Сила, действующая на точку в ОТО

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[piksel]

Возвращаясь к теме топикпастера:

alexgol176 в сообщении #1583423 писал(а):

При разговоре об ОТО принято говорить, что "гравитация – не сила", поскольку движение частицы в ОТО описывается при помощи 4-мерного уравнения движения, содержащего коэффициенты аффинной связности, описывающие геометрию пространства-времени. Т. о. для описания движения частицы в ОТО не требуется никаких представлений о 3-мерной силе, действующей на частицу со стороны гравитационного поля.

Ландау и Лифшиц решили представить дело так: с трехмерной точки зрения движение частицы в постоянном гравитационном поле таково, как если бы на неё со стороны этого поля действовала некая сила (подобно тому, как это делается в классической механике в НИСО, когда вводят силы инерции).

Был получен следующий результат:
$\mathbf{f} = \dfrac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\left\{-\operatorname{grad}\ln{\sqrt{h}} + \sqrt{h}\left[\tfrac{\mathbf v}{c},\operatorname{rot}\mathbf g\right] \right\}$

В итоге возникло три конкретных вопроса.

1) Насколько справедлив такой результат? Грубо говоря, считают ли специалисты, что данная формула верна или у них есть к ней претензии?

2) Насколько корректно такое трёхмерное представление?

3) В рамках СТО (§10) 3-мерная сила вводится как и в классической механике:

$$ \mathbf f = \dfrac{d\mathbf p}{dt}, $$

где $\mathbf p$ ‒ 3-импульс частицы, а $t$ ‒ время. Переходя собственному времени $d\tau$ или, что то же, к $ds$, авторы пишут:

$$ f^\alpha = c\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\dfrac{dp^\alpha}{ds}, $$

где $p^\alpha = mcu^\alpha\ (\alpha=1,2,3)$ ‒ пространственные компоненты 4-импульса: $p^\mu = mcu^\mu = mc\tfrac{dx^\mu}{ds}\ (\mu=0,1,2,3)$.

Данную формулу для силы авторы распространяют на ОТО, заменяя обычный дифференциал 3-импульса ковариантным, посчитанным с помощью 3-мерных символов Кристоффеля $\lambda^\alpha_{\beta\gamma}$:

$$ f^\alpha = c\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\dfrac{Dp^\alpha}{ds}. $$

Насколько корректно так определять 3-силу в ОТО?

Меня интересует мнение профессиональных физиков-теоретиков. Как бы они ответили на эти три вопроса.

рассмотрим следующий пример:
Два тела с массами m (1) и M (2), m<<M движутся навстречу друг другу со скоростью $v>c/\sqrt{3}$. Для определенности будем считать размеры тел малыми по сравнению с расстоянием между ними и гравитацию слабой. В этом случае они будут тормозить в движении относительно друг друга, см., Блинников С И, Высоцкий М И, Окунь Л Б, УФН 173 1131–1136 (2003) .
Для метрики Шварцшильда радиальная компонента данной силы имеет вид
$\mathbf{f}_r =-\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\tfrac{r_0}{r^2\left(1-\tfrac{r_0}{r}\right)}.$
То есть, в инерциальной системе отсчета К, в некоторый момент неподвижной относительно тела (2), при $r_0=r_0^M$. эта сила, согласно определению в задаче, будет увеличивать радиальный импульс тела (1), несмотря на его торможение. С другой стороны, 2е тело также будет тормозить в инерциальной системе отсчета К', в некоторый момент неподвижной относительно тела (2). Это означает, что в системе отсчета К оно начнет двигаться в направлении движения 1го тела и их суммарный импульс будет возрастать, что нарушает закон сохранения импульса. Этот эффект будет появляться и для силы Окуня, в том числе, в исправленном Paganel виде. Это объясняется тем, что здесь не учитываются энергия и импульс, передаваемые гравитационному полю. но как их учесть, чтобы законы сохранения соблюдались, неизвестно.

[piksel]

Geen в сообщении #1615923 писал(а):

piksel в сообщении #1615840 писал(а):

Активная гравитационная масса этого этого облака оказывается

Неверно. Переход к формуле (21) неправильно обоснован - к облаку тех самых частиц эта формула отношения не имеет.

