Триэль: какова вероятность выигрыша каждого участника?

[Pphantom]

Александрович в сообщении #1554644 писал(а):

А это разве не "вшито" изначально в вероятности поражения цели?

Нет.

melnikoff в сообщении #1554655 писал(а):

я решал задачу, предполагая, что намеренно промахиваться запрещено.

А теперь решите ее в предположении, что самый первый выстрел $A$ намеренно сделал в воздух, и только во второй (и далее) раз стрелял в самого опасного противника.

[Shadow]

melnikoff в сообщении #1554655 писал(а):

я решал задачу, предполагая, что намеренно промахиваться запрещено. Стрелять себе в висок – тоже.

Если стрелок А будет стрелять на поражение, это все равно стрелять себе в висок.

[Otta]

melnikoff в сообщении #1554625 писал(а):

Возникает вопрос, как решать данную задачу, если точность $C$ ниже 1

Посмотрите тут. https://cyberleninka.ru/article/n/imita ... tryoh-lits
Задача довольно старая, с тех пор ее как только ни модифицировали.
По ссылке выше - решение с помощью цепей Маркова, которые напрашиваются сами. Но там несколько другие правила игры, на это придется сделать поправку.

[TOTAL]

(Оффтоп)

$A$ поражает цель с вероятностью $0.5$.
Если $A$ целится в воздух, то попадает в воздух с вероятностью $0.5$. Поэтому с вероятностью $0.5$ он попадает в какого-то противника, либо в землю, либо в дерево. Но в кого с какой вероятностью? Задача сильно недоопределена.

[Shadow]

melnikoff в сообщении #1554625 писал(а):

Возникает вопрос, как решать данную задачу, если точность $C$ ниже 1

Для $0 \le p < q< r \le 1$ и без хитростей, решение для $P(A)$ выглядит как-то так. Начиная с уравнением

$\\P(ABC)=p\cdot P(BA)+(1-p)q \cdot P(AB)+\\+(1-p)(1-q)r\cdot P(AC)+(1-p)(1-q)(1-r)\cdot P(ABC)$

[Евгений Машеров]

Ну вот в данной задаче "очевидно"$\ne$"правильно".
Я эту задачу видел в такой формулировке: на заштилевшем пиратском фрегате из-за нехватки дела и избытка рома пошли ссоры. Кто был зачинщиком или оскорбителем в ссоре артиллериста (A), боцмана (B) и капитана (C), так и осталось неясным. Поэтому выбранная коллективным секундантом команда решила, что стреляться будут все трое, а поскольку команда истосковалась по культурным развлечениям, то право стрелять последним отдали капитану, который стреляет без промаха (за что его и избрали), перед ним боцман (стрелял недурно, но годы и страсть к рому... Вероятность попадания 0.8), а первый артиллерист, более привычный к карронаде, чем к пистолету (вероятность 0.5). Капитан в ожидании поединка грозно крутит усы, боцман пишет завещание, а артиллерист заперся в небольшой, но хорошо подобранной судовой библиотеке и лихорадочно листает Гмурмана, Гнеденко и Вентцель. Ставки принимаются - на кого ставить будете?
Вопрос об умышленном промахе в реальной дуэли сложен, стрелять так позволено лишь выдержавшему выстрел по себе, но это относится к демонстративному промаху (в небо и т.п.), а направить в сторону противника, но чуть отклонить никто не мешает. И возможность такого промаха делает задачу не вполне тривиальной и наводит на мысли за пределами теорвера и дуэльного кодекса.
А "равновесие по Нэшу", боюсь, не сюда...

[ozheredov]

Евгений Машеров

Начнем с конца: капитан видимо будет пытаться нейтрализовать боцмана, как более опасного, чем артиллерист, и сделает он это на 100%. Так что боцману нельзя доводить до выстрела капитана. Поэтому стрелять боцман будет в капитана. Вот вопрос: пытаться ли артиллеристу нейтрализовать капитана, чтоб повысить шансы боцмана? Вроде бы нет, потому как если капитан мертв, то боцман будет целить в артиллериста. Т.е. первый выстрел в молоко. Положим, далее боцман убивает капитана - и теперь ход артиллериста, который изо всех сил пытается попасть. При другой тактике вероятность А выжить, по-видимому, меньше. Верно?

