Плоскости умножения в комплексном пространстве

[mihaild]

(это всё не нужно, т.к. вопроса про биекцию между прямой и плоскостью тут не было; но вообще это очень базовая теоретико-множественная штука, и если с ней проблемы, то возможно стоит сосредоточиться на них, а не лезть во что-то более глубокое)

Vladimir Pliassov в сообщении #1562720 писал(а):

Автоморфизм это биекция и гомоморфизм вместе

Формально да, фактически требования к гомоморфизму настолько сильнее, что брать случайную биекцию и надеяться что она окажется гомоморфизмом - плохая стратегия.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562720 писал(а):

Да, если поставить пару последовательностей $(a, b)$ в соответствие последовательности $a$

Так указанная биекция, вообще говоря, последовательности $a$ ставит в соответствие пару последовательностей, ни одна из которых не совпадает с $a$ (за редкими исключениями).

[Vladimir Pliassov]

svv в сообщении #1562728 писал(а):

А причём тут прямая? Автоморфизм отображает плоскость на себя.

mihaild в сообщении #1562667 писал(а):

Подумайте, существует ли автоморфизм аддитивной группы $(\mathbb R^2, +)$, сохраняющий множества $x = 0$ и $y = 0$, но переводящий прямую $x = y$ во что-то, не являющееся прямой.

Как я понимаю, плоскость отображается в себя, и при этом прямая $x = y$ не переходит в плоскость, не переходит в точку. Имеется намек, что она не переходит в прямую. Может быть, в кривую?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562735 писал(а):

Как я понимаю, плоскость отображается в себя, и при этом прямая $x = y$ не переходит в плоскость, не переходит в точку. Имеется намек, что она не переходит в прямую. Может быть, в кривую?

Это исходная задача, вы решите сначала упрощенный вариант - чтобы прямая $x = y$ не переходила в себя (но возможно переходила в другую прямую). Это совсем просто, и вам нужно учиться находить ответы на вопросы самостоятельно.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1562734 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1562720 писал(а):

Да, если поставить пару последовательностей $(a, b)$ в соответствие последовательности $a$

Так указанная биекция, вообще говоря, последовательности $a$ ставит в соответствие пару последовательностей, ни одна из которых не совпадает с $a$ (за редкими исключениями).

Я не то ставил в соответствие, не разобрался.

Цитата:

Биекцию же $f : C\times C \to C$ можно построить следующим
образом. Если $a = (a_1, a_2, \ldots)$ и $b = (b_1, b_2, \ldots)$ -- две последовательности
нулей и единиц из $C$, то можно положить
$f(a, b) = (a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3, \ldots)$
(элементы последовательностей $a$ и $b$ перемежаются).

Я в соответствие последовательности $a$ ставил перемежающуюся последовательность $t$, а надо паре последовательностей $a, b$ поставить в соответствие последовательность $t$ (то есть взять $f(a, b) = t$).

Правда, для того, чтобы убедиться в том, что $f(a, b) = t$ это биекция, надо, прежде всего, убедиться, что произвольная пара $a, b$ отображается в единственное $t,$ то есть что в результате перемежения произвольных последовательностей $a$ и $b$ получается единственная последовательность $t$. Но это, как будто, ясно.

Кроме того, надо убедиться в том, что, во-первых, $f(a, b) = t$ это инъекция, то есть, что перемежения в двух разных парах последовательностей дают две разные последовательности, и что, во-вторых, $f(a, b) = t$ это сюръекция, то есть что любая последовательность расщепляется на две последовательности (иначе говоря, любая последовательность получается перемежением двух последовательностей). Но и это, как будто, тоже ясно.

Итак, $f(a, b) = t$ это биекция

(так что и произвольное $t$ отображается в единственную пару $a, b$, то есть в результате расщепления произвольной последовательности $t$ получается единственная пара последовательностей $a, b$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1562687 писал(а):

Пусть автоморфизм плоскости как группы по сложению сохраняет прямые $x = 0$ и $y = 0$. Верно ли, что он сохраняет и прямую $x = y$?

Обозначим группу $(\mathbb R^2, +)$ как $V,$ а ее подгруппу, представляющую собой прямую $x = y,$ как $V_{x=y}$. Кроме того, обозначим множество, на котором задана группа $V$ как $\mathsf{V}$, а его подмножество, на котором задана подгруппа $V_{x=y}$ как $\mathsf{V_{x=y}}.$

Определим отображение группы $V$ на себя для всех $(a, a)$ как $f((a, a))=(a, -a)$ (при этом прямая $x = y$ переходит в прямую $x = -y$), а для всех $(a, b)\colon a\ne b$ как $f((a, b))=(a, b).$

Проверим, является ли $f$ автоморфизмом. Сначала проверим, является ли $f$ биекцией.

