Фазовые траектории и фазовая плоскость

[Ded32]

Определение: "фазовые траектории системы – это проекции интегральных кривых". Мне нужно получить графическое изображение этих интегральных кривых. В свою очередь, они требуются для понимания понятий "аттрактор" и "репеллер".
Похоже, что Matlab для этого более чем подходит, но, возможно, есть что-то попроще? Или для подобных визуализаций наоборот необходимы какие-то узкоспециализированные программные пакеты?

Скажу сразу, в математике не силен.

[пианист]

Никак, недостающую координату нельзя восстановить по имеющимся.
Например, кривые $x = t, y = t, z = t$ и $x = t, y = t, z = 0$ имеют одинаковую проекцию на плоскость $(x, y)$, хотя они различны.

[Ded32]

пианист в сообщении #1563370 писал(а):

Никак, недостающую координату нельзя восстановить по имеющимся.
Например, кривые $x = t, y = t, z = t$ и $x = t, y = t, z = 0$ имеют одинаковую проекцию на плоскость $(x, y)$, хотя они различны.

Давайте уточню, возможно, всё-таки что-то не то написал. Информацию выше я взял из ролика некого Волкова В. Т. где он говорит, цитирую: "траектории решения системы расположены в трёхмерном пространстве, если мы эти траектории спроектируем на плоскость $y ; z$ то получим некие кривые, они и есть фазовые траектории" - вот именно исходное трёхмерное пространство и хотелось бы увидеть для какого-то понимания.

[alcoholist]

Ded32 в сообщении #1563374 писал(а):

траектории решения системы расположены в трёхмерном пространстве

я не вижу системы, поэтому вопрос: "траектория", это $\langle x(t),y(t),z(t)\rangle$, или $\langle t,x(t),y(t)\rangle$?

-- Ср авг 24, 2022 11:58:02 --

по смыслу, наверное, второе?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ozheredov]

alcoholist в сообщении #1563384 писал(а):

"траектория", это $\langle x(t),y(t),z(t)\rangle$

https://youtu.be/1W7c8QghPxk

Ded32 в сообщении #1563367 писал(а):

Похоже, что Matlab для этого более чем подходит

Матлаб менее всего подходит для рисования кривых в трехмерном пространстве, если говорить о стандартных методах. Нет перспективы (ближние участки не кажутся толще, чем дальние) и нет системы нормалей, позволяющих правильно отрисовывать блики и затенения на поверхностях. Думаю, Вам нужно нырять в canvas на JS.

[svv]

Ded32 в сообщении #1563374 писал(а):

Давайте уточню, возможно, всё-таки что-то не то написал. Информацию выше я взял из ролика некого Волкова В. Т. где он говорит, цитирую: "траектории решения системы расположены в трёхмерном пространстве, если мы эти траектории спроектируем на плоскость $y ; z$ то получим некие кривые, они и есть фазовые траектории" - вот именно исходное трёхмерное пространство и хотелось бы увидеть для какого-то понимания.

Давайте и я уточню. Размерность $n$ фазового пространства зависит от задачи. В примере Волкова $n=2$, потому что состояние системы описывается двумя переменными $y(t), z(t)$, зависящими от времени. В других задачах этих переменных может быть больше. Тогда фазовое пространство не будет плоскостью, а расширенное фазовое пространство (где лежат интегральные линии) не будет трёхмерным.

Хотелось бы узнать, какие исходные данные Вы будете загружать в программу. Известны ли зависимости динамических переменных от времени, или компьютер ещё должен их найти, решая систему дифференциальных уравнений?

[Lia]

Ded32
Я по невнимательности плохо отмодерировала Вашу тему. И в результате она грозит растянуться на пустом месте, как часто бывает в таких случаях.
Никто не смотрел ролик и мало кто будет смотреть, но постановку задачи - то есть систему, - приведите, пожалуйста. Иначе разговор беспредметен.

[Ded32]

ozheredov в сообщении #1563564 писал(а):

alcoholist в сообщении #1563384 писал(а):

"траектория", это $\langle x(t),y(t),z(t)\rangle$

https://youtu.be/1W7c8QghPxk

Ded32 в сообщении #1563367 писал(а):

Похоже, что Matlab для этого более чем подходит

Матлаб менее всего подходит для рисования кривых в трехмерном пространстве, если говорить о стандартных методах. Нет перспективы (ближние участки не кажутся толще, чем дальние) и нет системы нормалей, позволяющих правильно отрисовывать блики и затенения на поверхностях. Думаю, Вам нужно нырять в canvas на JS.

