Счётное подмножество вещественных чисел

[mihaild]

WaRLoC в сообщении #1555429 писал(а):

А в определении речь шла про рациональные числа

Перечитайте еще раз определение сечения. В нём вообще ничего не говорится о "задании по числу". Это дальше некоторым сечениям сопоставляются рациональные числа.

[WaRLoC]

mihaild в сообщении #1555430 писал(а):

Перечитайте еще раз определение сечения.

да, перечитал уже, недопонял сразу - прошу пощения за дурацкие вопросы))

[Someone]

WaRLoC в сообщении #1555426 писал(а):

Так то да, это накладки определения ординальных чисел. Там вполне определены ординалы типа алеф ноль +1 и т.д.

$\aleph_0$ — не ординал, а кардинал, и $\aleph_0+1=\aleph_0$. Ни ординалы, ни кардиналы никакого отношения к десятичным дробям не имеют.
Ординалы — это порядковые числа, а кардиналы — количественные. Соответственно, операции с ними определяются по-разному.

[WaRLoC]

Someone в сообщении #1555496 писал(а):

Ни ординалы, ни кардиналы никакого отношения к десятичным дробям не имеют.

Вот уже второй комментарий что десятичные дроби не имеют отношения к ординалам и кардиналам. И да, я в курсе чем кардинальный числа от ординальных отличаются, в области счетных множеств у них изоморфизм и только за пределами идут отличия. Не помню просто обозначения бесконечных ординалов, по моему омега или что-то такое но не суть. Я вел речь про ординалы, и бесконечные так как я писал определены. Дальше, разве нельзя определить дробь в позиционной системе счисления как упорядоченное бесконечное счетное множество? И тогда ординалы и кардиналы вполне применимы к такому описанию. Математика она для меня цельная как-то, а не по кускам...
Так же меня продолжают смущать дедекиндовы сечения как определение вещественных чисел в рамках определения отношений порядка. Пока не готов хоть как-то строго их определить. Размышляю пока про пределы, например предел $\lim\limits_{x\to\infty}^{}\dfrac{1}{x} = 0$ , и предел $\lim\limits_{x\to\infty}^{}\dfrac{1}{x^2} = 0$. С точки зрения сечений это тождественные точки. Но в математическом анализе для бесконечно малых заданных данными пределами определен порядок который не является тождеством...

[mihaild]

WaRLoC в сообщении #1555517 писал(а):

в области счетных множеств у них изоморфизм

И какой же кардинал ваш изоморфизм сопоставляет ординалу $\omega + 1$?

WaRLoC в сообщении #1555517 писал(а):

Дальше, разве нельзя определить дробь в позиционной системе счисления как упорядоченное бесконечное счетное множество?

Прямо так - точно нельзя, потому что упорядоченных счетных множеств больше, чем дробей (и вообще больше чем элементов какого-либо множества). А какое определение вы предлагаете?

(Оффтоп)

WaRLoC в сообщении #1555517 писал(а):

Математика она для меня цельная как-то, а не по кускам

Александр Иванов в Ода всякой всячине писал(а):

Все едино? Нет, не все едино:
Хорь не корь. Конец не середина.
Семга не сапог. Балет не драма.
Кобзев не Кобзон. Валет не дама.

Да, иногда объекты из разных областей оказываются неожиданно связаны. Но эту связь нужно четко формулировать и доказывать, а не махать руками "ну тут что-то похожее".
Вообще, прежде чем рассуждать о связи ординалов с вещественными числами, стоит сначала разобраться и с тем, и с другим. Это всё придумывалось величайшими умами человечества сотни лет, переизобрести в одиночку с нуля что-то подобное невозможно.

WaRLoC в сообщении #1555517 писал(а):

Так же меня продолжают смущать дедекиндовы сечения как определение вещественных чисел в рамках определения отношений порядка. Пока не готов хоть как-то строго их определить.

