Спектр сигнала и амплитуда.

epros · 28/09/06 10851

EUgeneUS в сообщении #1530211 писал(а):

Никакого указание на "мое непонимание" в Вашем тексте (после приведенной цитаты) не обнаружил.

Есть явное непонимании, в частности, того, откуда берётся:

EUgeneUS в сообщении #1530211 писал(а):

Мотивация, почему ДПФ - обратимое преобразование

Оно выражается, например, в том, как Вы отреагировали на:

epros в сообщении #1530138 писал(а):

...сигнал, как и его спектр можно восстановить из конечного множества отсчётов. Такой факт тоже есть, хотя он имеет место для специфического класса сигналов - периодических и с конечным (без высоких частот) спектром.

Вы не поняли, что ДПФ (в Вашем определении) изоморфно Фурье преобразованию периодического сигнала с конечным спектром. Количество отсчётов спектра такого сигнала конечно (в силу его дискретности и ограниченности), а количество отсчётов самого сигнала равно тому же числу в силу теоремы Котельникова.

И Вы, зациклившись на ДПФ (в Вашем определении), не захотели услышать мои доводы о том, что предметом реального исследования является не ДПФ, как какой-то заданный механизм преобразования наборов чисел, а спектры сигналов (хотя по чисто техническим причинам имеющиеся инструменты и могут предполагать необходимость дискретизации). И для реального сигнала у нас нет никакой информации о его поведении за пределами рассматриваемого отрезка, т.е. есть ли там периодичность и какая именно.

EUgeneUS в сообщении #1530211 писал(а):

Остался терминологический спор, что можно называть ДПФ, а что нельзя. Вы можете его легко разрешить. Достаточно привести хотя бы один учебник, где ДПФ определяется так, как Вы предлагаете.

Вопрос топикстартера заключался вовсе не в "правильном определении" ДПФ, так что терминологические споры вполне можно отставить в сторону. Проблема в том, что Вы основываете Ваши выводы именно на данном определении ДПФ, чего исходная задача не предполагает.

EUgeneUS · 11/12/16 13850 уездный город Н

EUgeneUS в сообщении #1530115 писал(а):

Я прекрасно понимаю, что, сделав конечное количество измерений за конечный промежуток времени, мы потеряли какую-то информацию о бесконечном непрерывном сигнале. В частности утеряна информация о поведении сигнала вне временного окна.

epros в сообщении #1530218 писал(а):

И Вы, зациклившись на ДПФ (в Вашем определении), не захотели услышать мои доводы о том, что предметом реального исследования является не ДПФ, как какой-то заданный механизм преобразования наборов чисел, а спектры сигналов (хотя по чисто техническим причинам имеющиеся инструменты и могут предполагать необходимость дискретизации). И для реального сигнала у нас нет никакой информации о его поведении за пределами рассматриваемого отрезка, т.е. есть ли там периодичность и какая именно.

это просто пир духа, какой-то :facepalm:

может Вы уже прекратите фантазировать на тему, что я понимаю или не понимаю, или подразумеваю, а будете использовать только то, что написано?

epros · 28/09/06 10851

EUgeneUS, Вы почему-то в одном месте заявляете, что "прекрасно понимаете", а в других местах пишете нечто противоречащее этому пониманию.

Например, когда топикстартер спросил про гармонику, которая "была в одном месте сигнала и исчезает в других", и я прокомментировал, что спектр сигнала будет зависеть от того, как именно (в каких местах) сигнал был обрезан, то Вы почему-то обрушились на меня с возражениями, что "в прикладном смысле" дело вовсе не в том, на каком отрезке сигнала снимается спектр, а в том, что он дискретный.

И далее, когда топикстартер спросил, можно ли на отрезке сигнала увидеть в точности гармонику 50 Гц, а не 49.5 Гц, и я продемонстрировал на примере, что в зависимости от предположений о том, с каким периодом сигнал повторяется за пределами рассматриваемого отрезка, можно увидеть или не увидеть эту гармонику, то Вы зачем-то заговорили об "артефактах ДПФ". И стоит большого труда Вам объяснить, что это всё - не более, чем следствие используемого Вами определения ДПФ, в которое, по-сути, заложено предположение, что за пределами рассматриваемого отрезка сигнал повторяется с периодом, равным длительности рассматриваемого отрезка.

EUgeneUS · 11/12/16 13850 уездный город Н

epros
В этой теме затрагивалось несколько частных вопросов, разберем по пунктам.

1. "Почему количество отсчетов во временной области равно количеству отсчетов в спектральной?"
Правильный ответ: потому что так (как дискретное обратимое преобразование) определяется ДПФ.
Мотивация, почему ДПФ определяется как обратимое преобразование приводилась.
А вот это вот всё:

epros в сообщении #1530218 писал(а):

ДПФ (в Вашем определении) изоморфно Фурье преобразованию периодического сигнала с конечным спектром. Количество отсчётов спектра такого сигнала конечно (в силу его дискретности и ограниченности), а количество отсчётов самого сигнала равно тому же числу в силу теоремы Котельникова.

