Спектр сигнала и амплитуда.

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1530585 писал(а):

И делаете из специфических аспектов этого вычитанного из учебников определения выводы, не имеющие отношения к поднимаемым в теме вопросам.

Предположения и утверждениях о предположения о периодичности сигнала - не имеют отношения к поднимаемым вопросам.

epros в сообщении #1530585 писал(а):

Нет, это значит, что речь о преобразовании Фурье, а то, что оно оказывается дискретным, является чисто техническим, инструментальным эффектом, последствия которого можно понять, только если разобраться с тем, что происходит при дискретизации сигнала и спектра, а не пытаться от этих последствий отмахнуться, сославшись на не относящееся к делу определение ДПФ.

А от от этого я как раз и не отмахиваюсь. Более того, считаю полезным теоретическое рассмотрение преобразований последовательно:
Интегральное преобразование Фурье на всей числовой оси -> Интегральное преобразование Фурье на конечном окне (в случае прямоугольного окна, это тоже самое, что и ПФ от периодической функции) -> ДПФ. С обязательным рассмотрением, какие искажения в спектр известного сигнала (например, бесконечного монохроматического) каждое преобразование вносит.

Я отмахиваюсь, как не имеющих отношения к делу, от предположений о периодичности сигнала.

epros в сообщении #1530585 писал(а):

Например, если мы точно знаем, что "сигнал" - это нечто, имеющее начало и конец по времени, за пределами коих оный "сигнал" по определению считается нулевым.

Ничего точно знать про сигнал до измерений Вы не можете (да и после измерений - тоже). Может быть какое-то априорное знание о сигнале, конечно. Но как и любое априорное знание оно не может быть точным.

epros в сообщении #1530585 писал(а):

То, что сигнал "имеет период 20 миллисекунд", не может быть априорным знанием, ибо Вы сами сказали, что про сигнал за пределами секундного отрезка Вам ничего не известно.

Ещё раз по пунктам.
1. В общем случае о сигнале на пределами окна ничего неизвестно. В том числе, неизвестно - периодичен он или нет.
2. В данном частном случае есть априорное знание, что он периодичен с частотой 50 Гц. Откуда может появиться это знание? Подключили анализатор спектра к генератору, настроенному на 50 Гц, например.

epros в сообщении #1530585 писал(а):

Вы опять уводите разговор в сторону от того, что важно.

Нет, это Вы простые и ясные утверждения (в том числе и свои) загромождаете неважными и ненужными предположениями о периодичности.

epros в сообщении #1530585 писал(а):

А важно то, что если синусоида будет с частотой 50.5 Гц, то любимое Вами почерпнутое из учебника ДПФ продемонстрирует спектр отнюдь не из одной гармоники (несмотря на все Ваши "априорные знания" о том, что это была чистая синусоида). И правильное объяснение этому факту с точки зрения теории преобразования Фурье заключается в том, что именно таков и должен быть спектр сигнала, повторяющегося с периодом в 1 секунду (потому что каждую секунду происходит скачок фазы этой синусоиды на полпериода).

Нет. Последовательность действий другая и выводы совершенно другие.
1. У нас есть априорные знания, что сигнал периодичен с частотой 50 Гц.
2. Исходя из этого мы выбираем размер окна. Именно так: априорные знания о сигнале есть причина выбора окна, а не выбранное окно является причиной предположений о сигнале.
3. Проводим измерения. Далее есть два варианта

а) Получили в спектре "красивый" пик шириной в один отсчет. Значит наши априорные знания подтвердились измерениями.
б) Получили в спектре расплывшийся пик, характерный для ДПФ. Значит наши априорные знания были неверными.

Причем неверными они могут быть по сильно разным причинам:
а) либо сигнал таки периодичен, но с другой частотой.
б) либо сигнал зашумлен и не может считаться периодичным. А Ваши спекуляции о периодичности сигнала вообще исключают этот вариант.

