Счётное подмножество вещественных чисел

[tolstopuz]

WaRLoC в сообщении #1555543 писал(а):

а год это издание по Москве? А то скачал учебник, на англостранице 64й, а по русски издание 76-го..

На русском языке издавался только перевод второго издания. 1976 год - это третье издание оригинала, я сделал его перевод, предлагаю пользоваться им:

topic94900.html

[WaRLoC]

tolstopuz в сообщении #1555554 писал(а):

предлагаю пользоваться им

Спасибо, воспользуюсь

[mihaild]

WaRLoC в сообщении #1555552 писал(а):

биекцию от сечений как бесконечных подмножеств ограниченных сверху (и т.д.) к бесконечным наборам нулей и единиц

Запишем рациональное число из $[0, 1)$ как двоичную дробь и каждой двоичной последовательности сопоставим сечение, состоящее из отрицательных рациональных чисел + рациональных чисел из $[0, 1)$, соответствующие которым дроби лексикографически меньше нашей последовательности. Получится почти биекция (портят ситуацию опять же последовательности, в которых, начиная с некоторой позиции, только единицы).

[WaRLoC]

mihaild в сообщении #1555570 писал(а):

Получится почти биекция (портят ситуацию опять же последовательности, в которых, начиная с некоторой позиции, только единицы)

Я так понимаю всем последовательностям в которых начиная с некоторой позиции только единицы или нули как раз рациональные числа и соответствуют, причем одно рациональное число паре какбы "соседних" позиций. Тогда исключить это подмножество последовательностей и рациональные числа, и тогда вот он строгий изоморфизм?

[mihaild]

WaRLoC в сообщении #1555619 писал(а):

Я так понимаю всем последовательностям в которых начиная с некоторой позиции только единицы или нули как раз рациональные числа и соответствуют, причем одно рациональное число паре какбы "соседних" позиций.

Чуть сложнее. Если мы например $1/2$ записываем как $0.100\ldots$, то последовательностям $1000\ldots$ и $0111\ldots$ будет сопоставлено одно и то же сечение, соответствующее $1/2$. Если же $1/2$ записать как $0.0111\ldots$, то последовательности $0111\ldots$ соответствует сечение, соответствующее $1/2$, а последовательности $1000\ldots$ вообще никакое сечение не соответствует, потому что во множестве рациональных чисел, запись которых лексикографически меньше этой последовательности, есть максимальный элемент.
Но да, если выкинуть такие последовательности и двоично-рациональные числа (не все рациональные), то на оставшемся будет биекция.

[WaRLoC]

mihaild в сообщении #1555621 писал(а):

потому что во множестве рациональных чисел, запись которых лексикографически меньше этой последовательности, есть максимальный элемент

Хм, так собственно все подмножества двоичных дробей которые соответствуют последовательностям в которых с некоторой позиции одни нули имеют максимальный элемент - тот который вроде как соседний и оканчивающийся на единицы....

[mihaild]

WaRLoC в сообщении #1555623 писал(а):

тот который вроде как соседний и оканчивающийся на единицы

Ну ничего особенного в $1/2$ тут нет, я конкретное число взял для простоты записи. Тут вопрос именно в том, как мы записываем двоично-рациональные числа - с единицами в конце или с нулями.

[WaRLoC]

mihaild в сообщении #1555625 писал(а):

Тут вопрос именно в том, как мы записываем двоично-рациональные числа - с единицами в конце или с нулями.

да я к тому, что по предложенному вами морфизму последовательности с нулями не порождают сечения, и это имхо пока для меня интересный факт, правда какого-то смысла не несущий =)

-- 27.05.2022, 14:22 --

И меня теперь еще один очередной вопрос озаботил - а существуют ли еще такие последовательности, которые по этому морфизму не порождают сечений?

[mihaild]

WaRLoC в сообщении #1555634 писал(а):

а существуют ли еще такие последовательности, которые по этому морфизму не порождают сечений?

Нет, и, я думаю, вы должны суметь это доказать, если подумаете. Просто проверьте все требования к сечению.

