Как бы нам оквадратить куб?

[Утундрий]

Вдохновясь бесчисленными (точнее, двумя) примерами околотеоретикочисловых тем на форуме, захотел и я с трудом понаходить какие-нибудь целочисленные решения, попроверять их на разнообразные свойства и потом надо всем этим богатством хорошенько почахнуть.

И задумался я о вычислении объема куба путём вычисления площади квадрата.

Звучит достаточно нелепо, чтобы уделить сему толику внимания. Только озаботимся сперва, чтобы точных решений у задачи заведомо не было (это гарантирует нам бесконечность процесса познания свойств и граней задачи), для чего...

Рассмотрим пару целых чисел $x$ и $y$, превосходящих единицу и таких, что $x$ свободно от квадратов, а $y$ - от кубов. Будем теперь перебирать иксы от забо начала и до обе упора, отлавливая и помещая в отдельный сундук всё более удачные приближения

$$x^3 \approx y^2$$

Реализация задумки в Mathematica:

Используется синтаксис Matlab M

n=1000000; non2={}; max=0; maxList={};
For[i=2, i<=n, i++, If[SquareFreeQ[i], non2=non2~Join~{i}]]
nn=Length[non2];
For[i=1, i<=nn, i++, t=non2[[i]]; y=t Sqrt[t]; x=y-Round[y]; x=Abs[1/x];
If[x>max, max=x; maxList=maxList~Join~{{t, Round[y]}}]]
MatrixForm[maxList]

Результатом является перечень кандидатов, в котором нужно ещё пройтись по игрекам функцией

Используется синтаксис Matlab M

FactorInteger[]

что исключит два случая $x=46$ и $939787$ игреки которых содержат третью и четвёртую степень двойки соответственно.

В итоге, в пределах миллиона владеем следующими "сокровищами":

$$\begin{tabular}{|r|l|} \hline x & y \\ \hline 2 & 3 \\ 13 & 47 \\ 15 & 58 \\ 17 & 70 \\ 35 & 207 \\ 37 & 225 \\ 43 & 282 \\ 109 & 1138 \\ 422 & 8669 \\ 717 & 19199 \\ 741 & 20171 \\ 799 & 22585 \\ 937 & 28682 \\ 1362 & 50265 \\ 3067 & 169852 \\ 5215 & 376601 \\ 5234 & 378661 \\ 8158 & 736844 \\ 153761 & 60293333 \\ 353103 & 209822526 \\ 367806 & 223063347 \\ 720114 & 611085363 \\ \hline \end{tabular}$$

Ну и, поскольку тема создана в спасите/помогитеразобраться разделе, транслирую читателю следующее любопытство: что по этому поводу может сказать высокая наука?

[wrest]

Некоторые иксы простые, например 3067. Проверка игреков на простоту затруднена в связи с набором их тексом.

[gris]

А чем плоха пара $(32, 181) \to (32768,32761)$?
Точные решения даёт только чисто квадрат, а если он разбавлен неквадратом, то точного решения не будет.
Хотелось бы знать, что является качеством пары: абсолютная разность кубы и квадрата или относительная?

[Утундрий]

gris в сообщении #1577098 писал(а):

чем плоха пара $(32, 181) \to (32768,32761)$?

Не очень понял стрелку, ведь ответ - просто два числа. Конкретно $32$ плохо тем, что не свободно от квадратов.

gris в сообщении #1577098 писал(а):

Хотелось бы знать, что является качеством пары:

Модуль разности $x \sqrt{x}$ и ближайшего к нему целого, свободного от кубов.

[gris]

Я тогда не так понял
Мне показалось, что надо найти натуральные пары, где куб первого числа приближённо равен квадрату второго.
То есть как бы найти близкие целочисленные точки к кривой $y=x^{1.5}=x\sqrt x$( как вы сказали)
При этом точные решения, получаемые когда $x$ это точный квадрат, не интересуют.
Почему обязательно свободные от квадратов/кубов, а не являющиеся ими?
Вроде удалось получить что-то похожее на вашу табличку.
2 3 0.17
13 47 0.1278
15 58 0.09475
17 70 0.09279563
32 181 0.019
40 253 0.017787
46 312 0.01282
109 1138 0.00659
243 3788 0.00488
568 13537 0.0023
584 14113 0.0023028
2660 137190 0.00036
5215 376601 0.000231
5234 378661 2.24475 E-5
8158 736844 1.628567 E-5
93844 28748141 5.16555 E-6
117188 40116655 4.3996689E-6
367806 223063347 4.6399 E-7
720114 611085363 1.84 E-7
939787 911054064 1.684 E-7
Отличия понятны, несвободные от квадратов, например 32 или 40 забивают 37 и 43.
Тогда понятно.