На множестве $\mathsf{V}\setminus \mathsf{V_{x=y}}$ $f$ является тождественным отображением, а значит, биекцией.

При этом на прямой $x = y$, то есть на подмножестве $\mathsf{V_{x=y}}$ $f$ также является биекцией. В самом деле, при $a\ne b$ имеем $f(a, a)=(a, -a), \;\; f(b, b)=(b, -b) \to f(a, a)\ne f(b, b),$ то есть инъекцию, а также при произвольном $a$ имеем $(a, a)= f(a, -a),$ то есть сюръекцию.

Таким образом, на всем множестве $\mathsf V,$ а, значит, и на группе $V$ $f$ является биекцией.

Теперь проверим, является ли $f$ гомоморфизмом.

Так как отображение $f$ задано у меня не одной, а двумя формулами -- для $(a, a)$ и для $(a, b)\colon a\ne b,$ проверю его на гомоморфизм отдельно для суммы точек прямой $x=y$, отдельно для суммы остальных точек, и отдельно для суммы одной точки прямой $x=y$ и одной точки из остальных.

Итак, для точек прямой $x=y$.

$$f\big ((a, a)+(b, b)\big)=f\Big(\big ((a+b), (a+b)\big )\Big)=\big ((a+b), (-a-b)\big),$$

$$f\big ((a, a)\big)+f\big ((b, b)\big)=(a, -a)+(b, -b)=\big ((a+b), (-a -b)\big).$$

То есть

$$f\big ((a, a)+(b, b)\big)=f\big ((a, a)\big)+f\big ((b, b)\big).$$

Для остальных точек ($b\ne c, d\ne e$).

$$f\big ((b, c)+(d, e)\big)=f\Big(\big ((b+d), (c+e)\big )\Big)=\big ((b+d), (c+e)\big),$$

$$f\big ((b, c)\big)+f\big ((d, e)\big)=(b, c)+(d, e)=\big ((b+d), (c+e)\big).$$

То есть

$$f\big ((b, c)+(d, e)\big)=f\big ((b, c)\big)+f\big ((d, e)\big).$$

И наконец, для одной точки прямой $x=y$ и одной точки из остальных ($b\ne c$).

$$f\big ((a, a)+(b, c)\big)=f\Big(\big ((a+b), (a+c)\big )\Big)=\big ((a+b), (a+c)\big),$$

$$f\big ((a, a)\big)+f\big ((b, c)\big)=(a, -a)+(b, c)=\big ((a+b), (c-a)\big).$$

То есть

$$f\big ((a, a)+(b, c)\big)\ne f\big ((a, a)\big)+f\big ((b, c)\big).$$

Не получилось. Наверное, должен задаваться один гомоморфизм (автоморфизм) на всю группу, а не несколько гомоморфизмов (автоморфизмов) на несколько ее частей.

Как же его задать так, чтобы прямая $x=y$ отображалась в прямую $x=-y$, а все остальное оставалось на месте? Или это невозможно?

[mihaild]

Vladimir Pliassov, а по какому учебнику вы вообще знакомились с понятием векторного пространства?

Vladimir Pliassov в сообщении #1562820 писал(а):

$$f\big ((b, c)+(d, e)\big)=f\Big(\big ((b+d), (c+e)\big )\Big)=\big ((b+d), (c+e)\big),$$

Это, кстати, не обязано быть правдой. Из того что $b \neq c$ и $d \neq e$ не следует что $b + d \neq c + e$.

[svv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562820 писал(а):

Как же его задать так, чтобы прямая $x=y$ отображалась в прямую $x=-y$, а все остальное оставалось на месте?

«Автоморфизм сохраняет прямую $x=0$» — не значит, что каждая точка этой прямой переходит в себя.

[Vladimir Pliassov]

По Гельфанду.

mihaild в сообщении #1562821 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1562820 писал(а):

$$f\big ((b, c)+(d, e)\big)=f\Big(\big ((b+d), (c+e)\big )\Big)=\big ((b+d), (c+e)\big),$$

Это, кстати, не обязано быть правдой. Из того что $b \neq c$ и $d \neq e$ не следует что $b + d \neq c + e$.