[epros]

EUgeneUS, я не ставлю себе задачу вести с Вами бой до победного конца. Просто хочу ещё раз подчеркнуть, что Ваши попытки увести разговор в сторону от рассмотрения свойств преобразования Фурье, о которых и были вопросы этой темы, являются контр-продуктивными, ибо мешают спрашивающему разобраться с тем, что (какая теория) стоит за употребляемыми им словами "спектр" и "гармоника".

EUgeneUS в сообщении #1530641 писал(а):

2. В данном частном случае есть априорное знание, что он периодичен с частотой 50 Гц. Откуда может появиться это знание? Подключили анализатор спектра к генератору, настроенному на 50 Гц, например.

Отсюда это знание появиться не может. Потому что реальный генератор включается на конечное время, так что теоретическое утверждение о наличии у сигнала периода в 20 миллисекунд из свойств реального сигнала почерпнуто быть не может.

Зато...

EUgeneUS в сообщении #1530641 писал(а):

Ничего точно знать про сигнал до измерений Вы не можете (да и после измерений - тоже). Может быть какое-то априорное знание о сигнале, конечно. Но как и любое априорное знание оно не может быть точным.

...если мы по определению называем "сигналом" только конечный его отрезок, а остальное считаем доопределённым нулём, то это является абсолютно точным априорным теоретическим знанием о сигнале.

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1530678 писал(а):

EUgeneUS, я не ставлю себе задачу вести с Вами бой до победного конца.

Я буду считать победой, если Вы хотя бы перестанете превратно трактовать мои слова (вплоть до полного искажения их). Вот например:

epros в сообщении #1530678 писал(а):

Просто хочу ещё раз подчеркнуть, что Ваши попытки увести разговор в сторону от рассмотрения свойств преобразования Фурье,

При этом во первых строках письма, чуть ли не на первой странице темы, именно я утверждал, что нужно понимать, как отражается на спектре тот или иной вид преобразования Фурье, (upd: то есть необходимо учитывать свойства преобразований) . Да-да, именно тогда, когда использовал слово "артефакты".

Что касается подразумеваний о периодичности, просто ответьте на простые вопросы:

1. Применяя непрерывное (интегральное) преобразование Фурье к (достаточно хорошей) функции, определенной на всей числовой прямой, подразумеваем ли мы её периодичность?

(Оффтоп)

нет, конечно. Возможность применения непрерывного преобразования Фурье вообще никак не зависит от периодичности функции

2. Применяя непрерывное (интегральное) преобразование Фурье к (достаточно хорошей) функции на отрезке, подразумеваем ли мы её периодичность?

(Оффтоп)

нет, конечно. Скорее мы подразумеваем, что за пределами отрезка, то есть окна, она определена нулем. Если вообще о каких-то подразумеваниях можно говорить. Это моментально следует из аддитивности интеграла

3. Так почему, когда мы переходим к ДПФ и теряем информацию о функции из-за дискретизации, Вы говорите о каких-то подразумеваниях периодичности? Спектр стал дискретным, не потому что функция ВНЕЗАПНО стала периодичной, и не потому что мы стали её "подразумевать" периодичной. А потому что мы потеряли информацию (часть информации) о функции и, как следствие о спектре. "И всех делов".

-- 06.09.2021, 18:30 --

Кстати, сам этот набор слов "подразумеваем периодичность", он из какой области?
Вряд ли из математики, где (насколько понимаю) любые "подразумевания" принято явно объявлять.

[schoolboy]

EUgeneUS
Что-то вы очень долго утверждаете, что дважды два пять. Вроде всем известно, что спектр именно потому дискретный (с дискретностью $\Delta f$) что функция периодичная с периодом $1/\Delta f$. Понятно, что это артефакт, но такое уж свойство метода. Информацию мы теряем не дискретизацией, а тем, что берем только часть функции, а метод домысливает ее периодической. Дискретизация делает у функции бесконечный периодический спектр с периодом, обратным интервалу дискретизации. Мы интересуемся только одним периодом этого спектра.

