КПД тепловых двигателей

[Anton_Peplov]

Листая свои древние, студенческие еще, конспекты по термодинамике, наткнулся на такое.
Второй закон термодинамики в формулировке Томпсона: "Невозможно построить периодически действующую тепловую машину, единственным результатом работы которой было бы изъятие тепла у одного тела и превращение его в работу".
Задача: доказать, что тепловой двигатель с КПД выше, чем у двигателя Карно, запрещен вторым законом термодинамики в формулировке Томпсона.
Доказательство. Предположим существование супердвигателя - теплового двигателя с КПД выше двигателя Карно. Обозначим $Q_1$ теплоту, которую супердвигатель забирает у нагревателя. По условию, супердвигатель отдает хододильнику теплоту $Q_2' < Q_2$, где $Q_2$ - теплота, которую отдал бы тому же холодильнику двигатель Карно с тем же нагревателем. Понятно, что супердвигатель совершает работу $A' > A$, где $A$ - работа, которую совершил бы двигатель Карно. Передадим часть этой работы в размере $A$ холодильной машине, представляющей собой двигатель Карно, запущенный в обратном направлении. Т.е. пусть над рабочим телом в обратном цикле Карно совершается работа $A$, и за счет этого он отбирает у холодильника теплоту $Q_2$ и отдает нагревателю теплоту $Q_1$.Тогда комбинированная машина "супердвигатель + холодильная машина Карно" все еще совершает над внешними телами работу $\Delta A = A' - A > 0$. При этом она отбирает теплоту только у холодильника, т.к. у нагревателя берется $Q_1$ и возвращается ему $Q_1$, а у холодильника берется $Q_2$, а возвращается ему только $Q_2' < Q_2$. Таким образом, циклическая тепловая машина совершает работу только за счет охлаждения холодильника, что противоречит второму закону термодинамики в формулировке Томпсона.

На лекции юного меня не смутило такое рассуждение. Но теперь я думаю, что с ним что-то не так. Потому что оно нигде не использует тот факт, что холодильная машина работает именно по обратному циклу Карно, а не по любому другому циклу. А значит, с его помощью можно "доказать", что максимальный КПД теплового двигателя равен, скажем, $\eta = 0{,}3$.

Для наглядности я проведу все рассуждения в конкретных числах. Предположим существование супердвигателя - теплового двигателя с КПД $\eta = 0{,}6$. Пусть он забирает у нагревателя теплоту $10 \, \text{Дж}$. Тогда он совершает работу $6 \, \text{Дж}$ и отдает холодильнику теплоту $4 \, \text{Дж}$. Передадим часть этой работы в размере $3 \, \text{Дж}$ холодильной машине, представляющей собой двигатель с КПД $\eta = 0{,}3$, запущенный в обратном направлении. Т.е. пусть над рабочим телом совершается работа $3 \, \text{Дж}$, и за счет этого он отбирает у холодильника теплоту $7 \, \text{Дж}$ и отдает нагревателю теплоту $10 \, \text{Дж}$.Тогда комбинированная машина "супердвигатель + холодильная машина Карно" все еще совершает над внешними телами работу $\Delta A = 6 - 3 = 3 \, \text{Дж}> 0$. При этом она отбирает теплоту только у холодильника, т.к. у нагревателя берется $10 \, \text{Дж}$ и возвращается ему $10 \, \text{Дж}$, а у холодильника берется $7 \, \text{Дж}$, а возвращается ему только $4 \, \text{Дж}$. Таким образом, циклическая тепловая машина совершает работу только за счет охлаждения холодильника, что противоречит второму закону термодинамики в формулировке Томпсона.

Это, разумеется, полная чушь. Хотя бы потому, что КПД цикла Карно при температуре нагревателя 800 К и холодильника 300 К превышает $0{,}6$. Но дело даже не в этом, ведь вместо $\eta = 0{,}3$ мы могли бы взять $\eta =10^{-6}$ и провести точно такое же рассуждение.

Вопрос № 1.1. Где в этом рассуждении ошибка? Ведь она обязана быть. Но я ее не вижу.
Вопрос № 1.2. Лектор-то, скорее всего, имел в виду нечто более разумное. Это был очень знающий лектор. Но то ли он неаккуратно выразился, то ли я плохо записал. Если так, должно существовать доказательство максимальности КПД двигателя Карно, похожее на это, но корректное. И как же оно формулируется?