Да, вижу, спасибо! То есть может быть и

$$f\big ((b, c)+(d, e)\big)=f\Big(\big ((b+d), (c+e)\big )\Big)=\big ((b+d), (c+e)\big),$$

и

$$f\big ((b, c)+(d, e)\big)=f\Big(\big ((b+d), (c+e)\big )\Big)=\big ((b+d), (-c-e)\big),$$

а

$$f\big ((b, c)\big)+f\big ((d, e)\big)=(b, c)+(d, e)=\big ((b+d), (c+e)\big)$$

может быть только таким, как есть. Так что и здесь проявляется то, что $f$ не есть гомоморфизм.

svv в сообщении #1562823 писал(а):

«Автоморфизм сохраняет прямую $x=0$» — не значит, что каждая точка этой прямой переходит в себя.

Спасибо, буду думать.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562820 писал(а):

При этом на прямой $x = y$, то есть на подмножестве $\mathsf{V_{x=y}}$ $f$ также является биекцией

Это я как-то пропустил. $f$ вообще не отображает $\mathsf{V_{x = y}}$ в себя.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562826 писал(а):

По Гельфанду

Подсказка: обратите внимание на его вторую главу.
Вообще, у меня впечатление, что определения вы более-менее знаете, а вот в применениях путаетесь. Это может быть связано с тем, что у Гельфанда мало задач, попробуйте еще взять учебник, в котором задач больше (или отдельно задачник).

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1562837 писал(а):

Это я как-то пропустил. $f$ вообще не отображает $\mathsf{V_{x = y}}$ в себя.

Да, точно! $f((a, a))=(a, -a),$ где $(a, -a)$ не является точкой прямой $x=y.$

mihaild в сообщении #1562837 писал(а):

а вот в применениях путаетесь. Это может быть связано с тем, что у Гельфанда мало задач, попробуйте еще взять учебник, в котором задач больше (или отдельно задачник).

Я сказал, что знакомился с векторным пространством по Гельфанду, но на самом деле не только по нему, еще по Курошу и по другим источникам, среди которых очень мощным для меня является помощь, которую я получаю на этом форуме (и за которую, как я уже много раз говорил, я очень благодарен). Здесь я убедился в том, что и раньше подозревал, -- что по одним учебникам трудно изучать математику, в этом деле очень помогают живые учителя. Кстати, здесь я получаю советы и о том, к каким учебникам (пособиям) обратиться, и по мере возможности стараюсь им следовать (буду благодарен, если порекомендуете мне задачник по векторным пространствам). Грешу я и тем, что часто обращаюсь к интернету, в частности, к Википедии, хотя меня за это ругают. Все-таки у интернета есть неоспоримое преимущество -- можно очень быстро найти информацию о том, что тебя интересует (хотя не всегда). Если же информация оказывается ложной, то это не фатально, можно все равно докопаться до истины (если успеешь -- это я о том, что жизнь конечна). Задают мне здесь и задачи, вот и теперь я их решаю.

Вообще-то, сейчас я прохожу Фихтенгольца (разбирая все примеры), а настоящая тема сама у меня назрела, так сказать, вне очереди.

[Vladimir Pliassov]

svv в сообщении #1562823 писал(а):

«Автоморфизм сохраняет прямую $x=0$» — не значит, что каждая точка этой прямой переходит в себя.

1.

Пусть $f((a, b))=(2a, b).$ Тогда $f$ -- биекция. В самом деле, $(a, b)\ne (c, d)\to f((a, b))=(2a, b)\ne f((c, d))=(2c, d)$ -- инъекция, для произвольной точки $(a, b)$ имеем $(a, b)=f((a/2, b))$ -- сюръекция.

Далее, $f$ это гомоморфизм. В самом деле,

$$f((a, b)+(c, d))=f((a+c, b+d))=\big (2(a+c), b+d\big ),$$ $$f((a, b))+f((c, d))=(2a, b)+(2c, d)=\big(2(a+c), b+d\big),$$

то есть $f((a, b)+(c, d))=f((a, b))+f((c, d)).$

Поскольку $f$ есть биекция и гомоморфизм, $f$ есть изоморфизм, а поскольку плоскость $(\mathbb R^2, +)$ отображается в себя, то $f$ есть автоморфизм.

При $f$ прямая $y=x$ отображается в прямую $y=x/2,$ прямая $y=0$ переходит в себя, но так, что каждая ее точка $a$ переходит в точку $2a,$ в прямой $x=0$ каждая точка переходит в себя.

Если бы я взял $f((a, b))=(a, 2b),$ то прямая $x=0$ переходила бы в себя, но так, что каждая ее точка $a$ переходила бы в точку $2a,$ а в прямой $y=0$ каждая точка переходила бы в себя.


2.

Пусть $f((a, b))=(2+a, b).$ Тогда $f$ -- биекция. В самом деле, $(a, b)\ne (c, d)\to f((a, b))=(2+a, b)\ne f((c, d))=(2+c, d),$ -- инъекция, для произвольной точки $(a, b)$ имеем $(a, b)=f((a-2, b))$ -- сюръекция.