К данному частному вопросу не имеет никакого отношения. Хотя и верно.

2.

epros в сообщении #1530234 писал(а):

Вы зачем-то заговорили об "артефактах ДПФ".

а) Если взять функцию, определенную на отрезке в виде гармонической, а вне отрезка - определенную нулем; применить к ней непрерывное ПФ; а к получившейся функции применить модуль, то... То получим модуль от синка, и ничего кроме модуля от синка мы получить не можем. Как бы не двигали границы отрезка. Отсюда можно сделать утверждение, что преобразование Фурье на конечном окне приводит к расплыванию спектра.
б) Если теперь дискретизировать функцию и применить ДПФ, то никакого модуля синка в спектральной области никогда не увидим. Разве что сами нарисуем его фломастером между дискретными отсчетами.
Отсюда делаем утверждение: характерный вид спектра монохроматического сигнала после ДПФ - это следствие дискретизации и применения ДПФ, а не (только) конечного окна.

3.

epros в сообщении #1530234 писал(а):

И стоит большого труда Вам объяснить, что это всё - не более, чем следствие используемого Вами определения ДПФ, в которое, по-сути, заложено предположение, что за пределами рассматриваемого отрезка сигнал повторяется с периодом, равным длительности рассматриваемого отрезка.

Извините, но в своей категоричности это, в общем-то верное при некоторых оговорках утверждение, превращается в тыкву.
Можно же посмотреть и с другой стороны.
И Вам, и Вы говорили, что за пределами временного окна про реальный сигнал ничего неизвестно. Работаем только с тем, что известно.
А это означает, что функция, к которой применяется ПФ, за пределами окна не определена. Так с какого перепугу, на основании чего, функцию определенную на отрезке $[0, T]$ , мы раскладываем в сумму функций, определенных на всей числовой прямой?
Вот и не будем этого делать. А будем раскладывать в сумму гармонических функций, определенных на том же отрезке $[0, T]$ . С точки зрения вычислений и их результатов, это не изменит ничего. Но избавит от необходимости спекуляций на тему "а чего там, за окном".
Так что, в определении ДПФ (не "в моём", а в общепринятом) ничего такого "по-сути не заложено".

epros · 28/09/06 10851

EUgeneUS в сообщении #1530261 писал(а):

1. "Почему количество отсчетов во временной области равно количеству отсчетов в спектральной?"

Вопрос звучал: "Всегда ли должно быть равно"?
Мой ответ был "нет", ибо количество отсчётов спектра определяется тем, что мы предполагаем о периодичности сигнала за пределами рассматриваемого отрезка.
Ваш ответ был "да", в силу определения ДПФ (в Вашем варианте).
На что я Вам указал, что это - следствие Вашего определения ДПФ, в которое по-сути заложено предположение о том, что период сигнала равен длине рассматриваемого отрезка.
Пришли к консенсусу?

EUgeneUS в сообщении #1530261 писал(а):

б) Если теперь дискретизировать функцию и применить ДПФ, то никакого модуля синка в спектральной области никогда не увидим. Разве что сами нарисуем его фломастером между дискретными отсчетами.
Отсюда делаем утверждение: характерный вид спектра монохроматического сигнала после ДПФ - это следствие дискретизации и применения ДПФ, а не (только) конечного окна.

На это (а скорее даже ранее на вопрос топикстартера) я отвечал, что дискретизация спектра определяется периодичностью сигнала, судить о которой, не имея информации о сигнале за пределами рассматриваемого отрезка, мы не можем. При этом в Ваше определение ДПФ заложено предположение о периодичности сигнала с периодом в длину рассматриваемого отрезка. Поэтому тот факт, что применение ДПФ к отрезку синусоиды 50 Гц длиной 1 секунда даёт в точности одну гармонику в 50 Гц, это случаное стечение обстоятельств - если в рассматриваемый отрезок времени уложится не в точности целое количество периодов синусоиды, то так не будет.

EUgeneUS в сообщении #1530261 писал(а):

функция, к которой применяется ПФ, за пределами окна не определена. Так с какого перепугу, на основании чего, функцию определенную на отрезке $[0, T]$ , мы раскладываем в сумму функций, определенных на всей числовой прямой?

Так уж сложились обстоятельства (в лице определения тригонометрических функций), что синусоида определена на всей числовой прямой. Впрочем, этот факт никому не мешает, поскольку Вы имеете право синусоиду за пределами рассматриваемого отрезка не рассматривать.

