Спектр сигнала и амплитуда.

[EUgeneUS]

ihq.pl
Я Вам говорю:
что оконное преобразование Фурье применяется к функциям

EUgeneUS в сообщении #1531188 писал(а):

Совсем не обязательно из $L^2(\mathbb{R})$.

А Вы мне говорите, что где-то в промежуточных выкладках появляются функции из $L^2(\mathbb{R})$.
Одно с другим как связано?

Еще раз:

ihq.pl в сообщении #1531255 писал(а):

я имел в виду оконное преобразование Фурье. Оно определено в $L_2(\mathbb{R})$.

Нет. Оконное преобразование не требует, чтобы функция принадлежала $L^2(\mathbb{R})$

ihq.pl в сообщении #1531255 писал(а):

Результат произведения с окном - это

это промежуточный результат.

[ihq.pl]

EUgeneUS
ну да, функция не обязана быть интегрируемой на оси. Мне просто показалось, что вы каким-то загадочным образом пытаетесь отождествить окно с $L_2[a,b]$

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Мы сами знаем, что она не имеет решения. Мы хотим знать, как ее решать.
(правда, у классиков желает понять, как решать не имеющую решения задачу теоретик, попрекая практика, а в действительности потребность решать не имеющую решения задачу возникает прежде всего на практике)

Поскольку при решении любой практической задачи наш бюджет рассчитан на конечное число операций и конечный объём данных, возникает проблема философского размаха - как в рамках бюджета понять бесконечное. И тут есть два варианта - заявить, как ещё одни персонажи той же книги, "Познание бесконечности требует бесконечного времени, а потому работай - не работай, всё едино" или принять дополнительные допущения, надеясь, что они верны, хотя проверить можем лишь правдоподобность (ну, ещё подтверждением допущений является то, что выводы, сделанные при их, допущений, принятии,оправдываются на практике - "но потом").
Естественным допущением является то, что за пределами данного там отрезка спектр тот же, что и внутри, так что мы вправе, изучив спектр по заданному отрезку, судить о сигнале в целом. То, что это именно допущение, и слишком серьёзное его принятие может породить ошибки - очевидно. Но ничего лучшего нет, так что приходится использовать, имея в виду, что само допущение дополнительный источник ошибок.
Отрезок в n точек можно точно представить разложением по n функциям (не обязательно, хотя и желательно, ортогональным, обязательна лишь линейная независимость). Если в качестве таких функций выбрать синусы и косинусы, причём так, чтобы период каждой был в целое число раз меньше длины отрезка - получаем такую систему ортогональных функций. Синусы и косинусы хороши тем, что являются собственными функциями некоторых практически важных операторов, и, следовательно, могут содержательно интерпретироваться. А выбор набора периодов даёт удобство ортогональности, сильно помогающее в расчётах. Другой набор периодов ничем не лучше содержательно (конечно, может быть ситуация, когда мы подбираем под априорную информацию о сигнале, тогда может быть и другая сетка частот, но и длину отрезка тогда можно выбирать специально).
Но если мы выбрали такую систему базисных функций, то, поскольку они периодичны, мы получаем периодическое повторение отрезка. Что заведомо не соответствует реальному сигналу, но это плата за допущение. Но другой выбор также породит ошибку, просто потому, что попытка судить о бесконечности на основе конечного числа точек всегда будет отягощена ошибкой.
Если у нас в сигнале есть частотная компонента, пусть даже и постоянная по амплитуде, но её частота не кратна частоте взятия отрезков, значения этой функции в начале и конце отрезка будут различны. И вообращаемая "стыковка отрезков" породит разрыв на краю. А Фурье превратит разрыв в множество "пичков" спектра, в дополнение к двум пикам в окрестности данной частоты. Сглаживание в частотной области или использование окон во временной формально эквивалентны (в практической реализации есть тонкие детали), но, избавляясь от "шума", мы размываем остроту пиков. И выбор конкретного метода проблема, выходящая за рамки математики и решаемая с учётом потребностей предметной области.