Тогда прочитайте у Рудина. В издании 1976 года порядок на сечениях он определяет на 12 странице, определение 1.9 (ну точнее в 1.9 он определяет некоторое отношение, а в теоремах 1.10 и 1.11 доказывает, что это отношение линейного порядка).

WaRLoC в сообщении #1555517 писал(а):

Размышляю пока про пределы

Пределы в 3 главе, здесь вперед забегать не следует.

WaRLoC в сообщении #1555517 писал(а):

в алгебре пределов

Не слышал про такую, где вы её увидели?

-- 26.05.2022, 10:46 --

WaRLoC в сообщении #1555517 писал(а):

Но в математическом анализе для бесконечно малых заданных данными пределами определен порядок который не является тождеством

Так бесконечно малая и её предел - разные объекты. Первое - функция, второе - число. От того что их путают, в частности, берет начало популярный миф "в матанализе можно делить на 0".

[Someone]

WaRLoC в сообщении #1555517 писал(а):

И да, я в курсе чем кардинальный числа от ординальных отличаются, в области счетных множеств у них изоморфизм

Нет. "Изоморфизм" наблюдается только для конечных ординалов и кардиналов.

[WaRLoC]

mihaild в сообщении #1555519 писал(а):

И какой же кардинал ваш изоморфизм сопоставляет ординалу $\omega + 1$?

Тут да, некорректно получилось, правильно в конечных множествах

mihaild в сообщении #1555519 писал(а):

потому что упорядоченных счетных множеств больше, чем дробей

Так я не утверждаю что есть изоморфизм между дробями и всеми упорядоченными счетными множествами

mihaild в сообщении #1555519 писал(а):

А какое определение вы предлагаете?

Не знаю будет ли это определение, или как представление: представим дробь как множество первый элемент которого это целая часть дроби, второй элемент это число на первой позиции после запятой (слева направа как принято записывать десятичные дроби), третий элемент - второе число после запятой, etc...
Я так понимаю оно вроде как то же самое что и все бесконечные комбинации нулей и единиц вид в профиль, или иными словами можно построить изоморфизм от них к любому представлению которое определил я. Хотя я так думаю это слишком простое представление что-бы его до этого уже не разжевали))

mihaild в сообщении #1555519 писал(а):

Не слышал про такую, где вы её увидели?

Ну это я из общего понятия алгебр собрал, есть пределы, у них своя алгебра - просто это понятие не используют т.к. оно входит в матанализ, а я не более чем воинствующий дилетант в матиматике, поэтому иногда в терминологии могу навертеть...

mihaild в сообщении #1555519 писал(а):

Так бесконечно малая и её предел - разные объекты. Первое - функция, второе - число.

Это мне вроде как понятно, поэтому и написал что не готов пока хоть как-то строго определить что мне не нравится... Кроме этого момента есть еще размышление что вещественные числа можно разделить на счетное бесконечное количество континуальных подмножеств, и тогда каждому рациональному числу сопоставляется континуальное количество иррациональных. Какую-то часть мы можем определить аналитически, но я сильно подозреваю что все иррациональные числа которые можно определить аналитически, точнее для которых аналитически можно определить отношения порядка с рациональными счетны, и тогда непонятно что за иррациональные числа которые не входят в это множество. Отсюда я и пришел к бесконечно малым, да, это не числа, они определены как сходимости к числам, но для них задан порядок, и льзя ли этот же порядок пользовать для задания отношений порядка вещественным числам которые не выстраиваются сечениями дедекинда? Правда это отношение порядка тоже аналитическое, и соответственно счетное. Единственно что как-бы само понятие аналитичности корректно определить, подозреваю что от этого тоже непонятности произрастают...

[mihaild]

WaRLoC в сообщении #1555532 писал(а):

как множество первый элемент которого это целая часть дроби, второй элемент это число на первой позиции после запятой

Элементы множества не пронумерованны. Если хочется их пронумеровать - то надо брать функцию из натуральных чисел в то, что нумеруем. И записав целую часть отдельно, без номера (потому что всё остальное будет цифрами, а она - нет) - получим ровно определение

mihaild в сообщении #1555428 писал(а):

Десятичная дробь - это пара (целая часть, функция $\mathbb N \to \{0, 1, \ldots, 9\})$.