Ну, блики и затемнения уже лишние
Спасибо, учту и попробую что-то подобное посмотреть.

svv в сообщении #1563565 писал(а):

Ded32 в сообщении #1563374 писал(а):

Давайте уточню, возможно, всё-таки что-то не то написал. Информацию выше я взял из ролика некого Волкова В. Т. где он говорит, цитирую: "траектории решения системы расположены в трёхмерном пространстве, если мы эти траектории спроектируем на плоскость $y ; z$ то получим некие кривые, они и есть фазовые траектории" - вот именно исходное трёхмерное пространство и хотелось бы увидеть для какого-то понимания.

Давайте и я уточню. Размерность $n$ фазового пространства зависит от задачи. В примере Волкова $n=2$, потому что состояние системы описывается двумя переменными $y(t), z(t)$, зависящими от времени. В других задачах этих переменных может быть больше. Тогда фазовое пространство не будет плоскостью, а расширенное фазовое пространство (где лежат интегральные линии) не будет трёхмерным.

Хотелось бы узнать, какие исходные данные Вы будете загружать в программу. Известны ли зависимости динамических переменных от времени, или компьютер ещё должен их найти, решая систему дифференциальных уравнений?

Да, с мерностями я недавно худо-бедно разобрался, спасибо, что ещё раз разъяснили!
Меня пока интересует именно $n=3$.

Lia в сообщении #1563566 писал(а):

Ded32
Я по невнимательности плохо отмодерировала Вашу тему. И в результате она грозит растянуться на пустом месте, как часто бывает в таких случаях.
Никто не смотрел ролик и мало кто будет смотреть, но постановку задачи - то есть систему, - приведите, пожалуйста. Иначе разговор беспредметен.

Ролик здесь совсем не важен, я процитировал чужие слова, поскольку подозревал, что спросил что-то не то, и так и оказалось.


Смотрите, конкретной задачи как раз нет, нужна программа, которая могла бы мне визуализировать те самые линии при $n=3$. Задачи я в неё планирую загружать какие-нибудь стандартные из учебника - мне главное не решить конкретный пример, а понять в целом как всё это устроено, как оно выглядит "в натуральную величину".
Да, понимаю что может глуповато звучать, но вот по аналогии с квадратным уравнением на декартовой плоскости - на бумаге это просто парабола, и именно так на доске она всегда и рисуется, а вот в программе в 3д уже можно увидеть, что там скрывается целая плоскость, полуцилиндр, или даже такая вот красота, про которую в 2д никогда и не узнаешь:

Вот такие вещи хочется видеть перед глазами.
Я уже нашёл очень хороший инструмент PhaPl, подходит просто идеально, жаль только что показывает только задачи на плоскость а не пространство.
И выше я уже дополнил, что это в свою очередь нужно для понимания-визуализации аттракторов и репеллеров, именно для $n=3$. Как оно там всё сходится или расходится. Возможно, кто ещё что подскажет по этой теме

[Lia]

Ded32
Ролик, может, и не важен, а система - важна. Размерность фазового пространства от нее зависит.

Замечание за оверквотинг. Цитируйте только нужное или не цитируйте вовсе.

Кнопка "Вставка" есть, освойте. Выделить отрывок - нажать кнопку в том же посте.

-- 27.08.2022, 22:30 --

Ded32 в сообщении #1563604 писал(а):

а вот в программе в 3д уже можно увидеть, что там скрывается целая плоскость, полуцилиндр, или даже такая вот красота, про которую в 2д никогда и не узнаешь:
Изображение
Вот такие вещи хочется видеть перед глазами.

Ссылка на изображение битая.

И квадратное уравнение это не парабола, и не цилиндр и не что-то еще. Это уравнение.

[alcoholist]

Ded32 в сообщении #1563604 писал(а):

те самые линии при $n=3$

ролик я смотреть не буду, что за "те самые линии"?

-- Сб авг 27, 2022 20:45:17 --

ozheredov
судя по фразе уважаемого svv

svv в сообщении #1563565 писал(а):

состояние системы описывается двумя переменными $y(t), z(t)$, зависящими от времени

все-таки второе, то есть $\langle t,y(t),z(t)\rangle$, но ролика я не видел и не понимаю о чем именно идет речь

[Aritaborian]

Ded32 в сообщении #1563604 писал(а):

Ну, блики и затемнения уже лишние

Не затемнения, а затенение, англ. shading. Хорошие средства математической визуализации имеются в Wolfram Mathematica.

[ozheredov]

alcoholist в сообщении #1563613 писал(а):

ролик я смотреть не буду

Ну и зря. Там мужик ультра-немецко-альфастого покроя говорит "OF COURSE!!!", и его интонации говорят: "Другой точки зрения и быть не может!"

Ну, это мем стандартный. Типа воинствующий Капитан Очевидность.

-- 27.08.2022, 23:39 --

Ded32 в сообщении #1563604 писал(а):

затемнения

заТЕНЕния

[Aritaborian]

ozheredov, речь не о вашем ролике ;-D