Как бы нам оквадратить куб?

[Утундрий]

juna
Как можно увидеть из приведенного мною текста программки, критерием является минимум разности $\sqrt{x}-\sqrt[3]{y}$. Причём, в табличку попадают лишь те из пар, которые достигают некоторой степени приближения при малых $x$.

mathematician123
Спасибо за ссылку на гипотезу Холла.

Хотя в данном случае она не сильно-то ограничивает, т.к. согласно этой гипотезе худший модуль разности $\sqrt{x}-\sqrt[3]{y}$ оказывается порядка $1/x^2$.

[juna]

Утундрий в сообщении #1577391 писал(а):

Как можно увидеть из приведенного мною текста программки, критерием является минимум разности $\sqrt{x}-\sqrt[3]{y}$.

Это эквивалентно $|x^3-y^2|\rightarrow\min$ и не годится, потому что зависит от порядка величин. Лучше взять критерий, указанный в статье, которую я процитировал.
В вашей табличке я кстати что-то не увидел $x=93844$

Вот оценки качества по вашей табличке:

[2, 3] - 1.414213562373095 
[3, 5] 0.8660254037844386 
[5, 11] 0.5590169943749475 
[13, 47] - 0.3004626062886657 
[15, 58] 0.3520893951097652 
[17, 70] 0.3171619712013585 
[35, 207] 0.227541530119216 
[37, 225] 0.2172415189392221 
[43, 282] - 0.3857316779001176 
[109, 1138] - 0.69602043392737 
[331, 6022] 0.08789084733652296 
[366, 7002] - 0.1771400599047129 
[422, 8669] - 0.1817932618068508 
[717, 19199] 0.1263059230093951 
[741, 20171] - 0.12373325080742 
[799, 22585] 0.1624516554609491 
[937, 28682] - 0.179008513041099 
[1313, 47577] 0.09846560289126868 
[1362, 50265] - 0.1242602160757302 
[2063, 93702] - 0.06000034319247432 
[2665, 137577] - 0.03958867944521566 
[2933, 158843] 0.03410401678602268 
[3067, 169852] - 0.3927695176170323 
[5215, 376601] 0.4150284879282945 
[5234, 378661] - 4.255669940631981 
[8158, 736844] - 3.763401977525712 
[30333, 5282908] - 0.4078775552305851 
[68239, 17825798] - 0.2951705715608422 
[107194, 35095846] 0.1962859400709581 
[146795, 56242795] - 0.1782038866097267 
[153761, 60293333] 0.3289628397405752 
[353103, 209822526] 0.1947639151008819 
[367806, 223063347] 2.929807317294796 
[720114, 611085363] - 3.771534710707841 
[4286270, 8873997190] - 0.1580405260631866 
[4903717, 10858956610] 0.2067052914847155 
[5024238, 11261735055] - 0.5972505213702077 
[9536129, 29448160810] 0.1661231016974393 

Лучшее качество для $x=5234$:

(%i140) cf(sqrt(5234));
(%o140)          [72, 2, 1, 7, 1, 5, 2, 2, 5, 1, 7, 1, 2, 144]
(%i141) cf(378661/5234);
(%o141)                  [72, 2, 1, 7, 1, 5, 2, 2, 6]

Можно наверное качество оценивать как отношение количества совпадающих знаков в разложении $y/x$ и кратного периода от разложения $\sqrt{x}$.

[gris]

если критерий $q=\dfrac{\sqrt {x}}{|x^3-y^2|}$, то рекордсменов на 30 миллионах 12 млрд совсем мало
x=2 y=3 q=1.4
x=5234 y=378661 q=4.3
x=28187351 y=149651610621 q=4.9

а для
x=93844 y=28748141 q=1.03
x=939787 y=911054064 q=3,88
маловато будет

[juna]

gris в сообщении #1577399 писал(а):

на 30 миллионах совсем мало

Ну да, там по ссылке mathematician123 в конце таблица приведена для всех $x$ с $q>1$ до известного предела $x=6078673043126084065007902175846955$.

[gris]

Ой, там очередного обгона ждать сто лет. А я проскочил 10 млрд и всё жду рекордсменов Выключаю аппарат! Критерий слишком суровый.

[juna]

Andrey A в сообщении #1577380 писал(а):

Еще вроде бы известно, что для любого $d$ такое уравнение имеет лишь конечное число решений.

Если гипотеза Холла справедлива, то из нее уже следует конечность решений для любого $d$, иначе никакого ограничения сверху не было бы - бери себе любое $x,y$ из бесконечной серии для заданного $d$ и дело в шляпе. Но видимо обратное не обязано быть верным, т.е. гипотеза Холла сильнее процитированного утверждения (из него не следует гипотеза Холла).