WaRLoC в сообщении #1555532 писал(а):

Какую-то часть мы можем определить аналитически, но я сильно подозреваю что все иррациональные числа которые можно определить аналитически

Вот тут нужно уточнять, что значит "определить аналитически". Если задать конечной формулой в каком-то не более чем счетном алфавите - то да, их счетно, потому что формул счетно.

WaRLoC в сообщении #1555532 писал(а):

точнее для которых аналитически можно определить отношения порядка с рациональными

Опять же - что значит "аналитически определить отношение порядка"? Так-то любое вещественное число сравнимо с любым рациональным.

WaRLoC в сообщении #1555532 писал(а):

и тогда непонятно что за иррациональные числа которые не входят в это множество

Как только вы зададите сколь-нибудь конструктивный способ описания этого множества - диагональный метод предъявит число, в него не входящее.

WaRLoC в сообщении #1555532 писал(а):

да, это не числа, они определены как сходимости к числам

Нет, они определены не так. Бесконечно малая (по какой-то базе) - это всего лишь функция, имеющая по этой базе нулевой предел.

WaRLoC в сообщении #1555532 писал(а):

но для них задан порядок

Только он не линейный.

WaRLoC в сообщении #1555532 писал(а):

вещественным числам которые не выстраиваются сечениями дедекинда

Каким?!?!? По определению (одному из) вещественные числа - это и есть сечения Дедекинда, каждому вещественному числу соответствует ровно одно сечение, и наоборот.

[WaRLoC]

mihaild в сообщении #1555537 писал(а):

Вот тут нужно уточнять, что значит "определить аналитически". Если задать конечной формулой в каком-то не более чем счетном алфавите - то да, их счетно, потому что формул счетно.

Скорее всего интуитивно это и подразумевал. Чисто практически мы не можем оперировать бесконечными формулами если они не представимы (выводимы) в конечном виде. Поэтому какой-то практический смысл искать определение вещественных чисел которые непредставимы конечными формулами отсутствует.

mihaild в сообщении #1555537 писал(а):

По определению (одному из) вещественные числа - это и есть сечения Дедекинда, каждому вещественному числу соответствует ровно одно сечение, и наоборот.

ну не нравится мне оно , всё равно кажется что из этого определения можно выстроить биекцию между сечениями и рациональными числами... как - не знаю), если есть доказательство что сечений дедекинда из их определения несчетно, буду благодарен...

-- 26.05.2022, 12:44 --

Посерфил вики немного, знаю что тот еще источник, обнаружил гиперреальные (гипервещественные) числа, у них бесконечно малые как раз не функция а именно число, вроде как оно подходит к тому что у меня не складывалось. Но тут же понимаю что и эти числа если описываются конечными формулами счетны.... Похоже я для себя в достаточной степени прояснил представления чисел для утоления интереса)))

[mihaild]

WaRLoC в сообщении #1555538 писал(а):

Поэтому какой-то практический смысл искать определение вещественных чисел которые непредставимы конечными формулами отсутствует.

Вопрос в том, что под этим понимать.
Оказывается, что во многих случаях гораздо удобнее работать с континуальным множеством вещественных чисел, большая часть из которых никакой формулой не задается, чем пытаться ограничиться задаваемыми. Есть отдельный раздел - конструктивный анализ - работающий c конструктивными числами, но у него много своих странных особенностей, и ИМХО он существенно сложнее классического (конструктивность не слишком помогает в доказательствах, но её требование часто мешает).

WaRLoC в сообщении #1555538 писал(а):

если есть доказательство что сечений дедекинда из их определения несчетно, буду благодарен

У Рудина в издании 1976 года оно на странице 51, теорема 2.43. Там не непосредственно из сечений, а сначала доказываются некоторые важные свойства, а потом уже из этих свойств выводится несчетность.

