и представляет собой по сути гамильтониан свободной частицы. Далее можно использовать соотношения, данные Ритусом для неподвижного шварцшильдовского наблюдателя $\displaystyle d\tau = \gamma ds, v_r = \sqrt{g_{rr}}\frac{dr}{d\tau}, v_{\varphi} = \sqrt{g_{\varphi\varphi}}\frac{d\varphi}{d\tau},$ подставить их в (83.10) и найти компоненты силы, используя левую часть этого выражения как гамильтониан.
С учётом $\displaystyle \gamma = \frac{k}{\sqrt{1-r_g/r}} \longrightarrow \frac{E/m}{\sqrt{1-r_g/r}}$ получается формула силы (3) из Ландау и Лифшица в виде $\displaystyle f_r = -\frac{GM}{r^2}E\frac{1}{\sqrt{1-r_g/r}}, $ к которому она приведена в работе Paganel. Дифференцирование у него выполнено по физической координате, т.е. по $\sqrt{g_{rr}}dr$.

$\displaystyle f_{\varphi}$, естественно, равна нулю.

piksel в сообщении #1550751 писал(а):

Поскольку координаты сферические, то появляется фиктивная составляющая силы,

Если фиктивные силы обусловлены криволинейностью пространственных координат, то при правильном дифференцировании они исчезают - см. посты Paganel'я. Выше я привёл пример для полярной системы координат и ньютоновской гравитации.

[piksel]

chislo_avogadro в сообщении #1549546 писал(а):

Далее можно использовать соотношения, данные Ритусом для неподвижного шварцшильдовского наблюдателя $\displaystyle d\tau = \gamma ds, v_r = \sqrt{g_{rr}}\frac{dr}{d\tau}, v_{\varphi} = \sqrt{g_{\varphi\varphi}}\frac{d\varphi}{d\tau},$ подставить их в (83.10) и найти компоненты силы, используя левую часть этого выражения как гамильтониан.
С учётом $\displaystyle \gamma = \frac{k}{\sqrt{1-r_g/r}} \longrightarrow \frac{E/m}{\sqrt{1-r_g/r}}$ получается формула силы (3) из Ландау и Лифшица в виде $\displaystyle f_r = -\frac{GM}{r^2}E\frac{1}{\sqrt{1-r_g/r}}, $ к которому она приведена в работе Paganel. Дифференцирование у него выполнено по физической координате, т.е. по $\sqrt{g_{rr}}dr$.

$\displaystyle f_{\varphi}$, естественно, равна нулю.

Если наблюдатель неподвижный в метрике Шварцшильда, как у Ритуса, переход к его системе отсчета осуществляется заменой времени на удалении $ds$ на собственное время наблюдателя $d\tau$. Однако здесь еще дополнительно надо перейти от расстояния в системе отсчета на удалении $r$ к расстоянию в системе отсчета наблюдателя $r_{obs}=\frac{r}{\sqrt{1-r_g/r}}$. Если наблюдатель движется вместе с частицей, как в ЛЛ2, то метрические коэффициенты в выражении для силы уже не будут соответствовать статической метрике Шварцшильда, так как в этой системе отсчета источник гравитации движется. Для примера, метрика Керра вращающегося источника гравитации не является ортогональной. Поэтому я сомневаюсь, что прямая подстановка коэффициентов сферической метрики Шварцшильда в выражение для силы в этом случае даст адекватный результат.

chislo_avogadro в сообщении #1550875 писал(а):

piksel в сообщении #1550751 писал(а):

Для метрики Шварцшильда в сферических координатах для материальной частицы контравариантная сила имеет вид
$Q_{}^{2} =\frac{c^{2} m\alpha }{r^{2} } \left(\frac{1}{2} -\frac{\eta ^{2} r}{r-\alpha } \right)+\frac{cA^{2} }{r^{3} } \left(1-\frac{\alpha }{2r} \right), $

Ваша формула, полученная видимо из лагранжиана, мне не очень ясна.

Это формула для силы в неподвижной системе отсчета на удалении. Рассмотрим быстро движущуюся частицу в слабом поле гравитации, $\frac{\alpha }{r}<<\frac{V^2}{c^2}$. Ее движение будет неограниченным: $\eta =\left(1-\frac{V^{2} }{c^{2} } \right)^{-1/2}$.
При радиальном движении, $A=0$, формула для единственной ненулевой составляющей вектора силы $Q^2$ преобразуется к виду
$Q_r =-\frac{c^{2} m\alpha }{2r^{2} } \left(\frac{c^2+V^{2} }{c^{2}-V^2} \right)$.
Формула для силы в пространстве-времени, описываемом изотропной метрикой Шварцшильда, $Q_{rect}^{2}$ в этом случае дает совпадающий результат вне зависимости от направления движения частицы.

[chislo_avogadro]

piksel в сообщении #1551000 писал(а):

Однако здесь еще дополнительно надо перейти от расстояния в системе отсчета на удалении $r$ к расстоянию в системе отсчета наблюдателя $r_{obs}=\frac{r}{\sqrt{1-r_g/r}}$.