EUgeneUS в сообщении #1530261 писал(а):

Вот и не будем этого делать. А будем раскладывать в сумму гармонических функций, определенных на том же отрезке $[0, T]$ . С точки зрения вычислений и их результатов, это не изменит ничего. Но избавит от необходимости спекуляций на тему "а чего там, за окном".
Так что, в определении ДПФ (не "в моём", а в общепринятом) ничего такого "по-сути не заложено".

Тот факт, что функция на конечном отрезке раскладывается в ряд Фурье, неким "магическим образом" связан с тем фактом, что результатом преобразования Фурье (каковое, как известно, применяется к функциям, определённым на всей числовой оси) от периодической функции является дискретный спектр.

Можно от этого обстоятельства сколько угодно отмахиваться, однако оно имеет место.

EUgeneUS · 11/12/16 13850 уездный город Н

epros в сообщении #1530331 писал(а):

Пришли к консенсусу?

Нет. Впрочем, перечень разногласий определился и он, так-то, небольшой:
1. Определение ДПФ не моё, а общепринятое.
2. Вы поминаете периодичность, о которой делаются предположения, и которая куда-то там "встроена", там, где она (периодичность) не играет никакой роли.

epros в сообщении #1530331 писал(а):

На это (а скорее даже ранее на вопрос топикстартера) я отвечал, что дискретизация спектра определяется периодичностью сигнала, судить о которой, не имея информации о сигнале за пределами рассматриваемого отрезка, мы не можем.

Вот тоже интересный момент.
Когда мы действительно не можем судить о периодичности - Вы её поминаете.
А в данном конкретном случае, в котором есть априорные знания о сигнале - что он периодичен с частотой 50 Гц, и это можно (попытаться) использовать, Вы заявляете, что о периодичности судить нельзя.
Какой-то перегиб и парадокс.

epros в сообщении #1530331 писал(а):

Тот факт, что функция на конечном отрезке раскладывается в ряд Фурье, неким "магическим образом" связан с тем фактом, что результатом преобразования Фурье (каковое, как известно, применяется к функциям, определённым на всей числовой оси) от периодической функции является дискретный спектр.

В факте, что (достаточно хорошая) функция на конечном отрезке раскладывается в ряд Фурье, Вы видите какую-то мистическую связь с периодическими функциями.
А я вижу прямую и очевидную связь с тем фактом, что функция из $L^2[a,b]$ раскладывается по счетному (то есть дискретному) ортонормированному базису.
Вместо синусов и косинусов можно взять любой другой ортонормированный базис, например, полиномы Лежандра. При этом:
а) Как и любые полиномы они будут определены на всей числовой оси.
б) Как и любые полиномы конечной степени они не будут периодическими
в) А коэффициенты разложения будут, сюрприз-сюрприз, называться "коэффициентами Фурье".
И причём тут периодичность?

(Оффтоп)

Не при чем

ihq.pl · 18/05/15 731

EUgeneUS в сообщении #1530376 писал(а):

функция из $L^2[a,b]$ раскладывается по счетному (то есть дискретному) ортонормированному базису.
И причём тут периодичность? Не при чем

Разве $L_2[a,b]$ не подразумевает периодичность? Те же полиномы Лежандра после замены $x=\cos\theta$ . Отрезок сигнала это всё-таки немного из другой оперы. Ну а если вне отрезка ф-я равна нулю, тогда и раскладывать её надо по базису в $L_2(\mathbb{R})$

EUgeneUS · 11/12/16 13850 уездный город Н

ihq.pl в сообщении #1530419 писал(а):

Разве $L_2[a,b]$ не подразумевает периодичность?

С чего бы это?
Конечно, из каждой функции, определенной на отрезке, можно сконструировать периодическую. А можно и не конструировать.

ihq.pl в сообщении #1530419 писал(а):

Ну а если вне отрезка ф-я равна нулю, тогда и раскладывать её надо по базису в $L_2(\mathbb{R})$

epros говорит, что вне окна сигнал подразумевается периодическим. (Если правильно его понял)
Вы говорите, что вне окна измеренный сигнал можно доопределить нулём.
А я говорю, что это всё - экстраполяции, плавно (непрерывно) переходящие в спекуляции.

Поймите одну простую вещь.
Измеряя сигнал в ограниченном окне (да ещё и в некоторых точках внутри окна), мы теряем информацию о сигнале. А значит мы теряем информацию и в спектральной области.
Всё, умерла, так умерла. Нету этой информации, ничего лишнего подразумевать не надо.

Если же у нас есть априорные знания о сигнале, (например, мы и без измерений знаем, что это бесконечный монохроматический сигнал), то мы можем посмотреть, какие искажения процедура измерения внесет как во временной области (там всё понятно и очевидно), так и в спектральной. Но это совсем не означает, что любые измеренные сигналы мы подразумеваем периодическими.

ihq.pl · 18/05/15 731

EUgeneUS в сообщении #1530436 писал(а):

ihq.pl в сообщении #1530419 писал(а):

Разве $L_2[a,b]$ не подразумевает периодичность?

