2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение18.01.2023, 22:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12401
Andrey A в сообщении #1577844 писал(а):
Об остальном судить не возьмусь.
Хотя, казалось бы. Я же не использовал ничего, кроме однозначности разложения на простые множители, здравого смысла и жизненной опытности.

Стоит ли выносить эти подзадачки в отдельную тему для подробного обсуждения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение19.01.2023, 01:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Подождите. Может, кто еще выскажется. Я просто не всегда въезжаю в Ваши формулировки (остатки деления чего на что? даром что свободные от квадратов). А лучше дайте подробный пример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение19.01.2023, 04:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12401
Возьмём для примера $a=8$:
$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
b & c & u & v & d\\
\hline
1 & 64 & 1 & 8 & 1\\
2 & 32 & 1 & 4 & 2\\
4 & 16 & 2 & 4 & 1\\
8 & 8 & 2 & 2 & 2\\
16 & 4 & 4 & 2 & 1\\
32 & 2 & 4 & 1 & 2\\
64 & 1 & 8 & 1 & 1\\
\hline
\end{tabular}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение19.01.2023, 11:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Утундрий
Сама по себе идея деления $64$ нацело не вызывает вопросов. Но какой-нибудь куб удалось оквадратить таким способом?

(Оффтоп)

Тут все начали говорить о числах. Хвищилевский уверял, что ему известно
такое число, что если его написать по китайски сверху вниз, то оно будет
похоже на булочника.
— Ерунда,— сказал Факиров, — почему на булочника?
— А вы испробуйте и тогда сами убедитесь,— сказал Хвищилевский,
проглотив слюну, отчего его воротничок подпрыгнул, а галстук съехал на
сторону.
— Ну, какое же число? — спросил Факиров, доставая карандаш.
— Позвольте, это число я держу в тайне, — сказал Хвищилевский.


Д.Х. <1933-1934>

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение19.01.2023, 11:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Слабо понимаю, что последними постами обсуждается: если имеем два оквадраченных куба, то их произведение также оквадрачено, или что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение19.01.2023, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12401
juna в сообщении #1577894 писал(а):
Слабо понимаю, что последними постами обсуждается
Два общих утверждения:

1) Любое целочисленное решение уравнения $a^2=bc$ представимо в виде $a=uvd, \ b=u^2 d, \ c=v^2 d$, где $u, \ v$ - произвольны, а $d$ - свободно от квадратов.

2) Любое целочисленное решение уравнения $a^3=b^2c$ представимо в виде $a=u^2vd, \ b=u^3 d, \ c=v^3 d$, где $u, \ v$ - произвольны, а $d$ - свободно от кубов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение19.01.2023, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Утундрий в сообщении #1577936 писал(а):
1) Любое целочисленное решение уравнения $a^2=bc$ представимо в виде $a=uvd, \ b=u^2 d, \ c=v^2 d$, где $u, \ v$ - произвольны, а $d$ - свободно от квадратов.


Пусть $a=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot p_n^{\alpha_n}$, тогда $a^2=p_1^{2\alpha_1}\cdot p_2^{2\alpha_2}\cdot\ldots\cdot p_{n-1}^{2\alpha_{n-1}} \cdot p_n^{2\alpha_n}$, берем $d=p_n, u=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot p_{n-1}^{\alpha_{n-1}}, v=p_{n}^{\alpha_n-1}$
$$b=(p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot p_{n-1}^{\alpha_{n-1}})^2p_n$$
$$c=(p_{n}^{\alpha_n-1})^2p_n$$
Соответственно имеем, что Вы хотите.
Но зачем Вам это надо?

-- Чт янв 19, 2023 18:19:32 --

juna в сообщении #1577894 писал(а):
если имеем два оквадраченных куба, то их произведение также оквадрачено

Интересно, кстати, вот возьмем произвольный оквадраченный куб: $x_1^3\approx y_1^2$, существует ли для этой пары $x_1,y_1$ другая одураченно-оквадраченная пара $x_2^3\approx y_2^2$, что пара $x_1x_2, y_1y_2: (x_1x_2)^3\approx (y_1y_2)^2$ дает минимальное падение качества $q$, также насколько проседает качество и от чего это зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение19.01.2023, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12401
juna в сообщении #1577940 писал(а):
Соответственно имеем, что Вы хотите.
Я тоже так думаю, но мне показалось что Andrey A с чем-то не согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение19.01.2023, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Утундрий в сообщении #1577952 писал(а):
Я тоже так думаю, но мне показалось что Andrey A с чем-то не согласен.

