2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение16.01.2023, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11712
juna
Как можно увидеть из приведенного мною текста программки, критерием является минимум разности $\sqrt{x}-\sqrt[3]{y}$. Причём, в табличку попадают лишь те из пар, которые достигают некоторой степени приближения при малых $x$.

mathematician123
Спасибо за ссылку на гипотезу Холла.

Хотя в данном случае она не сильно-то ограничивает, т.к. согласно этой гипотезе худший модуль разности $\sqrt{x}-\sqrt[3]{y}$ оказывается порядка $1/x^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение16.01.2023, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Утундрий в сообщении #1577391 писал(а):
Как можно увидеть из приведенного мною текста программки, критерием является минимум разности $\sqrt{x}-\sqrt[3]{y}$.

Это эквивалентно $|x^3-y^2|\rightarrow\min$ и не годится, потому что зависит от порядка величин. Лучше взять критерий, указанный в статье, которую я процитировал.
В вашей табличке я кстати что-то не увидел $x=93844$

Вот оценки качества по вашей табличке:
Код:
[2, 3] - 1.414213562373095
[3, 5] 0.8660254037844386
[5, 11] 0.5590169943749475
[13, 47] - 0.3004626062886657
[15, 58] 0.3520893951097652
[17, 70] 0.3171619712013585
[35, 207] 0.227541530119216
[37, 225] 0.2172415189392221
[43, 282] - 0.3857316779001176
[109, 1138] - 0.69602043392737
[331, 6022] 0.08789084733652296
[366, 7002] - 0.1771400599047129
[422, 8669] - 0.1817932618068508
[717, 19199] 0.1263059230093951
[741, 20171] - 0.12373325080742
[799, 22585] 0.1624516554609491
[937, 28682] - 0.179008513041099
[1313, 47577] 0.09846560289126868
[1362, 50265] - 0.1242602160757302
[2063, 93702] - 0.06000034319247432
[2665, 137577] - 0.03958867944521566
[2933, 158843] 0.03410401678602268
[3067, 169852] - 0.3927695176170323
[5215, 376601] 0.4150284879282945
[5234, 378661] - 4.255669940631981
[8158, 736844] - 3.763401977525712
[30333, 5282908] - 0.4078775552305851
[68239, 17825798] - 0.2951705715608422
[107194, 35095846] 0.1962859400709581
[146795, 56242795] - 0.1782038866097267
[153761, 60293333] 0.3289628397405752
[353103, 209822526] 0.1947639151008819
[367806, 223063347] 2.929807317294796
[720114, 611085363] - 3.771534710707841
[4286270, 8873997190] - 0.1580405260631866
[4903717, 10858956610] 0.2067052914847155
[5024238, 11261735055] - 0.5972505213702077
[9536129, 29448160810] 0.1661231016974393


Лучшее качество для $x=5234$:
Код:
(%i140) cf(sqrt(5234));
(%o140)          [72, 2, 1, 7, 1, 5, 2, 2, 5, 1, 7, 1, 2, 144]
(%i141) cf(378661/5234);
(%o141)                  [72, 2, 1, 7, 1, 5, 2, 2, 6]


Можно наверное качество оценивать как отношение количества совпадающих знаков в разложении $y/x$ и кратного периода от разложения $\sqrt{x}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение16.01.2023, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14483
если критерий $q=\dfrac{\sqrt {x}}{|x^3-y^2|}$, то рекордсменов на 30 миллионах 12 млрд совсем мало
x=2 y=3 q=1.4
x=5234 y=378661 q=4.3
x=28187351 y=149651610621 q=4.9


а для
x=93844 y=28748141 q=1.03
x=939787 y=911054064 q=3,88

маловато будет :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение16.01.2023, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
gris в сообщении #1577399 писал(а):
на 30 миллионах совсем мало


Ну да, там по ссылке mathematician123 в конце таблица приведена для всех $x$ с $q>1$ до известного предела $x=6078673043126084065007902175846955$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение16.01.2023, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14483
Ой, там очередного обгона ждать сто лет. А я проскочил 10 млрд и всё жду рекордсменов :-( Выключаю аппарат! Критерий слишком суровый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение16.01.2023, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Andrey A в сообщении #1577380 писал(а):
Еще вроде бы известно, что для любого $d$ такое уравнение имеет лишь конечное число решений.


Если гипотеза Холла справедлива, то из нее уже следует конечность решений для любого $d$, иначе никакого ограничения сверху не было бы - бери себе любое $x,y$ из бесконечной серии для заданного $d$ и дело в шляпе. Но видимо обратное не обязано быть верным, т.е. гипотеза Холла сильнее процитированного утверждения (из него не следует гипотеза Холла).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение16.01.2023, 23:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11712
juna в сообщении #1577392 писал(а):
Лучше взять критерий
Лучше для кого/чего? Суть ваших претензий станет яснее, если вы будете договаривать предложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение17.01.2023, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Утундрий в сообщении #1577439 писал(а):
Лучше для кого/чего?