С чего бы это?

Вы привели в пример полином Лежандра. Там $x$ меняется от минус до плюс единицы, т.е. если представим, что $x$ зависит от времени, получим периодичность.

Если взять полином $P_n(x)$ и заменить переменную $x$ на $e^{i\theta}$ , получим тригонометрический полином, коэффициенты которого суть его коэффициенты Фурье в базисе $e^{ik\theta}, k\in \mathbb{Z}$ . Чтобы узнать их, нужны значения этого полинома в $n$ точках. То есть имеем систему ур-й $P_n(x_k)=p_k, k=1,..,n$ , у которой единственное решение. Если $x_k$ распределены по закону $x_k=e^{2\pi ik/n}$ , решение может быть получено способом, который известен как ДПФ... Теперь, если у нас есть $n$ значений сигнала, то ДПФ неявно подразумевает, что мы изучаем не сам сигнал, а его ортогональную проекцию на $n$ -мерное подпространство тригонометрических полиномов. А там всё периодично) Вот такая вот пир духа

EUgeneUS · 11/12/16 13850 уездный город Н

ihq.pl
взяли функцию, определенную на всей числовой и непериодическую (полином).
сделали в ней замену переменной через периодическую функцию.
получили периодическую функцию.
и что? смысл этого эксерезиса в чем?

ihq.pl · 18/05/15 731

В том, что сигнал предполагается периодичным. Более того, предполагается, что он есть усеченный ряд Фурье, т.е. тригонометрический полином. В противном случае ДПФ не имеет смысла. Хотя, я невнимательно читал вашу беседу, и, может быть, причина невзаимопонимания совсем в другом))

epros · 28/09/06 10851

EUgeneUS в сообщении #1530376 писал(а):

epros в сообщении #1530331 писал(а):

Пришли к консенсусу?

Нет.

Ну что ж, давайте тогда продолжим это занимательное обсуждение терминов.

EUgeneUS в сообщении #1530376 писал(а):

1. Определение ДПФ не моё, а общепринятое.

Да мне всё равно, в какой степени оно именно "обще" принятое. Я называю его "Вашим" исключительно в том смысле, что здесь и сейчас его используете именно Вы. Т.е. это Вы настаиваете, чтобы словосочетание из трёх слов мы трактовали как отдельное понятие о преобразовании конечного набора чисел в конечный набор чисел, независимо от того, что означают отдельные слова этого словосочетания.

А по-моему вопрос этой темы был про спектры сигналов как таковые. Поэтому речь должна идти не просто о преобразовании наборов каких-то чисел, а именно о преобразовании Фурье, т.е. о значении отдельных слов словосочетания не забываем.

EUgeneUS в сообщении #1530376 писал(а):

2. Вы поминаете периодичность, о которой делаются предположения, и которая куда-то там "встроена", там, где она (периодичность) не играет никакой роли.

Опять же, это не просто так, а потому, что вопросы темы были про спектры, т.е. о преобразовании Фурье, каковое определено для бесконечного по времени сигнала. Это значит, что от предположений о характере сигнала за пределами рассматриваемого отрезка времени никуда не деться. И когда речь начинает идти о дискретности спектра, эти предположения принимают вполне конкретную форму.

EUgeneUS в сообщении #1530376 писал(а):

А в данном конкретном случае, в котором есть априорные знания о сигнале - что он периодичен с частотой 50 Гц, и это можно (попытаться) использовать, Вы заявляете, что о периодичности судить нельзя.
Какой-то перегиб и парадокс.

Априорным знанием о сигнале в данном конкретном случае было то, что он имеет дискретный спектр с шагом в 1 Гц. А в терминах преобразования Фурье это означает, что он периодический с периодом 1 секунда. И только случайным совпадением обусловлено то, что в этой секунде уложилось ровно целое количество периодов синусоиды в 50 Гц. Если бы синусоида оказалась с частотой 50.5 Гц, результат ДПФ не показал бы, что сигнал монохроматический.

EUgeneUS в сообщении #1530376 писал(а):

Вместо синусов и косинусов можно взять любой другой ортонормированный базис, например, полиномы Лежандра. При этом:
а) Как и любые полиномы они будут определены на всей числовой оси.
б) Как и любые полиномы конечной степени они не будут периодическими
в) А коэффициенты разложения будут, сюрприз-сюрприз, называться "коэффициентами Фурье".

Это да. Разложить сигнал на отрезке можно по любому счётному (не обязательно даже ортонормированному) базису. И в некотором обобщённом смысле такое разложение даже можно называть разложением в ряд Фурье. Но в данной-то теме речь шла о "спектрах", ортами которых явно предполагаются синусоиды.

EUgeneUS · 11/12/16 13850 уездный город Н