[ihq.pl]

Евгений Машеров в сообщении #1531279 писал(а):

выбрали такую систему базисных функций

В этом то, как я понял, и загвоздка) А между тем выбор базиса - это, возможно, главное в анализе. Ортогональный базис, система Риса, каркас - неважно, лишь бы функцию можно было разложить в этой системе и, если надо, "собрать" из коэффициентов разложения обратно. Понятно, что для решения конкретной практической задачи всё это может и не пригодится. Но, утрированно, робот на Марсе будет решать задачи по стандартной схеме, заложенной в него человеком. А при создании такой схемы уже важно определить тип функционального пространства и выбрать "базис" в нём. Взять те же окна. Робот вычисляет значения скалярного произведения сигнала с дискретным набором окон, записывает их, и потом, если надо выдает на гора идеализированный сигнал, полученный на основе этих вычислений. Для того, чтобы это было возможно, надо чтобы система окон обладала всеми необходимыми свойствами "базиса" в некотором заранее выбранном пространстве, например, $L_2$ и т.д. и т.п.

EUgeneUS
сори, немного с опозданием.. Стрелок всё-таки должно быть две))
$F(\sin bx) = i\pi(\delta(\omega+b) - \delta(\omega-b))$, $F(\cos bx) = \pi(\delta(\omega+b) + \delta(\omega-b))$

[ViktorArs]

Вопрос (для меня неожиданный): Есть сигнал синуса. Известно какая погрешность измерения для каждого отсчета. Как определить погрешность спектра.
Ясно что будет погрешностьсвязанная с частотой дискретизации, т.к. мы не можем имея сигнал получить "палки" спектра там где нам вздумается. Но меня интересует погрешность вызванная амплитудой. Допустим имеем что каждый отсчет имеет плюс минус 1 %. Как определить погрешность спектра?

[Евгений Машеров]

Если отсчёты отягощены ошибкой, отдельные значения которой независимы и имеют постоянную дисперсию, то это прибавка белого шума, что означает, что к мощности спектра прибавлена мощность белого шума, одинаковая на всех частотах. Вот если погрешность 1% от каждого отсчёта - тут появляется нелинейность и "всё сложно".

[ViktorArs]

Вы имеете ввиду, что если каждый отсчет имеет к примеру плюс 1% погрешность, то при вычислении Фурье в процессе суммирования (умножение с накоплением) добавляется погрешность от каждого отсчета? То "тут появляется нелинейность и "всё сложно"". Так?
А чисто интересно оценить это аналитически можно? Хотябы к примеру от количества точек в сигнале. в общем то, что вы говорите понятно, но как приклеить математику - я просто не представляю.
//-----------------------------------------
В целом под $\pm 1 \%$ я подразумевал, что каждый отсчет может отклониться максимально на 1 % от среднего значения. А в остальном - это обычный сигнал. Просто известна априори погрешность для отсчета и очень интересно в какую погрешность спектра это все выливается. Как это можно оценить, а еще лучше показать аналитически?

[upgrade]

ViktorArs
Одно дело - сложить два независимых сигнала, один из которых белый шум, другое - когда первый сигнал вносит случайные изменения во второй (ваш 1% к каждому отсчету) и складывается с ним. Если в первом случае можно восстановить исходник, то во втором таких исходников может быть много много.

[Евгений Машеров]

Я имею в виду, что когда говорят об 1%, имеют в виду относительную погрешность. И если просто белый шум с амплитудой 1% от максимального значения сигнала, то мощность шума прибавляется к мощности сигнала, спектр "приподнимается", для оценки возможных отклонений можно строить доверительные интервалы, и всё достаточно разработано. Но если понимать так, что сигнал нагружается ошибкой в 1% от значения амплитуды в данный момент, то есть помеха растёт для больших мгновенных значений сигнала, то такую простую оценку уже не получим, надо как-то учитывать реальные значения сигнала в разные моменты, и с распределением будет "всё сложно".

[ViktorArs]

Евгений Машеров в сообщении #1563435 писал(а):

Если просто белый шум с амплитудой 1% от максимального значения сигнала, то мощность шума прибавляется к мощности сигнала, спектр "приподнимается", для оценки возможных отклонений можно строить доверительные интервалы, и всё достаточно разработано.

1. А хотябы про это не подскажите л-ру?
2. "приподнимается"... А на погрешность вычисления пика основной частоты это влияет? Как это оценить?