Еще один вариант для кубов

[mihaild]

Ну там какие-то мутные рассуждения про "переходы между формами" и "принятия сокращений". Что это значит - непонятно. Либо дайте строгие определения, либо перепишите на общепринятом языке.

[dick]

Если не возражаете, не будем торопиться.
Перепишем равенство $x^3=z^3-y^3$ (1) в виде: $(x_1x_2)^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$ (1.1), где $x_1^3=(z-y)$.
Допустим, тройка чисел решения (1) имеет общий множитель больше 1. Пусть этот множитель $x_1$.
Не вызывает сомнений, что можно сократить тройку решения на $x_1$ и получить новое равенство (1) с меньшими кубами.

Скажите, Вам здесь все понятно?

[mihaild]

Да, с этим согласен.
На всякий случай уточню, что под сокращением понимается, что существуют целые числа $y_2 = y / x_1$, $z_2 = z / z_1$, такие что выполнено равенство $x_2^3 = z_2^3 - y_2^3$.

[dick]

Сокращенное равенство будет выглядеть так:
$x_2^3(x_1/x_1)^3=(z/x_1-y/x_1)((z/x_1-y/x_1)^2+3(z/x_1)(y/x_1))$ (1.2);
И окончательно так: $x_2^3=(z_2-y_2)((z_2-y_2)^2+3z_2y_2)$ (1.3);

Верно?

[mihaild]

Получившееся равенство будет эквивалентно вашему (1.3).

[dick]

Простите, какому (1.3)? Ведь последнее равенство тоже имеет номер (1.3).

[mihaild]

В смысле равенство $x_2^3 = z_2^3 - y_2^3$, получающееся после сокращения, будет эквивалентно (1.3) в предпоследнем вашем сообщении. Или вы хотите отличать эквивалентные равенства?

[dick]

Да, конечно. $x_2^3=(z_2-y_2)((z_2-y_2)^2+3z_2y_2)$ (1.3), эквивалентно $x_2^3=z_2^3-y_2^3$.
Идем дальше.

Но, поскольку $(z-y)=x_1^3$, после деления $(z-y)$ на $x_1$, в правой части (1.3)останется $x_1^2$, а в левой части ничего от $x_1$ не останется.
Следовательно, равенство (1.3) не может выполняться.

Верно?

[mihaild]

Непонятно, что значит "в левой части от $x_1$ ничего не не останется".
Из определений, конечно, будет что $z_2 - y_2 = x_1^2$. Но нам никто ничего не говорил о взаимной простоте $x_1$ и $x_2$.

[dick]

Как же это, никто ничего. А как же $(z-y)=x_1^3$. И сто раз повторенное - если $x$ не делится на 3, то скобки правой части взаимно просты (кубы).
Но в конце концов, какая разница? Это не влияет на результат изысканий. Верно?

[mihaild]

Стоп, я пропустил. Откатываемся к самому началу,

dick в сообщении #1571947 писал(а):

где $x_1^3=(z-y)$.

Почему $x_1$ тут целое? Предыдущее доказательство этого факта основывалось на том, что $y$ и $z$ взаимно просты, но мы теперь работаем без этого предположения.
(я не очень понимаю, зачем рассматривать случай, когда $x, y, z$ не взаимно просты, но если уж вам это зачем-то надо...)

[dick]

Ну что же, я сам увлекся. Однако, путешествие не закончено.
Предположим теперь, что равенство (1.1) выполняется при взаимно простых $x,y,z$, причем $x$ не делится на 3. Умножим $x,y,z$,на натуральное число $b$, что бы получить непримитивное (1.1). Поскольку скобки правой части (1.1) являются кубами, возможны два варианта:
$(x_1x_2b)^3=(b(z-y)^{1/3})^3((z-y)^2+3zy)$ (2.1);
$(x_1x_2b)^3=b(z-y)(b^2(z-y)^2+b^23zy)$ (2.2);

-- 01.12.2022, 08:49 --

Вы согласны?

[mihaild]

1.1 - это

dick в сообщении #1571112 писал(а):

$x^3=z^3-y^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$ (1.1)

?
Ваши (2.2) и (2.1) эквивалентны, видимо, надо добавить, что в (2.1) в скобках справа стоят целые числа. И (2.2) будет точно выполнено, (2.1) с дополнительным требованием целочисленности - если $b$ является точным кубом. Непонятно, как это связано с тем, что скобки в (1.1) являются кубами, но ладно.

[dick]

Я бы предпочел такой вариант $(x_1x_2)^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$ (1.1);
Мне кажется со скобками Вы немного напутали. В (2.1) под корнем стоит только $(z-y)$, поскольку оно-куб. Поэтому, никаких дополнительных требований к $b$ нет, и никаких сомнений в части целостности также нет.
Что же касается эквивалентности, я бы предпочел оставить так как писал:

dick в сообщении #1572102 писал(а):

Поскольку скобки правой части (1.1) являются кубами, возможны два варианта:

А там видно будет.

Вы согласны с этим?

[mihaild]

На всякий случай: мы работаем в предположении, что $x, y, z$ взаимно простые, $x^3 + y^3 = z^3$, $x$ не делится на $3$, $x_1 = \sqrt[3]{z - y}$.
Доказано, что $x_1$ целое, больше пока ничего не доказано.

dick в сообщении #1572191 писал(а):

Мне кажется со скобками Вы немного напутали. В (2.1) под корнем стоит только $(z-y)$, поскольку оно-куб

Да, неправильно прочитал.
Ну хорошо, получили два следствия из (1.1). Т.е. для любого $b$ выполнены (2.1) и (2.2). Я не уверен, что стоит называть их "вариантами", потому что верны они оба, а обычно, когда говорят "есть несколько вариантов", они чем-то отличаются.