[Утундрий]

gris в сообщении #1577103 писал(а):

Почему обязательно свободные от квадратов/кубов, а не являющиеся ими?

Давайте я перепишу искомое приближение в виде

$$\sqrt{x} \approx \sqrt[3]{y}$$

Я не хочу здесь целых множителей у корней. Отсюда ограничение.

[gris]

До 100 млн нашлись ещё рекордсмены:
00720114 000611085363 1.84 E-7
05024238 011261735055 1.666 E-7
15175973 059120053422 1.5 E-7
26507590 136475711439 1.0 E-7
27564105 144715764559 2.36878 E-8
28187351 149651610621 3.64 E-9
Последние четыре даже от квадратов свободны.
Интересно, чем дальше в лес, тем есть и ближе?
Вот! Придумал теорему: значения отклонений плотны на $(-1,1)$

[Утундрий]

gris в сообщении #1577112 писал(а):

Интересно, чем дальше в лес, тем есть и ближе?

Интуитивно, да. Но я не умею такое доказывать. Может кто из упоротых алгебраистов подключится?

[mihaild]

Оценивается $|\sqrt{x} - \sqrt[3]{y}|$?
Давайте для простоты скажем что $\sqrt{x} > \sqrt[3]{y}$. Зафиксируем свободное от кубов $y$, если мы хотим получить разность меньше $\varepsilon$, достаточно чтобы в интервале $[\sqrt[3]{y^2}, \sqrt[3]{y^2} + 2 \varepsilon \sqrt[3]{y}]$ было свободное от квадратов число.
Как известно, доля свободных от квадратов чисел больше $\frac{3}{5}$, а от кубов $\frac{4}{5}$. Пусть разность не бывает меньше $\varepsilon$.
Возьмем интервал $[100n, 200n]$. На нём максимум $21n$ не свободных от кубов чисел. При этом для каждого из $79n$ свободных от кубов чисел весь интервал $[\sqrt[3]{y^2}, \sqrt[3]{y^2} + 2 \varepsilon \sqrt[3]{y}]$ не содержит ни одного свободного от квадратов числа.
Кажется что минимальная общая длина этих интервалов будет если не свободные от кубов это ровно числа из интервала $[100n, 121n]$ (потому что нам нужно, чтобы интервалы как можно сильнее пересекались и были как можно короче), что уже дает слишком много не свободных от квадратов чисел на интервале $[\sqrt[3]{(100n)^2},\sqrt[3]{(200n)^2} + 2 \varepsilon \sqrt[3]{(200n)^2}]$.

Из гипотезы Крамера (что $p_{n + 1} - p_n = O(\ln^2(p_n))$, на самом деле достаточно $p_{n + 1} - p_n = o(\sqrt{p_n})$), следует что для любых $\alpha$ и $\varepsilon$ для всех достаточно больших $y$ найдется простой же $x$ такой что $\alpha \leq \sqrt{x} - \sqrt[3]{y} \leq \alpha + \varepsilon$. Но лучшая доказанная оценка - $p_{n + 1} - p_n = O(\sqrt{p_n} \cdot \sqrt[20]{p_n})$, чего совсем чуть-чуть не хватает.

[Утундрий]

mihaild в сообщении #1577125 писал(а):

Как известно, доля свободных от квадратов чисел больше $\frac{3}{5}$, а от кубов $\frac{4}{5}$.

Где об этом можно почитать?

[Andrey A]

Утундрий в сообщении #1577096 писал(а):

$$x^3 \approx y^2$$

В это уже не раз упирались. Если бы наоборот $3^x \approx 2^y$, то после почленного логарифмирования имели бы $\log_23 \approx \dfrac{y}{x}.$ Разложить логарифм не проблема, а тут наоборот $\log_xy \approx \dfrac{3}{2}.$ Обратная задача: перечислить логарифмы, в разложение которых входит подх. дробь $\dfrac{3}{2}=1,2$ или $=1,1,1.$ Ну, хотя бы для Вас критерий точности аппроксимации (в Вашем списке он завышен). Выкручиваться можно по-разному, но хорошего решения я здесь не вижу.