[EUgeneUS]

schoolboy в сообщении #1530817 писал(а):

Что-то вы очень долго утверждаете, что дважды два пять

нет. Я долго утверждаю, что дважды два - четыре. А домысливать, что дважды два четыре и еще один - не нужно.

schoolboy в сообщении #1530817 писал(а):

Вроде всем известно, что спектр именно потому дискретный (с дискретностью $\Delta f$) что функция периодичная с периодом $1/\Delta f$.

Спектр дискретный, потому что информацию о нем потеряли. А не потому что функция периодична.

schoolboy в сообщении #1530817 писал(а):

Информацию мы теряем не дискретизацией, а тем, что берем только часть функции, а метод домысливает ее периодической

метод ничего не может домысливать. Метод вообще не мыслит.

schoolboy в сообщении #1530817 писал(а):

Информацию мы теряем не дискретизацией

информацию мы теряем, и когда измеряем на конечном окне, и когда дискретизируем.

[Евгений Машеров]

Не в порядке вторжения в дискуссию - и даже не в порядке пояснения к конкретным её деталям, а так, просто хорошая книжка:

Цитата:

Финк Л.М.
Сигналы, помехи, ошибки ... (Заметки о некоторых неожиданностях, парадоксах и заблуждениях в теории связи)
Радио и связь 1984

Возможно, если почитать её, что-то будет понятно с неожиданной стороны.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1530806 писал(а):

1. Применяя непрерывное (интегральное) преобразование Фурье к (достаточно хорошей) функции, определенной на всей числовой прямой, подразумеваем ли мы её периодичность?

(Оффтоп)

нет, конечно. Возможность применения непрерывного преобразования Фурье вообще никак не зависит от периодичности функции

Верно.

EUgeneUS в сообщении #1530806 писал(а):

2. Применяя непрерывное (интегральное) преобразование Фурье к (достаточно хорошей) функции на отрезке, подразумеваем ли мы её периодичность?

(Оффтоп)

нет, конечно. Скорее мы подразумеваем, что за пределами отрезка, то есть окна, она определена нулем. Если вообще о каких-то подразумеваниях можно говорить. Это моментально следует из аддитивности интеграла

Уточню, что интегральное преобразование Фурье по определению применяется к сигналу, определённому на всей числовой оси. Поэтому доопределение сигнала за пределами отрезка хоть чем-то - неизбежно.

EUgeneUS в сообщении #1530806 писал(а):

3. Так почему, когда мы переходим к ДПФ и теряем информацию о функции из-за дискретизации, Вы говорите о каких-то подразумеваниях периодичности? Спектр стал дискретным, не потому что функция ВНЕЗАПНО стала периодичной, и не потому что мы стали её "подразумевать" периодичной. А потому что мы потеряли информацию (часть информации) о функции и, как следствие о спектре. "И всех делов".

Ещё раз: Из свойств преобразования Фурье следует, что дискретным спектром обладают периодические функции и только они. Этот вариант доопределения сигнала за пределами отрезка ничем не хуже доопределения его нулём.

А поскольку имеющиеся у нас технические средства предполагают работу только с дискретными спектрами, математически это эквивалентно доопределению сигнала за пределами рассматриваемого отрезка периодической функцией. Так что когда мы переходим к ДПФ с его дискретизацией спектра, мы не "теряем информацию" о сигнале за пределами рассматриваемого отрезка (ибо её у нас никогда и не было), а по-сути доопределяем сигнал за пределами рассматриваемого отрезка (если не забывать, что ДПФ - это не просто "какое-то" преобразование конечного набора чисел в конечный набор чисел, а именно преобразование Фурье).

[Евгений Машеров]

Возвращаясь к вопросу топикстартера. Не то, чтобы я был против оценки амплитуды по спектру, вычисленному по ДПФ. Но это может быть не оптимальным решением. Спектр мощности пытается найти все мыслимые частоты, с периодами в целое число раз меньшими длины отрезка. Если мы полагаем, что на самом деле важных для нас частот меньше, или даже нас интересует только одна или несколько частот, можно найти метод получше. Например, использовать авторегрессию (и вообще методы во временной области) и уже из её оценки получать спектр (тут придётся априори задать число составляющих, но это часто оправдано повышением точности оценивания их). Или, если нас интересует компонента с известной (хотя бы не точно, но с известной точностью) частотой - отчего бы не попробовать комплексную демодуляцию?