[mihaild]

Нужно как-то уточнять, иначе дуэль может никогда не кончиться. Например если все трое попадают гарантированно (или почти гарантированно), то каждому выгодно стрелять в воздух (первый кто застрелит кого-то другого почти наверняка проигрывает).

[ozheredov]

mihaild
В библиотеке-то сидел один артиллерист, следовательно остальным двум в голову не придёт умничать - только на поражение!

mihaild в сообщении #1554698 писал(а):

(первый кто застрелит кого-то другого почти наверняка проигрывает)

Почему? Оставшиеся двое могут преспокойно дальше стрелять в воздух, разве нет?

А не, я понял - очередь ходить за оставшимся, он и застрелит

[Geen]

mihaild в сообщении #1554698 писал(а):

Нужно как-то уточнять, иначе дуэль может никогда не кончиться.

Ну, например, если все в каком-то раунде промазали, то судьи грохают по жребию одного участника, а для оставшихся делают жеребьёвку очерёдности...

mihaild в сообщении #1554698 писал(а):

Например если все трое попадают гарантированно

Возможно я ошибаюсь, но формально сложности есть уже с двумя при любых вероятностях попадания... (ошибаюсь)

[Евгений Машеров]

ozheredov в сообщении #1554695 писал(а):

Евгений Машеров

Начнем с конца: капитан видимо будет пытаться нейтрализовать боцмана, как более опасного, чем артиллерист, и сделает он это на 100%. Так что боцману нельзя доводить до выстрела капитана. Поэтому стрелять боцман будет в капитана. Вот вопрос: пытаться ли артиллеристу нейтрализовать капитана, чтоб повысить шансы боцмана? Вроде бы нет, потому как если капитан мертв, то боцман будет целить в артиллериста. Т.е. первый выстрел в молоко. Положим, далее боцман убивает капитана - и теперь ход артиллериста, который изо всех сил пытается попасть. При другой тактике вероятность А выжить, по-видимому, меньше. Верно?

Ну да. Стрелять надо в воздух (если правилами не допускается - просто целить чуть в сторону). В случае перехода выстрела боцману он стреляет в капитана. И выстрел за артиллеристом. Если боцман (с вероятностью 80%) убивает капитана - то артиллерист выигрывает с вероятностью $P=0.5+0.5\cdot 0.2\cdot 0.5+\cdots=0.555\cdots$, если с вероятностью 20% промахивается, то капитан убивает боцмана и артиллерист ещё имеет 50% шанс выиграть.
В общем, кто успел добраться до библиотеки прежде чем там заперся артиллерист, ставит на него.

[TOTAL]

Модификация 1. После выстрела сразу никто не видит, поражена ли цель. Только когда доходит очередь до того, кого поразили, остальные узнают, что выстрела он не производит, т.е. поражён.

Модификация 2. Более того, никто даже не знает, в кого стрелял очередник.

Модификация 3. Более того, никто даже не знает, чья очередь стрелять.

[mihaild]

Geen в сообщении #1554701 писал(а):

Ну, например, если все в каком-то раунде промазали, то судьи грохают по жребию одного участника, а для оставшихся делают жеребьёвку очерёдности...

Тогда например в исходной формулировке капитану, если перед ним боцман и артеллирист промазали, выгодно стрелять в воздух.

(Оффтоп)

Модификация 4. Более того, никто даже не знает, кто из чего стреляет - из рогатки, пулемета или карманного миномета.

[Geen]

mihaild в сообщении #1554710 писал(а):

Тогда например в исходной формулировке капитану

Недоформулировал - имелось ввиду оговоренное количество раундов. Например, у них 6-ти зарядные револьверы.

[Geen]

mihaild в сообщении #1554710 писал(а):

Тогда например в исходной формулировке капитану, если перед ним боцман и артеллирист промазали, выгодно стрелять в воздух.

Кстати, у меня так не получается - если он стреляет в боцмана, то выживает с вероятностью 0.5, а если в воздух, то только 0.45.
Но это и не важно - количество раундов будет конечно в любом случае.