Утундрий в сообщении #1577105 писал(а):

Давайте я перепишу искомое приближение в виде

$$\sqrt{x} \approx \sqrt[3]{y}$$

Слабая зацепка: квадратный радикал есть палиндром. Нужно понять какие игреки дают в кубическом разложении хотя бы в зачаток палиндрома в начальных знаках. Но с большой вероятностью получим дробное $x.$

[gris]

Наблюдение над общеизвестным всем, кому положено .
Удивила почти постоянная плотность свободных от квадратов на достаточно больших интервалах (по миллиону):
607926 sqf in 1 1000000
607951 sqf in 1000001 2000000
607927 sqf in 12000001 13000000
607921 sqf in 4000000001 4001000000
607936 sqf in 6000000000001 6000001000000
607937 sqf in 564567540 565567539
607926 sqf in 1000564567540 1000565567539
607950 sqf in 38473645645675 38473646645674
Интуитивно понятно, что приближаться можно
$p=1-\left(\dfrac14+\dfrac19-\dfrac1{36}+...\right)$
но одно дело играть, а другое изучать. У меня не получается

[mihaild]

Утундрий в сообщении #1577132 писал(а):

Где об этом можно почитать?

Например на [url=https://mathoverflow.net/a/198139/11507]math overflow[url] (наверняка есть и в учебниках, но там искать дольше). Собственно ровно идея gris (при знаменателе $d^2$ знак будет $\mu(d)$ - функция Мёбиуса), плюс формула Эйлера $\frac{1}{\zeta(z)} = \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{\mu \left({k}\right)} {k^z}$.

[Andrey A]

Утундрий в сообщении #1577105 писал(а):

Давайте я перепишу искомое приближение в виде

$$\sqrt{x} \approx \sqrt[3]{y}$$

Я не хочу здесь целых множителей у корней. Отсюда ограничение.

Все-таки тут слишком жесткое ограничение. Перепишем это так $\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{y}} \approx 1$. Положим, пара $x,y$ образует некоторое не очень хорошее приближение и будем раскладывать $\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{y}} \approx ...., \dfrac{p}{q}.$ Одна из дробей $\dfrac{p\sqrt{x}}{q\sqrt[3]{y}},\ \dfrac{q\sqrt{x}}{p\sqrt[3]{y}}$ окажется ближе к единице (при хорошем приближении $p/q$), заводим тогда целые множители под радикалы и считаем такое приближение тривиальным, поскольку обратное действие возможно посредством факторизации (убираем кубы и квадраты из-под радикалов). Но. Тут можно прозевать самое интересное. Что если полученное приближение сократится на $6$-ю степень? Тогда обратное действие невозможно, а некоторые кубы и квадраты под радикалами могут остаться. Такое приближение нельзя считать тривиальным. Кроме того, указанная процедура заводит кубы и квадраты под оба радикала, а если одна переменная свободна от квадратов — что тогда? Казнить нельзя помиловать. Оставьте, на то есть причины.

Вообще говоря, если положить одну из переменных рациональным числом, задача решается хорошо: $x^{\frac{3}{2}} \approx y$. Для любого целого $x \neq \square$ рациональная аппроксимация левой части дает бесконечную серию решений любой точности. Или наоборот: $x \approx y^{\frac{2}{3}}$ (игрек не равен целому кубу). Возьмем $y=103,x \approx \dfrac{p}{q}$. Тогда $\dfrac{p^3}{q^3} \approx 103^2$. Что если $q^3$ окажется близок к целому квадрату? А если равен? Вот и посмотрим $103^{\frac{2}{3}} =21,1,36,5,2,1,1,...=\dfrac{21}{1},\dfrac{22}{1},\dfrac{813}{37},$ и хватит пока. Вижу в знаменателе число из вашего списка: $37^3 \approx 225^2$, на ловца и зверь бежит. $103 \cdot 225=23175$, получаем отличное приближение $\log_{813}23175 \approx 1,2,6267,...$ (величина последующего знака соответствует точности приближения). А если бы третьим знаком разложения брать не $36,$ а $35,$ получили бы дробь $\dfrac{791}{36},\ 36^3=216^2,\ 103 \cdot 216=22248$, и решение c точностью цепных дробей: $\log_{791}22248 \approx 1,1,1,27600,...$ но с кубами и квадратами в левой части (хотя в первом случае $225$ выпало случайно). Не думаю, что такие решения следует считать тривиальными. От перебора совсем уйти не удается (приходится проверять знаменатели), но всё-таки метод.

[Утундрий]

Andrey A в сообщении #1577222 писал(а):

Все-таки тут слишком жесткое ограничение.

А мне нравится.

Касательно зависимости вида списка "рекордсменов" от выбора целевой функции. Зависимость чрезвычайная. Например, если взять простое $x^3-y^2$, список будет "весьма беден". А если, например, $\sqrt{x}-\sqrt[3]{y}$ - расширится.