Да нет, просто мы не понимаем, как эти простые манипуляции чему-то могут помочь. Ткнув пальцем в небо (как я подразумеваю), Вы попали на трудную тему, внутри которой заявленная нерешенная проблема. Вы, конечно, можете вводить какие-то искусственные ограничения типа $x,y$ свободны от квадрато-кубов, но это ничего не меняет. Тема остается трудной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение20.01.2023, 08:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
juna в сообщении #1577371 писал(а):
Вот я бы и рассматривал сначала $x^3-y^2=\pm 1,2,3,\ldots$

Andrey A в сообщении #1577380 писал(а):
Еще вроде бы известно, что для любого $d$ такое уравнение имеет лишь конечное число решений.
Доказано еще Морделлом. А вообще, настоящей теме два параграфа отведено (13.1; 13,2) у Серпинского "Уравнения в целых числах" стр. 56,57.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение22.01.2023, 20:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Рассмотрел $x^3-y^2$ для всех простых $x$ меньше 2000 (для них автоматически $\gcd(x,y)=1$). С ростом $x$ качество $q$ начинает убывать. Оно и понятно, периоды разложения в цепную дробь $\sqrt{x}$ становятся все длинее, а обеспечить приближение $\sqrt{x}\approx \frac{y}{x}$ мы можем только на существенно более короткой последовательности разложения $\frac{y}{x}$ в цепную дробь. Длина этого разложения не может превосходить длину $[1,1,1,1,\ldots]$ первого числа Фибоначчи $F_n>x$. Если доказать, что для простых чисел $p$, начиная с какого-то, длина перида цепной дроби разложения $\sqrt{p}$ всегда превосходит длину разложения для первого числа Фибоначчи $F_n>p$, то можно сказать, что гипотеза Холла справедлива для всех простых $x$. Но существенное редуцирование длины периода происходит около квадратов чисел, например 5, 17, 37. Много ли простых $p=n^2+1$, тоже, я думаю, открытый вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение22.01.2023, 21:05 
Аватара пользователя


29/04/13
8017
Богородский
juna в сообщении #1578305 писал(а):
Много ли простых $p=n^2+1$, тоже, я думаю, открытый вопрос.

A002496, Гипотеза Бейтмана — Хорна, статья Марека Вольфа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение23.01.2023, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Ага, спасибо. В общем неизвестно, хотя предположительно бесконечно.
Видимо здесь не только длина периода играет роль, но и величины чисел в нем. Для больших простых вида $p=n^2+1$ там такие большие значения, что после только удвоения периода уже легко переваливаем за $x$, а начинаем мельчить, сразу точность падает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение23.01.2023, 12:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
juna в сообщении #1578348 писал(а):
там такие большие значения, что после только удвоения периода уже легко...
Эта наука $7$ лет ржавеет под открытым небом, а казалось бы чего проще — выписать маленькие периоды в общем виде ;)

$a,(b,2a).$ Период пишу в скобочках, но лучше так: $(a,b,a,0).$ Тут это важно, поскольку чистый период. Выписываем палиндром:
$a,b,a=\dfrac{a}{1},\dfrac{ab+1}{b},\dfrac{a^2b+2a}{ab+1}$ и перемножаем две последние дроби: $\dfrac{a(ab+2)}{b}=a^2+\dfrac{2a}{b}.$ Произведение числителя и знаменателя дроби $\dfrac{a(ab+2)}{b},$ как видим, есть квадрат без единицы. А для длины периода не очень важно поделить или помножить, поскольку уравнение Пелля можно записать и так $X^2-ABY^2=1,$ и так $X^2-\dfrac{A}{B}(BY)^2=1.$
Имеем $\sqrt{a^2+\dfrac{2a}{b}}=(a,b,a,0).$ Но нам нужно целое число под радикалом, что достигается подстановкой $a \rightarrow bc/2.$ Итак, $$\sqrt{(bc/2)^2+c}=(bc/2,b,bc/2,0)$$ Или, если угодно, $\sqrt{(bc/2)^2+c}=bc/2,(b,bc).$ Неудобно. Выпишем это для четных $b$ или $c$ отдельно плюс подобные выражения для целых радикалов с периодом из $4$-х знаков. $$\sqrt{(bc)^2+c}=bc,(2b,2bc).$$ $$\sqrt{(bc)^2+2c}=bc,(b,2bc).$$ $$\sqrt{(bc)^2-c}=bc-1,\left ( 1,2(b-1),1,2(bc-1) \right ).$$ $$\sqrt{(bc)^2-2c}=bc-1,\left ( 1,b-2,1,2(bc-1) \right ).$$
Проще говоря, малые периоды соответствуют числам вида $(pq)^2 \pm q$ и $(pq)^2 \pm 2q$ под радикалом. Закономерности эти настолько сильны, что, вступая в противоречие с другими, отменяют их как бык овцу. Например, числа вида $(4k+2)^2-2$ могут оказаться суммами двух взаимно простых квадратов и должны бы по науке иметь нечетный период разложения, чего не происходит: $\sqrt{34}=5,(1,4,1,10);\ \ \sqrt{194}=13,(1,12,1,26).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение24.01.2023, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Andrey A в сообщении #1578017 писал(а):
Доказано еще Морделлом. А вообще, настоящей теме два параграфа отведено (13.1; 13,2) у Серпинского "Уравнения в целых числах" стр. 56,57.


Вот еще: https://mathworld.wolfram.com/MordellCurve.html

Цитата:
Uspensky and Heaslet (1939) give elementary solutions for n=-4, -2, and 2, and then give n=-1, -5, -6, and 1 as exercises.


О как, -1, 1 в качестве упражнения (а Вы говорите не для слабых умов)). Что это за работа 1939 года? Может кто-то знает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 94 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group