2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение28.01.2023, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
juna в сообщении #1579168 писал(а):
Поэтому мы ничего не теряем, положив $a=Q, n=\frac{P}{2}$.
Ничего. Даже обретаем запятую. На эти целочисленные последовательности я и понадеялся, но нет, они не описывают всех решений, в частности Ваш пример. Что ж, имеем хотя бы ясно выраженный класс $3$х-параметрических решений: $V(P,Q,2n)^3 \approx V(P,Q,3n)^2.$ Хотя, лучше так: $x=V(P,Q,2n), y \approx x^{\frac{3}{2}}.$ А на большее здесь трудно рассчитывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение28.01.2023, 23:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Почему запятые должны смущать? Мы погрешность $x^3-y^2$ может точно оценить.
Имеем $\alpha=\left(n+\sqrt{n^2+a}\right), \beta=\pm\left(n-\sqrt{n^2+a}\right)$
Положим для определенности $\beta=\sqrt{n^2+a}-n$
$$x=\alpha^{2k}+\beta^{2k}, y=\alpha^{3k}+\beta^{3k}, \alpha\cdot \beta=a$$
$$x^3-y^2=(\alpha^{2k}+\beta^{2k})^3-(\alpha^{3k}+\beta^{3k})^2$$
$$x^3-y^2=\alpha^{6k}+3\alpha^{4k}\beta^{2k}+3\alpha^{2k}\beta^{4k}+\beta^{6k}-\alpha^{6k}-2\alpha^{3k}\beta^{3k}-\beta^{6k}$$
$$x^3-y^2=3\alpha^{4k}\beta^{2k}+3\alpha^{2k}\beta^{4k}-2\alpha^{3k}\beta^{3k}$$
$$x^3-y^2=\alpha^{2k}\beta^{2k}\left(3\alpha^{2k}+3\beta^{2k}-2\alpha^k\beta^k\right)$$
Окончательно имеем:
$$\Delta=x^3-y^2=a^{2k}(3x-2a^k)=3xa^{2k}-2a^{3k}$$
Видно, что $a$ нужно брать малым. Возьмем все тот же пример $x=5234, a=\frac{1}{10},k=1$. Решая уравнение
$$5234=(n+\sqrt{n^2+1/10})^2+(-n+\sqrt{n^2+1/10})^2$$
Находим $n=\frac{\sqrt{26169}}{2\sqrt{5}}$
При данных значениях находим $y=378660.9997702194, \Delta=157.018$
Действительно, проверяем:
$$5234^3-378660.9997702194^2=157.0179138183594$$
Но это, конечно, все еще далеко от правды:
$$5234^3-378661^2=-17$$
Если идти дальше $k=2$ с сохранением прежних $a, n$, то уже получаем просто точное равенство:
$$27394756^3-143384152904^2=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение29.01.2023, 00:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Имелось в виду $n$ с точностью до $0,5$, т.е. $P/2$. Дробными параметрами удается одну степень довести до совершенства, другие оказываются не целыми. У Вас как-то по другому. Да, интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение06.02.2023, 00:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Еще зацепка.
$799^{\frac{3}{2}}=22585,00385...$
$31779^{\frac{3}{2}}=5665136,00385...$
$107759^{\frac{3}{2}}=35373687,00385...$
$228739^{\frac{3}{2}}=109398238,00385...$
$394719^{\frac{3}{2}}=247988789,00385...$
$605699^{\frac{3}{2}}=471395340,00385...$
И т.д.
Тут удачный пример, а общий подход следующий: если дробные части некой последовательности образуют "квазиарифметическую прогрессию", можем разложить разность соседних дробных частей в непрерывную дробь и выписать несколько подходящих дробей. Их знаменатели суть периоды повторения дробной части членов последовательности с возрастающей точностью. Возьмем уравнение $a^2X-b^2Y=c,$ где $\left | c \right |\leqslant 2.$ Если пара $X_0,Y_0$ — решение, то $X_k=X_0+kb^2,Y_k=Y_0+ka^2$ образуют полное решение уравнения. Тогда последовательность $X_kY_k$ обладает нужным свойством, то есть дробные части $\left ( X_kY_k \right )^{\frac{3}{2}}$ составляют "почти" арифметические прогрессии, начало которым можем брать от наименьшей дробной части. Пример из начала удобен тем, что период $=10$, и арифметическая прогрессия дробных частей видна на глаз. Он взят из равенства $5^2\cdot 1-3^2\cdot 3=-2$ при $k=-2,-12,-22,-32,-42,-52,...$ и по сути тиражирует маленькое решение из списка Утундрия $3^{\frac{3}{2}}=5,196...$ Правда, при $k \equiv -2 \pmod {10}$ найдено более точное приближение, но можно протиражировать и буквально $(k \equiv 0 \mod {10})$:
$3^{\frac{3}{2}}=5,196...$
$23023^{\frac{3}{2}}=3493356,196...$
$91043^{\frac{3}{2}}=27470707,196...$
И т.д.
Хотя, $x=799$ тоже из списка. Сама идея брать за основу некоторое решение мне нравится, тем более что для любого $m$ найдется пара множителей $XY=m$, для которой разрешимо уравнение $Xa^2-Yb^2=\pm1,2.$ Об этом было тут.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 94 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group