Лучше всего :D
juna в сообщении #1577392 писал(а):
не годится, потому что зависит от порядка величин

С ростом $x$ разница $|x^3-y^2|$, или как Вы решили ее масштабировать $|(x^3)^{\frac{1}{6}}-(y^2)^{\frac{1}{6}}|$ будет в среднем увеличиваться, что не дает сравнительной оценки качества приближения для разных $x$. Поэтому ее предлагают соизмерять с ростом $x$, как $\frac{\sqrt{x}}{|x^3-y^2|}\approx\frac{\frac{y}{x}}{|x^3-y^2|}=\frac{1}{|\frac{x^4}{y}-xy|}$. И суть гипотезы в том, что у этой величины есть ограничение сверху, т.е. она годится для классификации качества приближения.
Но в целом решать конечно Вам, что объявить ценным, а что нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение17.01.2023, 00:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11712
juna в сообщении #1577444 писал(а):
С ростом $x$ разница $|x^3-y^2|$, или как Вы решили ее масштабировать $|(x^3)^{\frac{1}{6}}-(y^2)^{\frac{1}{6}}|$ будет в среднем увеличиваться
Практика показывает, что это не так и гипотеза Холла этому не противоречит. Напомню:
Утундрий в сообщении #1577391 писал(а):
согласно этой гипотезе худший модуль разности $\sqrt{x}-\sqrt[3]{y}$ оказывается порядка $1/x^2$.

Кстати, заметил вопрос
juna в сообщении #1577392 писал(а):
В вашей табличке я кстати что-то не увидел $x=93844$
Это число не свободно от квадратов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение17.01.2023, 02:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Утундрий в сообщении #1577446 писал(а):
Практика показывает, что это не так


Да, был неправ:
$$y=x^{\frac{3}{2}}+\delta, \sqrt{x}-\sqrt[3]{y}=\sqrt{x}-(x^{\frac{3}{2}}+\delta)^{\frac{1}{3}}=\sqrt{x}-\left(\sqrt{x}+\frac{\delta}{3x}+O\left(\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{5}{2}}\right)\right)$$
Т.е. чем больше $x$ тем меньше в среднем эта разность. Ну так это те же самые грабли - вид сбоку:
$|x^3-y^2|$ не дает сравнительной оценки, потому что увеличивается, а эта - потому что уменьшается.

Утундрий в сообщении #1577446 писал(а):
Это число не свободно от квадратов.

А чем это мешает?

У числа рекордсмена с лучшим качеством $q=46.6$ для $x^3-y^2=d=1641843$ число $d$ не свободно от квадратов, т.е. $z=3$, да и $y=447884928428402042307918$ тоже не свободно от квадратов. Этак мы с таким требованием все самое ценное и выкинем ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение17.01.2023, 02:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11712
juna в сообщении #1577476 писал(а):
чем это мешает?
Выше я мотивировал данное требование. Найдёте или повторить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение17.01.2023, 02:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Утундрий в сообщении #1577096 писал(а):
Только озаботимся сперва, чтобы точных решений у задачи заведомо не было (это гарантирует нам бесконечность процесса познания свойств и граней задачи), для чего...

Рассмотрим пару целых чисел $x$ и $y$, превосходящих единицу и таких, что $x$ свободно от квадратов, а $y$ - от кубов.

Это? Типа $(2^2)^3=(2^3)^2$. Не очень понимаю такое пристальное внимание к очень частному случаю. Как оно мешает процессу познания. Или что-то еще имелось ввиду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение17.01.2023, 03:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11712
Утундрий в сообщении #1577105 писал(а):
gris в сообщении #1577103 писал(а):
Почему обязательно свободные от квадратов/кубов, а не являющиеся ими?
Давайте я перепишу искомое приближение в виде
$$\sqrt{x} \approx \sqrt[3]{y}$$Я не хочу здесь целых множителей у корней. Отсюда ограничение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение17.01.2023, 10:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Утундрий в сообщении #1577482 писал(а):
Я не хочу здесь целых множителей у корней. Отсюда ограничение.

Не обижайтесь, но эта мотивация "Я так хочу, чтобы лето не кончалось." Процессу познания она мешать не должна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как бы нам оквадратить куб?
Сообщение17.01.2023, 10:36 


21/04/22
346
https://arxiv.org/abs/1005.3448
В этой статье описан простой способ получения значений $x$, $y$. Например
$$x = \frac{t}{9}(t^9 + 6t^6 + 15t^3 + 12)$$
$$y = \frac{1}{54}(2t^{15} + 18t^{12} + 72t^9 + 144t^6 + 135t^3 + 27)$$
Тогда
$$x^3 - y^2 = \frac{-1}{108}(3t^6 + 14t^3 + 27)$$
Если $t \equiv 3 \pmod{6}$, то $x, y$ будут целые.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 94 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group