[EUgeneUS]

С доказательством всё в порядке. Но выводы из этого можно сделать более широкие, тогда когнитивный диссонанс снимется.

Какие факты относительно цикла Карно используются в доказательстве? Только обратимость цикла. Не используется даже известное выражение для КПД: $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$. В качестве КПД используется выражение: $\eta = \frac{A}{Q_1}$.

Мы придем к тому же самому противоречию, если вместо "супермашины" возьмем цикл Карно, а в качестве "обратимой машины" вместо цикла Карно возьмем любой другой (гипотетический) обратимый цикл с меньшим КПД ("тепловым" КПД!).
То есть приходим к выводу, что для любого обратимого цикла КПД ("тепловой" КПД!) будет такой же, как и для цикла Карно. Естественно, при одних и тех же холодильниках и нагревателях.

[Anton_Peplov]

EUgeneUS
Интересно. Никогда не думал об этом с такой точки зрения.
Что вообще такое цикл? Исходя из интуитивного понимания, двигатель цикличен, если рабочее тело периодически возвращается в исходное состояние. Но энтропия - функция состояния, следовательно, в циклическом двигателе энтропия рабочего тела не растет. Значит, любой цикл обратим. Следовательно, все циклы при фиксированных обогревателе и холодильнике имеют одинаковый КПД? Мне кажется, или что-то тут не так?

[DimaM]

Anton_Peplov в сообщении #1573498 писал(а):

Но энтропия - функция состояния, следовательно, в циклическом двигателе энтропия рабочего тела не растет. Значит, любой цикл обратим.

Нет, не значит. Есть еще изменение энтропии нагревателя и холодильника. Например, пусть нагреватель с температурой $T_h$ передает рабочему телу с температурой $T_g$ малое количество теплоты $\delta Q$. Тогда суммарное изменение энтропии

$$dS_{h+g}=\dfrac{\delta Q}{T_g}-\dfrac{\delta Q}{T_h}\geq 0,$$

поскольку теплопередача возможно только при $T_h\geq T_g$. При рассмотрении теплообмена рабочего тела с холодильником получается аналогично неотрицательная прибавка энтропии.

[EUgeneUS]

Anton_Peplov
Иногда можно встретить такое утверждение:

"Максимальный теоретически достижимый КПД тепловой машины равен КПД цикла Карно и равен: $\eta = \frac{T_2-T_1}{T_2}$, где $T_1$ - температура холодильника, $T_2$ - температура нагревателя."

В этой фразе, как минимум две некорректности. Сможете их обнаружить?

[Anton_Peplov]

EUgeneUS в сообщении #1573544 писал(а):

В этой фразе как минимум две некорректности. Сможете их обнаружить?

Нет, не смогу.

[EUgeneUS]

UPD: первая некорректность связана с тем, что делается некое допущение, которое не объявляется явно. А вот со второй - сложнее.

[rascas]

Anton_Peplov
Создавая тепловую машину, работающую только от нагревателя (без холодильника) мы воспользовались тепловой машиной с КПД больше чем Карно.
Значит, при невозможности тепловой машины работающей только от нагревателя невозможна и тепловая машина с КПД больше чем Карно.
Это Значит может быть опровергнуто только предложением конструкции тепловой машины, работающей только от нагревателя. Ведь у нас феноменологическая теория.

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1573544 писал(а):

В этой фразе, как минимум две некорректности. Сможете их обнаружить?

Первая некорректность связана с тем, что неявно предполагается, что температуры холодильника и нагревателя не изменяются при работе тепловой машины. Если холодильник и-или нагреватель имеет конечную теплоёмкость, то (тепловой) КПД будет, очевидно ниже. На эту тему была даже задачка в олимпиадных.
Некорректность тут только в том, что предположение неявное, неозвученное. А так-то оно вполне разумное и даже достижтимое на практике, например: нагреватель постоянно греем сжиганием топлива, а холодильник - что-то очень больше, атмосфера Земли, или океан.