[WaRLoC]

Я так понял вы про определение рациональных сечений, для которых дополнение до множества всех подмножеств имеет наименьший элемент, собственно та самая двоичная последовательность с нулями. Я просто пока не уверен что этого достаточно что-бы утверждать что не существует других последовательностей не порождающих сечения...

-- 27.05.2022, 21:15 --

В принципе можно сделать утверждение что последовательности которые оканчиваются нулями это есть рациональное число, а последовательности с единицами - это рациональное сечение. И когда мы оперируем целыми числами, хоть и в виде дробей, таже 1/3, в итоге получаем целые числа. Если оперируем сечениями, то есть 0.(3), то и получаем сечения. Но так как между ними биекция, то получается масло масляное... :)

[mihaild]

WaRLoC в сообщении #1555660 писал(а):

для которых дополнение до множества всех подмножеств имеет наименьший элемент

До какого??

Я про такое утверждение: если записывать двоично-рациональные числа двоичной дробью с бесконечным числом единиц (а не нулей), а остальные - понятно как, и каждой двоичной последовательности сопоставим сечение, множество из отрицательных рациональных чисел + рациональных чисел из $[0, 1)$, соответствующие которым дроби лексикографически меньше нашей последовательности, то всем последовательностям, кроме оканчивающихся хвостом из нулей, будет сопоставлено сечение. Вы это доказать сможете?

WaRLoC в сообщении #1555660 писал(а):

В принципе можно сделать утверждение что последовательности которые оканчиваются нулями это есть рациональное число, а последовательности с единицами - это рациональное сечение

Можно, но не нужно. Не стоит смешивать объекты разных типов.

WaRLoC в сообщении #1555660 писал(а):

И когда мы оперируем целыми числами, хоть и в виде дробей, таже 1/3, в итоге получаем целые числа

Что это вообще значит?

[Droog_Andrey]

Да уже давно всё придумали :)
https://www.youtube.com/watch?v=C14p7dEOQSU
https://www.youtube.com/watch?v=Vd7zMZjRjkI
https://www.youtube.com/watch?v=VNMXkdh6uO4
https://www.youtube.com/watch?v=67LEbeBRiyI

[Pustovoi]

Хотелось бы вернуться к изначальной теме разговора. Если резюмировать первый пост, мы имеем, что все математические объекты, имеющие конечное описание, образуют счетное множество. И числа в том числе. В связи с этим возникает вопрос, а нельзя ли обойтись только такими "описуемыми" объектами? Не возникнет ли, например, в качестве значения некоторой функции какое-то "неописуемое" число?
В качестве возражения выступают два тезиса:
1. Нет четкого определения "описания".
2. Существуют логические рассуждения, приводящие к существованию "неописуемых" чисел.
Рассмотрим эти возражения. Итак,

1. "Описание" числа есть не что иное, как его определение. Обычно давать определения конкретным числам не имеет смысла, но это не означает, что таких определений нет. Вот примеры определений конкретных чисел, заключённые в кавычки:
"563",
"Положительное число, квадрат которого равен 2",
"Отношение длины окружности к её диаметру".
Думаю, ни у кого не вызывает сомнения, что приведенные тексты однозначно определяют числа. Однако если текст определения сложен для осмысления и воспринимается разными людьми по-разному, то возникает вопрос об однозначности. На самом деле никакой проблемы в этом нет. Возьмём любой текст. Определяет ли он однозначно некоторое число? На этот вопрос у каждого человека есть только 3 ответа - да, нет, не знаю. У разных людей ответы конечно же могут быть разными, но это не имеет отношения к однозначности. Допустим каждый человек будет создавать "словарь" чисел следующим образом. Упорядочит все тексты в лексикографическом порядке, сначала односимвольные, затем двух и т.д. И возле каждого текста сделает пометку - число, не число, не знаю. Уровень доверия к словарю от условно Иванова будет небольшим. Но представим себе, что над словарем работает на основе консенсуса абстрактное математическое сообщество, вооруженное неограниченными вычислительными возможностями. Тогда если кто-то не согласен с определением из такого словаря, то он конечно имеет на это право, но кому больше доверия - вопрос риторический. Это согласуется с тем, как развивается наука. Поставить под сомнение можно даже арифметику, все дело в консенсусе, в формировании общепринятой точки зрения. Таким образом, можно говорить об однозначности определений (описаний) чисел в рамках скажем, математической элиты.
Все эти рассуждения понадобились лишь для того, чтобы утверждать, что числа, которые имеют определение образуют счетное множество, так как все конечные тексты образуют счетное множество.