[Утундрий]

juna в сообщении #1577392 писал(а):

Лучше взять критерий

Лучше для кого/чего? Суть ваших претензий станет яснее, если вы будете договаривать предложения.

[juna]

Утундрий в сообщении #1577439 писал(а):

Лучше для кого/чего?

Лучше всего

juna в сообщении #1577392 писал(а):

не годится, потому что зависит от порядка величин

С ростом $x$ разница $|x^3-y^2|$, или как Вы решили ее масштабировать $|(x^3)^{\frac{1}{6}}-(y^2)^{\frac{1}{6}}|$ будет в среднем увеличиваться, что не дает сравнительной оценки качества приближения для разных $x$. Поэтому ее предлагают соизмерять с ростом $x$, как $\frac{\sqrt{x}}{|x^3-y^2|}\approx\frac{\frac{y}{x}}{|x^3-y^2|}=\frac{1}{|\frac{x^4}{y}-xy|}$. И суть гипотезы в том, что у этой величины есть ограничение сверху, т.е. она годится для классификации качества приближения.
Но в целом решать конечно Вам, что объявить ценным, а что нет.

[Утундрий]

juna в сообщении #1577444 писал(а):

С ростом $x$ разница $|x^3-y^2|$, или как Вы решили ее масштабировать $|(x^3)^{\frac{1}{6}}-(y^2)^{\frac{1}{6}}|$ будет в среднем увеличиваться

Практика показывает, что это не так и гипотеза Холла этому не противоречит. Напомню:

Утундрий в сообщении #1577391 писал(а):

согласно этой гипотезе худший модуль разности $\sqrt{x}-\sqrt[3]{y}$ оказывается порядка $1/x^2$.

Кстати, заметил вопрос

juna в сообщении #1577392 писал(а):

В вашей табличке я кстати что-то не увидел $x=93844$

Это число не свободно от квадратов.

[juna]

Утундрий в сообщении #1577446 писал(а):

Практика показывает, что это не так

Да, был неправ:

$$y=x^{\frac{3}{2}}+\delta, \sqrt{x}-\sqrt[3]{y}=\sqrt{x}-(x^{\frac{3}{2}}+\delta)^{\frac{1}{3}}=\sqrt{x}-\left(\sqrt{x}+\frac{\delta}{3x}+O\left(\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{5}{2}}\right)\right)$$

Т.е. чем больше $x$ тем меньше в среднем эта разность. Ну так это те же самые грабли - вид сбоку:
$|x^3-y^2|$ не дает сравнительной оценки, потому что увеличивается, а эта - потому что уменьшается.

Утундрий в сообщении #1577446 писал(а):

Это число не свободно от квадратов.

А чем это мешает?

У числа рекордсмена с лучшим качеством $q=46.6$ для $x^3-y^2=d=1641843$ число $d$ не свободно от квадратов, т.е. $z=3$, да и $y=447884928428402042307918$ тоже не свободно от квадратов. Этак мы с таким требованием все самое ценное и выкинем ).

[Утундрий]

juna в сообщении #1577476 писал(а):

чем это мешает?

Выше я мотивировал данное требование. Найдёте или повторить?

[juna]

Утундрий в сообщении #1577096 писал(а):

Только озаботимся сперва, чтобы точных решений у задачи заведомо не было (это гарантирует нам бесконечность процесса познания свойств и граней задачи), для чего...

Рассмотрим пару целых чисел $x$ и $y$, превосходящих единицу и таких, что $x$ свободно от квадратов, а $y$ - от кубов.

Это? Типа $(2^2)^3=(2^3)^2$. Не очень понимаю такое пристальное внимание к очень частному случаю. Как оно мешает процессу познания. Или что-то еще имелось ввиду?

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #1577105 писал(а):

gris в сообщении #1577103 писал(а):

Почему обязательно свободные от квадратов/кубов, а не являющиеся ими?

Давайте я перепишу искомое приближение в виде

$$\sqrt{x} \approx \sqrt[3]{y}$$

Я не хочу здесь целых множителей у корней. Отсюда ограничение.

[juna]

Утундрий в сообщении #1577482 писал(а):

Я не хочу здесь целых множителей у корней. Отсюда ограничение.

Не обижайтесь, но эта мотивация "Я так хочу, чтобы лето не кончалось." Процессу познания она мешать не должна.

[mathematician123]

https://arxiv.org/abs/1005.3448
В этой статье описан простой способ получения значений $x$, $y$. Например

$$x = \frac{t}{9}(t^9 + 6t^6 + 15t^3 + 12)$$

$$y = \frac{1}{54}(2t^{15} + 18t^{12} + 72t^9 + 144t^6 + 135t^3 + 27)$$

Тогда

$$x^3 - y^2 = \frac{-1}{108}(3t^6 + 14t^3 + 27)$$

Если $t \equiv 3 \pmod{6}$, то $x, y$ будут целые.