Но ведь это справедливо для только дифференциалов?

piksel в сообщении #1551000 писал(а):

Если наблюдатель движется вместе с частицей,

Уравнение (83.10) получено, видимо, именно для этого наблюдателя. Но я сделал переход к неподвижному наблюдателю, воспользовался при этом соотношениями из статьи Ритуса, всё было написано. А как должен при таком переходе преобразовываться $r$, если считается, что неподвижный наблюдатель сидит на том же радиусе?
Впрочем, это я просто попытался получить результат упрощённо, "на халяву", особенно на этом варианте настаивать не буду.

piksel в сообщении #1551000 писал(а):

При радиальном движении, $A=0$, формула для единственной ненулевой составляющей вектора силы $Q^2$ преобразуется к виду
$Q_r =-\frac{c^{2} m\alpha }{2r^{2} } \left(\frac{c^2+V^{2} }{c^{2}-V^2} \right)$.

Вот это мы можем сверить с результатом Ритуса. Он хоть и забыл продифференцировать орты, но компоненты силы он получил правильные. Компонента радиальной силы следует из (30) и (32) его статьи (они есть и в стартовом сообщении) и будет

$\displaystyle\frac{d(\gamma v_{{r}})}{d\tau} = \gamma\frac{1}{{\sqrt{1-{r_g/r}}}} \left\{ - \frac{M}{r^2} + \frac{1}{r}v^2_{{\varphi}} - \frac{r_g}{r^2} v^2_{{\varphi}} \right\}.$ То же самое получается и из уравнения геодезической.

То есть, при нулевой $v_\varphi$ скорость входит только в $\gamma.$

[piksel]

chislo_avogadro в сообщении #1551033 писал(а):

piksel в сообщении #1551000 писал(а):

Если наблюдатель движется вместе с частицей,

Уравнение (83.10) получено, видимо, именно для этого наблюдателя. Но я сделал переход к неподвижному наблюдателю, воспользовался при этом соотношениями из статьи Ритуса, всё было написано. А как должен при таком переходе преобразовываться $r$, если считается, что неподвижный наблюдатель сидит на том же радиусе?
Впрочем, это я просто попытался получить результат упрощённо, "на халяву", особенно на этом варианте настаивать не буду.

Уравнение (83.10) получено для неподвижного наблюдателя, находящегося на удалении, см. начальное уравнение (83.1) к коэффициентами метрики Шварцшильда (82.9).

chislo_avogadro в сообщении #1551033 писал(а):

piksel в сообщении #1551000 писал(а):

Однако здесь еще дополнительно надо перейти от расстояния в системе отсчета на удалении $r$ к расстоянию в системе отсчета наблюдателя $r_{obs}=\frac{r}{\sqrt{1-r_g/r}}$.

Но ведь это справедливо для только дифференциалов?

Да, прежде всего, для дифференциалов, но если мы рассматриваем расстояния в координатной системе отсчета, то можно и так.

chislo_avogadro в сообщении #1551033 писал(а):

piksel в сообщении #1551000 писал(а):

При радиальном движении, $A=0$, формула для единственной ненулевой составляющей вектора силы $Q^2$ преобразуется к виду
$Q_r =-\frac{c^{2} m\alpha }{2r^{2} } \left(\frac{c^2+V^{2} }{c^{2}-V^2} \right)$.

Вот это мы можем сверить с результатом Ритуса. Он хоть и забыл продифференцировать орты, но компоненты силы он получил правильные. Компонента радиальной силы следует из (30) и (32) его статьи (они есть и в стартовом сообщении) и будет

$\displaystyle\frac{d(\gamma v_{{r}})}{d\tau} = \gamma\frac{1}{{\sqrt{1-{r_g/r}}}} \left\{ - \frac{M}{r^2} + \frac{1}{r}v^2_{{\varphi}} - \frac{r_g}{r^2} v^2_{{\varphi}} \right\}.$ То же самое получается и из уравнения геодезической.

То есть, при нулевой $v_\varphi$ скорость входит только в $\gamma.$

Компонента $Q_r$ совпадет с приведенным результатом, только если частица неподвижна, поскольку у Ритуса сила по определению $dp/ds$ с переходом от s к $\tau$, а $Q_r=F^2$ получаемая по формуле

piksel в сообщении #1549502 писал(а):

$F^{k} =g^{k\lambda }\frac{\partial L}{\partial x^{\lambda } }$,

входящей в преобразованное уравнение Лагранжа

piksel в сообщении #1549502 писал(а):

$\frac{dp^{k} }{ds} +mg^{k{\kern 1pt} \lambda } \frac{\partial g_{\lambda {\kern 1pt} i} }{\partial x^{j} }\frac{dx_j}{ds} p^{i}=F^{k}. $

В этом уравнении присутствует дополнительный член, который не будет равен 0, если частица движется.