Выходит, вот это

имеет размерность

, поскольку у нас три переменные,

а

уже

, поскольку здесь две переменные,

, в этом случае никакое пространство не строится. Мне кажется я грубо истолковал, но верно.
Из этого выходит, что для построения трёхмерного фазового пространства мне нужна система дифференциальных уравнений с тремя переменными, и вот в нём уже видны интегральные кривые
В случае
автономной системы из

обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка фазовое пространство

имеет размерность

, а расширенное фазовое пространство

имеет размерность

. Именно в последнем лежат интегральные кривые, каждая из которых соответствует решению системы при конкретных начальных условиях. Число уравнений

определяется решаемой задачей, а не способом визуализации решений системы.
При

фазовое пространство одномерно

, а расширенное фазовое пространство двумерно

. Если конкретную задачу удалось свести к единственному дифференциальному уравнению первого порядка, это не недостаток (типа, не хватает переменных для 3D), а везение.
При

фазовое пространство двумерно

, то есть это фазовая плоскость, а расширенное фазовое пространство трёхмерно

. Интегральная кривая описывается параметрическим уравнением

, где функции времени

найдены в результате решения системы с конкретными начальными условиями. Программа легко нарисует эту кривую в 3D, если функции уже известны.
При

фазовое пространство трёхмерно

, а расширенное фазовое пространство четырёхмерно

. Интегральная кривая в расширенном фазовом пространстве описывается параметрическим уравнением

, где функции времени

получены в результате решения системы с конкретными начальными условиями. Так как это расширенное фазовое пространство четырёхмерно, визуализировать кривую уже затруднительно. Но можно построить её проекцию на трёхмерное пространство

— например, если переменная

не так важна, как

и

.
Допустим, Вы решаете задачу о движении планеты в гравитационном поле Солнца. У планеты 3 степени свободы, каждой степени свободы соответствует 2 переменных (координата и скорость), так что получается система из 6 ДУ первого порядка с независимой переменной

и зависимыми переменными

, поэтому фазовое пространство будет шестимерным, а расширенное фазовое пространство семимерным. Многовато для визуализации. К счастью, траектория планеты лежит в некоторой плоскости, поэтому удачным выбором координат число зависимых переменных (и число уравнений) можно сократить до 4:

. Это уже легче. Дальше мы отказываемся от того, чтобы одна кривая давала информацию о зависимости всех этих четырёх переменных от времени (ведь по изображению зависимости координаты от времени можно судить и о скорости). И строим в 3D кривую

. Эта кривая является проекцией интегральной кривой в пятимерном пространстве

на трёхмерное пространство

.
Выкрутились.