По сути вы правы. Здесь были допущены даже 2 ошибки. 1я в формуле (13). Она должна читаться как
${\ddot{x}}'=-\frac{1}{2}c^2x'\frac{1+{\beta }^2}{(1-{\beta }^2)^2}\frac{{\alpha }_1}{{r'}^3}\ , $ (13).
Другая ошибка состоит в том, что расстояние (6) является расстоянием в системе отсчета, связанной с частицой облака, а при подсчете силы, действующей на тестовую частицу, надо перейти к расстоянию в системе отсчета, неподвижной относительно нее, K'=(t', x', y', z'). Не знаю, эти ли ошибки вы имели в виду. В результате активная гравитацитонная масса облака, состоящего из n релятивистских частиц, будет
$M=\frac{2nm}{\pi }\frac{1+{\beta }^2}{{\mathrm{1}-{\beta }^2}}E(\beta )\ ,$
где $\beta$ это отношение скорости частиц в облаке к скорости света и $E(\beta )$ полный эллиптический интеграл 2-го рода, https://osf.io/preprints/osf/9bkcz_v2.

Метрика (7) при малых $\beta$ аппроксимируется канонической формой метрики постньютоновского пространства-времени
$ds^2\mathrm{=}c^2\left(1-\frac{\alpha }{r'}\right)d{t'}^2-4v\frac{\alpha }{r'}dt'dx'-\left(1+\frac{\alpha }{r'}\right)d{x'}^2-\left(1+\frac{\alpha }{r'}\right)({dy'}^2+{dz'}^2).$ ,
M. H. Soffel, Wen-Biao Han, Applied General Relativity: Theory and Applications in Astronomy, Celestial Mechanics and Metrology, Springer Nature, Cham, Switzerland, 2019,
при векторном потенциале $w_i=(v\alpha /(2r'),0,0)$ , описывающем гравитомагнитные эффекты, возникающие при движении материи.

Однако если рассматривать пару тел, описываемую метрикой (11), то координатные ускорения
${\ddot{x}}'=-\frac{1}{2}c^2x'\frac{1+{\beta }^2}{(1-{\beta }^2)^2}\frac{{\alpha }_1}{{r'}^3}\ , $
${\ddot{y}}'=-\frac{1}{2}{c^2y}'\frac{1+{\beta }^2}{\mathrm{1}-{\beta }^2}\frac{{\alpha }_1}{{r'}^3}\ , $
${\ddot{z}}'=-\frac{1}{2}{c^2z}'\frac{1+{\beta }^2}{\mathrm{1}-{\beta }^2}\frac{{\alpha }_1}{{r'}^3}$
в случае, если пространственный радиус-вектор частицы перпендикулярен линии движения тел (x'=0), ввиду $r'\mathrm{=}\sqrt{{\left(\frac{x'}{\sqrt{1-{\widetilde{\beta }}^2}}\right)}^2+{y'}^2+{z'}^2}$ соответствуют активной гравитационной массе $M_2=2m\frac{1+{\beta }^2}{{\mathrm{1}-{\beta }^2}} ,$ .
Это будет выполняться и если частица расположена на линии движения тел (y'=z'=0) ввиду перехода к системе отсчета K'. Коэффициент $\frac{1+{\beta }^2}{{\mathrm{1}-{\beta }^2}} $ связывает пассивную гравитационную массу частицы и ее массу покоя при движении в слабом поле Шварцшильда в случае, если потенциал поля мал по сравнению с ее кинетической энергией. Этот результат получен при применении механики Лагранжа для анализа динамики частиц, Application of Lagrangian mechanics to the analysis of particle dynamics in a gravitational field, PIRT- 2025, (4.26) , или В. Б. Беляев, Динамика в общей теории относительности: Вариационные методы, УРСС, 2017. Заметим, что в данном случае этот результат был получен без применения преобразований Лоренца к метрике Шварцшильда. К нему будет приближаться и масса облака $M$ при малых $\beta$.