Проверим $f$ на гомоморфизм.

$$f((a, b)+(c, d))=f((a+c, b+d))=(2+a+c, b+d),$$ $$ f((a, b))+f((c, d))=(2+a, b)+(2+c, d)=(4+a+c, b+d),$$

то есть $f((a, b)+(c, d))\ne f((a, b))+f((c, d)).$

Таким образом, $f$ не есть гомоморфизм, а потому не есть изоморфизм, и потому не есть автоморфизм.

На данном примере мы видим, что наличие биекции может не обеспечивать гомоморфизм, что подтверждает утверждение

mihaild в сообщении #1562734 писал(а):

фактически требования к гомоморфизму настолько сильнее, что брать случайную биекцию и надеяться что она окажется гомоморфизмом - плохая стратегия.

[svv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562873 писал(а):

Пусть $f((a, b))=(2a, b).$
...
$f$ есть автоморфизм.

Отлично. Значит, Вы поняли, на что намекала та фотография?
Ещё проще $(a,b)\mapsto(a,-b)$.

[Vladimir Pliassov]

svv в сообщении #1562915 писал(а):

Отлично.

Спасибо!

svv в сообщении #1562915 писал(а):

Значит, Вы поняли, на что намекала та фотография?

Честно говоря, нет. Но она, наверное, воздействовала на меня на подсознательном уровне .

А что мне помогло во всяком случае, так это другой Ваш намек:

svv в сообщении #1562823 писал(а):

«Автоморфизм сохраняет прямую $x=0$» — не значит, что каждая точка этой прямой переходит в себя.

Но у меня возник вопрос: а что значит, что прямая сохраняется? Если все ее точки будут налицо, но порядок между ними нарушится, это ведь не пойдет? Это первое. Второе: должно ли сохраняться ее направление? Я сейчас рассматривал Вашу фотографию, не очень хорошо видно, но, если имеется в виду, что меняется направление оси $y$, то сохраняется ли она как прямая?

Я исходил из того, что и порядок, и направление должны сохраняться. Если умножить каждую точку прямой на вещественное число, то так и будет. Правда, не хотелось привлекать умножение в задаче на аддитивную абелеву группу -- я ведь хочу посмотреть, насколько в векторном пространстве можно без него обойтись, -- но умножение на натуральное число, которое я использовал в условии $f((a, b))=(2a, b),$ можно рассматривать как многократное сложение, и я его взял. Можно было задать так: $f((a, b))=(a+a, b),$ -- верно? Тогда прямая $y=0$ сохранилась бы точно так же, то есть сохранилось бы направление, и при этом точки не отображались бы в себя. Кстати, и в Вашем условии (которое и правда проще): $(a,b)\mapsto(a,-b),$ -- на $-b$ можно смотреть не как на $b\cdot (-1),$ а как на элемент (вещественное число), противоположный $b$.

Если бы Вы могли намекнуть еще, как решить и эту задачу:

mihaild в сообщении #1562667 писал(а):

Подумайте, существует ли автоморфизм аддитивной группы $(\mathbb R^2, +)$, сохраняющий множества $x = 0$ и $y = 0$, но переводящий прямую $x = y$ во что-то, не являющееся прямой.

!

[svv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562921 писал(а):

Честно говоря, нет.

Это фотография преподавателя у доски, явно растянутая (мною) по горизонтали раза в два. Обратите внимание, что при этом нарисованные на доске декартовы оси $Ox$ (то есть $y=0$) и $Oy$ (то есть $x=0$) практически не пострадали, остались на месте. Но ясно, что прямая $y=x$, если бы преподаватель её нарисовал, уже не осталась бы на месте.
А растяжение вдвое по оси $x$ и описывается формулой $(x,y)\mapsto(2x,y)$.

[Vladimir Pliassov]

svv в сообщении #1562922 писал(а):

Это фотография преподавателя у доски, явно растянутая (мною) по горизонтали раза в два. Обратите внимание, что при этом нарисованные на доске декартовы оси $Ox$ (то есть $y=0$) и $Oy$ (то есть $x=0$) практически не пострадали, остались на месте. Но ясно, что прямая $y=x$, если бы преподаватель её нарисовал, уже не осталась бы на месте.
А растяжение вдвое по оси $x$ и описывается формулой $(x,y)\mapsto(2x,y)$.

А, вот оно что! Да, это превосходный намек, жаль, что у меня не хватило сообразительности.

Но как странно, что я выбрал именно условие $f((a, b))=(2a, b),$ хотя не понял намека! Тут должно быть что-то ...