[EUgeneUS]

epros
Меня гложут смутные сомнения, что в соответствии с Вашими представлениями о "подразумевании сигнала периодическим" Вы пытаетесь из этой темы сделать периодический сигнал, где каждый новый период не добавляет информации.
В соответствии же с моими представлениями, это должно рано или поздно закончиться. Поэтому это мой последний пост на тему "подразумеваний" и "периодичности".

epros в сообщении #1530854 писал(а):

Уточню, что интегральное преобразование Фурье по определению применяется к сигналу, определённому на всей числовой оси. Поэтому доопределение сигнала за пределами отрезка хоть чем-то - неизбежно.

Уточню, что
а) интегральное преобразование Фурье действительно применяется к функции, определенной на всей числовой оси (с некоторыми оговорками).
б) однако, интегральное преобразование Фурье на конечном окне, вполне себе применимо к функции, определенной только на этом окне.

epros в сообщении #1530854 писал(а):

Ещё раз: Из свойств преобразования Фурье следует, что дискретным спектром обладают периодические функции и только они.

Ещё раз. Дискретным спектром обладают любые функции из $L^2[a,b]$, а они не могут быть периодичными. Поэтому "только они" - это ошибка, ересь.

epros в сообщении #1530854 писал(а):

математически это эквивалентно доопределению сигнала за пределами рассматриваемого отрезка периодической функцией.

Да. Также это эквивалентно разложению функции из $L^2[a,b]$ по счетному базису.
Мало ли что чему эквивалентно.

С точки зрения математики у нас разногласия небольшие:
1. Вы видите в дискретном спектре после дискретизации на отрезке и применении ДПФ глубокую мистическую связь с дискретным спектром периодических функций.
2. А я вижу очевидную связь с разложением функций из $L^2[a,b]$ по счетному базису.
Впрочем я об этом писал. Но подчеркну, никто мне _математически_ не запретит видеть эту очевидную связь.

Более глубокие разногласия у нас в трактовке причинно-следственных связей при цифровой обработке сигналов. Что является причиной, а что является следствием.
Так вот, в этом смысле какие либо "подразумевания" измеренного сигнала периодичным не являются ни причиной (ничего), ни следствием (ничего). Они просто не нужны. За некоторыми исключениями, когда имеются априорные знания о периодичности сигнала.

-- 08.09.2021, 17:41 --

Евгений Машеров в сообщении #1530866 писал(а):

Возвращаясь к вопросу топикстартера.

Возвращаясь к вопросу топикастера, вот такой вопрос возник.

Пусть мы измерили спектр монохроматического сигнала, но не угадали с размером окна. Тогда вместо одного ненулевого отсчета мы получили "расплывшийся спектр".
Как это происходит наглядно изображено на этой картинке (внизу, красным цветом)


Вопрос: если мы квадратично просуммируем все получившиеся компоненты, то будет ли это квадратом амплитуды периодического сигнала?
Вроде как должно, исходя из того, что мощность сигнала во временной области равна мощности сигнала в спектральной. Но точно (пока) не доказал.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1530977 писал(а):

Вы пытаетесь из этой темы сделать периодический сигнал, где каждый новый период не добавляет информации

Это только потому, что Вы не желаете слышать то, что я говорю.

Попробую ещё разок.

EUgeneUS в сообщении #1530977 писал(а):

Дискретным спектром обладают любые функции из $L^2[a,b]$, а они не могут быть периодичными. Поэтому "только они" - это ошибка, ересь.

Это называется "разложением в ряд Фурье" и является частным случаем преобразования Фурье - того самого, которое для функций, определённых на всей числовой прямой.