2. Теперь что касается чисел, которые не имеют определения, так сказать "неописуемых" чисел. Вот тут я использую простую идею, которую сколько не искал - не видел, чтобы кто-то применял. И которая все объясняет про несчетные множества и "неописуемые" числа.
Казалось бы, если мы используем некоторое число, то мы имеем его определение. Но это не совсем так. Например, мы говорим "Пусть x - число больше единицы". И представим себе, что это число генерирует абстрактный компьютер неограниченной мощности, последовательно выписывая случайные цифры после запятой. Очевидно, что на выходе имеем число, причем вычисляемое с любой точностью. Но однозначного определения оно не имеет. Однако можно говорить о бесконечном определении, то есть определение записывается бесконечным текстом, который является "распечаткой" этого числа.
Вывод такой, нет никаких "неописуемых", "волшебных" чисел. Есть только числа, имеющие конечное или бесконечное определение. Можно привести такое рассуждение - пусть существует число без определения. Но поскольку мы говорим, что это число, значит оно имеет десятичную запись, конечную или бесконечную (подход Вейерштрасса). Вот эта запись и будет определением, конечным или бесконечным. Заметим, что число может иметь и конечное и бесконечное определение, например Пи это и "отношение длины окружности к её диаметру" и "3,14159265... кавычки не закрываю, ибо. Главное, что существуют числа, не имеющие конечного определения. Они и дополняют наше счетное множество "нормальных" чисел до несчетного. И при этом вносят сумятицу в умы, так как работать с ними невозможно. Нельзя сказать "возьмём такое число", поскольку процесс "взятия" будет бесконечным и мы не сможем перейти к следующему шагу. Отсюда и "неописуемые" числа. Ну, это уже философия.

Всё вышесказанное касается не только чисел, но и других математических объектов. Например множеств. Скажем, если поручить компьютеру выписывать случайным образом число из первого десятка, затем из второго и т.д., то полученное бесконечное множество, например (5, 12, 22, 37, 49, ...) будет подмножеством множества натуральных чисел, причем имеющим бесконечное определение. Аналогично некоторые функции могут иметь бесконечное определение, когда к аргументу последовательно применяется бесконечное количество случайных операций. В общем, некоторые математические объекты могут иметь только бесконечное определение.

Что же произойдет, если полностью отказаться от таких объектов? Чтобы избежать досужих разговоров о том, что все придумано до нас, это конструктивизм, сюрреальные числа и т.д., поступим следующим образом. Возьмём учебник матанализа, допустим Зорича. И в самом его начале пропишем следующее: все математические объекты используемые в дальнейшем, должны иметь конечное определение (описание). А теперь посмотрим, как изменится содержание. Будем просматривать подряд весь материал, теорему за теоремой.

В следующем посту я покажу, как модифицируется теорема Кантора о несчетности множества действительных чисел и как при новых вводных сохранится непрерывность множества действительных чисел (теперь уже счётного!!!). А в остальном по сути ничего не изменится!

[Geen]

Pustovoi в сообщении #1560970 писал(а):

Думаю, ни у кого не вызывает сомнения, что приведенные тексты однозначно определяют числа.

Есть сомнения, и большие. Причём, по каждому из трёх пунктов.

[zykov]

Pustovoi
Ерунда какая-то.
Много для чего вполне хватало рациональных чисел (множество которых счётно).
Для каких-то специальных (алгебраических) целей хватало алгебраических чисел (тоже счётное множество).

А вот для пределов последовательностей из тех же рациональных чисел (если хочется, то можно и из алгебраических) уже не хватает никакого счётного множества. Отсюда естественным образом и возникают действительные числа (которых несчётное множество).
Та же бесконечная десятичная (или какая угодно - двоичная, шестнадцатиричная и т.д.) дробь - это и есть предел последовательности рациональных чисел.