WaRLoC в сообщении #1555538 писал(а):

Посерфил вики немного

Зря. Такие вещи лучше изучать по какому-то систематизированному изложению, лучше - по одному конкретному учебнику. И уж точно не по вики, где каша и иногда просто вранье.

WaRLoC в сообщении #1555538 писал(а):

обнаружил гиперреальные (гипервещественные) числа, у них бесконечно малые как раз не функция а именно число

Там всё сложнее. И разобраться с этим, не разобравшись с обычными вещественными числами, вряд ли получится.

[WaRLoC]

mihaild в сообщении #1555541 писал(а):

У Рудина в издании 1976 года

а год это издание по Москве? А то скачал учебник, на англостранице 64й, а по русски издание 76-го..

mihaild в сообщении #1555541 писал(а):

Такие вещи лучше изучать по какому-то систематизированному изложению, лучше - по одному конкретному учебнику.

С этим совершенно согласен. Просто сейчас я общаюсь по теме не потому что мне нужно, а из досужего интереса, поэтому тяп ляп получается...

[Someone]

WaRLoC в сообщении #1555538 писал(а):

обнаружил гиперреальные (гипервещественные) числа, у них бесконечно малые как раз не функция а именно число

Собственно говоря, Лейбниц — один из основателей математического анализа — как раз и начинал построение с введения бесконечно малых величин, с которыми пытался работать как с числами. Однако оказалось, что эту идею трудно осуществить непротиворечивым образом, и эта проблема долго висела над математическим анализом. Первоначальная идея с бесконечно малыми и бесконечно большими числами была непротиворечиво реализована только в 60-е годы XX века, когда был разработан так называемый нестандартный математический анализ. Однако это действительно сложно. Гораздо сложнее теории пределов.

[WaRLoC]

Someone в сообщении #1555545 писал(а):

нестандартный математический анализ

Это оно называется инфинитизимальным (или блин как-то так ) анализом? Тоже знакомился, но не зацепило.
У меня тут еще вопрос возник - можно ли представить, или, точнее, построить биекцию от вещественных чисел (сечений) к множеству всех подмножеств рациональных чисел которые ограничены сверху и если рациональное число меньше верхней границы то оно принадлежит такому множеству? Эти подмножества бесконечны, и получается бесконечное множество бесконечных счетных подмножеств...

[mihaild]

WaRLoC в сообщении #1555548 писал(а):

инфинитизимальным

Инфинитезимальный. Нет, это еще более сложная штука, в нём даже правила рассуждения другие.

WaRLoC в сообщении #1555548 писал(а):

можно ли представить, или, точнее, построить биекцию от вещественных чисел (сечений) к множеству всех подмножеств рациональных чисел которые ограничены сверху и если рациональное число меньше верхней границы то оно принадлежит такому множеству

Можно. Если еще потребовать, чтобы множество не содержало максимального элемента и было непустым, то это получатся в точности сечения:) Если не требовать - то получатся сечения + рациональные числа + две бесконечности, что всё равно равномощно вещественным числам.
Только нужно как-то аккуратнее сказать про "верхнюю границу". Например как у Рудина - сказать, что если какое-то число принадлежит нашему множеству, то и все меньшие тоже.

WaRLoC в сообщении #1555548 писал(а):

и получается бесконечное счетное множество бесконечных счетных подмножеств

Нет, не счетное.

[WaRLoC]

mihaild в сообщении #1555550 писал(а):

Только нужно как-то аккуратнее сказать про "верхнюю границу".

Я это пытался сделать, получилось как получилось, но, думаю, понятно что это мне понятно :).

mihaild в сообщении #1555550 писал(а):

Нет, не счетное.

Это я тоже успел понять и исправить чуть раньше Вашего замечания :).

Пока не касаясь упомянутой теоремы 2.43 пытаюсь в уме выстроить биекцию от сечений как бесконечных подмножеств ограниченных сверху (и т.д.) к бесконечным наборам нулей и единиц. Мне оно как-то нагляднее будет для доказательства несчетности))