Со второй некорректностью сложнее. Пока не буду её озвучивать, может кому-то будет интересно подумать на эту тему.

[Ignatovich]

EUgeneUS в сообщении #1573544 писал(а):

"Максимальный теоретически достижимый КПД тепловой машины равен КПД цикла Карно и равен: $\eta = \frac{T_2-T_1}{T_2}$, где $T_1$ - температура холодильника, $T_2$ - температура нагревателя."

В этой фразе, как минимум две некорректности. Сможете их обнаружить?

В формуле фигурируют максимальная температура нагревателя и минимальная температура холодильника.

[EUgeneUS]

Ignatovich
Можете развернуть свою мысль? Пока не понимаю, это вторая некорректность или ещё первая.

[Утундрий]

Ignatovich в сообщении #1573672 писал(а):

максимальная температура нагревателя и минимальная температура холодильника.

Нет, так эти сущности не фунциклинируют.

Нагреватель и холодильник считают себя настолько выше рассматриваемой системы, что гордо не изменяют своих параметров (в пределах разумной точности), что бы с ней не деялось.

[Ignatovich]

Напишу аккуратнее:
Максимальный теоретически достижимый КПД тепловой машины равен КПД машины Карно, работающей с нагревателем, температура которого равна максимальной температуре в цикле рассматриваемой тепловой машины, и с холодильником, температура которого равна минимальной температуре этого цикла.

[Anton_Peplov]

DimaM в сообщении #1573513 писал(а):

Есть еще изменение энтропии нагревателя и холодильника. Например, пусть нагреватель с температурой $T_h$ передает рабочему телу с температурой $T_g$ малое количество теплоты $\delta Q$. Тогда суммарное изменение энтропии

$$dS_{h+g}=\dfrac{\delta Q}{T_g}-\dfrac{\delta Q}{T_h}\geq 0,$$

поскольку теплопередача возможно только при $T_h\geq T_g$. При рассмотрении теплообмена рабочего тела с холодильником получается аналогично неотрицательная прибавка энтропии.

Так, понятно. Но в цикле Карно (который, конечно же, идеализация вроде материальной точки или идеального газа) прирост энтропии системы "нагреватель + рабочее тело + холодильник" равен нулю. Поскольку по условию даже в начальный момент передачи теплоты от нагревателя рабочему телу температура рабочего тела уже равна температуре нагревателя, и даже в начальный момент передачи теплоты от рабочего тела холодильнику температура рабочего тела уже равна температуре холодильника.

Получается, цикл Карно - единственный обратимый цикл? Обратимый в том смысле, что прирост энтропии системы "нагреватель + рабочее тело + холодильник" равен нулю. Если мы на что-то заменим изотермы, получим процесс выравнивая температур между нагревателем и рабочим телом, а потом между рабочим телом и холодильником: температуры были неравными, стали равными. И в этом процессе будет расти суммарная энтропия. А если мы на что-то заменим адиабаты, то получим опять же теплообмен с чем придется по дороге от нагревателя к холодильнику и обратно.

И если так, то тот нетривиальный факт, что КПД цикла в двигателе и в холодильной машине один и тот же - он только для цикла Карно верен?

EUgeneUS
Я привык считать, что обогреватель и холодильник имеют бесконечную теплоемкость и постоянную (и пространственно равномерную) температуру. Возможно, в каких-то экзотических случаях эта идеализация и вредна, но обычно полезна. Вы эти некорректности имели в виду?

[amon]

Anton_Peplov в сообщении #1573693 писал(а):

прирост энтропии системы "нагреватель + рабочее тело + холодильник" равен нулю.

Не-а. Тепло передается изотермически, стало быть $\Delta Q=T\Delta S,$ то есть, "тепло от нагревателя передается в виде энтропии". Так же с холодильником.

Anton_Peplov в сообщении #1573693 писал(а):

Получается, цикл Карно - единственный обратимый цикл?

Нет.

Anton_Peplov в сообщении #1573693 писал(а):

КПД цикла в двигателе и в холодильной машине один и тот же

Зависит от того, что назвать КПД. Если под КПД холодильника (теплового насоса) понимать отношение тепла, полученного нагревателем к совершенной двигателем работе, то такой "КПД" окажется больше 100%.