Почему, говоря про "спектры", нужно не ограничиваться частным случаем, а не забывать также про общий? Да потому, что $L^2[a,b]$ может внезапно оказаться $L^2[c,d]$ и без понимания общего случая преобразования Фурье Вы никогда не поймёте, что это вдруг произошло "со спектром того же самого сигнала".

Например, если...

EUgeneUS в сообщении #1530977 писал(а):

...мы измерили спектр монохроматического сигнала, но не угадали с размером окна.

То с чего бы это вдруг...

EUgeneUS в сообщении #1530977 писал(а):

...вместо одного ненулевого отсчета мы получили "расплывшийся спектр".

[ihq.pl]

EUgeneUS, немного некорректное, на мой взгляд, сравнение на вашей картинке. О преобразовании Фурье синуса или косинуса на всей оси можно говорить только в смысле обобщенных ф-ий, и оно не то, что на картинке. На картинке коээффициент Фурье синуса или косинуса, то есть совсем другая история. Преобразования Фурье от синей и красной ф-ий разные в силу того, что в $L_2(\mathbb{R})$ это совершенно разные функции. Если же мы применяем ДПФ к $n$ отсчетам, то автоматом находим коэффициенты Фурье единственного тригонометрического полинома порядка $n$. То есть различие между красным и синим объяснимо и в дискретном случае. Для ТС, возможно, один из путей решения - поиск полинома минимальной степени, который проходит через все точки. А если заранее известно, что сигнал - синусоида $A\sin(\omega x + \varphi) + B$, то нужны всего несколько точек в количестве, которое обеспечивает единственность решения)

[EUgeneUS]

ihq.pl в сообщении #1531112 писал(а):

немного некорректное, на мой взгляд, сравнение на вашей картинке.

это не моя картинка.

ihq.pl в сообщении #1531112 писал(а):

О преобразовании Фурье синуса или косинуса на всей оси можно говорить только в смысле обобщенных ф-ий,

конечно.

ihq.pl в сообщении #1531112 писал(а):

и оно не то, что на картинке

черная стрелка вверх как и изображает обобщенную дельта-функцию. Насколько понимаю.

ihq.pl в сообщении #1531112 писал(а):

Преобразования Фурье от синей и красной ф-ий разные в силу того, что в $L_2(\mathbb{R})$ это совершенно разные функции.

можно и так посмотреть. А можно и по другому: эти функции разные внутри окна.

[ihq.pl]

EUgeneUS в сообщении #1531136 писал(а):

ерная стрелка вверх как и изображает обобщенную дельта-функцию. Насколько понимаю.

Это я понял. Если так изобразили преобразование Фурье ф-и $e^{ix}$, тогда да. Но это ж синус или косинус. То есть, стрелок должно быть две))
Ну и оконное преобразование Фурье тоже определяется в $L_2(\mathbb{R})$.

[EUgeneUS]

ihq.pl
а по вертикальной оси не комплексная амплитуда (чего изобразить вообще проблематмчно), а модуль амплитуды.
Поэтому "стрелка" все таки одна.

-- 10.09.2021, 12:54 --

ihq.pl в сообщении #1531142 писал(а):

Ну и оконное преобразование Фурье тоже определяется в $L_2(\mathbb{R})$.

Совсем не обязательно из $L^2(\mathbb{R})$. Синусы-косинусы в $L^2(\mathbb{R})$ не входят, однако же оконное преобразование применяется без инфарктов, параличей и даже без обобщенных функций.

[ihq.pl]

EUgeneUS в сообщении #1531188 писал(а):

Синусы-косинусы в $L^2(\mathbb{R})$ не входят, однако же оконное преобразование

я имел в виду оконное преобразование Фурье. Оно определено в $L_2(\mathbb{R})$.Результат произведения с окном - это функция в $L_2(\mathbb{R})$. Ни $L_2[a,b]$, ни $L_2[c,d]$, а $L_2(\mathbb{R})$. Исследуемая функция - да, необязательно в $L_2(\mathbb{R})$. Окно может смещаться вдоль оси и скалироваться, в этом его предназначение - исследовать функцию на различных временных и частотных интервалах, не только на $[a,b]$.