Триэль: какова вероятность выигрыша каждого участника?

[melnikoff]

$A$, $B$ и $C$ участвуют в тpеугольной дуэли на пистолетах. $A$ поражает цель с вероятностью 0,5. $B$ – с вероятностью 0,8, а $C$ – с вероятностью 1. Все вероятности известны всем, а участники рациональны и стремятся выиграть. Они стpеляют по своим выбpанным целям по очеpеди (очередь такая: $ABCABC...$) до тех поp, пока не останется только один человек.
Какова вероятность выигрыша каждого участника?

Решение:
Очевидно, что пока все живы $A$ и $B$ будут стрелять в $C$, а $C$ – в $B$.
$P(\text{.

$P(\text{.

$P(\text{.

Проверка условия нормировки:
$\frac{59}{180}+\frac{28}{45} + \frac{1}{20} = 1$.

Возникает вопрос, как решать данную задачу, если точность $C$ ниже 1 и/или играющих больше? Кол-во разветвлений "попал - не попал" для формулы полной вероятностей растёт экспоненциально с числом играющих. Может имеется какой-то другой более простой алгоритм?

[Pphantom]

melnikoff в сообщении #1554625 писал(а):

Очевидно, что пока все живы $A$ и $B$ будут стрелять в $C$, а $C$ – в $B$.

Вы уверены, что это очевидно?

[melnikoff]

Pphantom, вроде как да.
Если А и B промахнутся, то будет стрелять C, который точно убьёт либо A, либо B. Очевидно, что C лучше стрелять в B. Зная это, B будет стрелять в C.
A же будет стрелять в C, так как для A важно остаться с более слабым противником.

[Pphantom]

melnikoff в сообщении #1554628 писал(а):

вроде как да.

Не совсем. Вы не учитываете, что стрелки могут не только случайно промахиваться, но и намеренно стрелять мимо - и в некоторых случаях это повышает их шансы на победу.

[Gagarin1968]

Pphantom в сообщении #1554629 писал(а):

Вы не учитываете, что стрелки могут не только случайно промахиваться, но и намеренно стрелять мимо

Pphantom
Очевидно, условие задачи в данной ТС формулировке исключает такую возможность:

melnikoff в сообщении #1554625 писал(а):

Они стpеляют по своим выбpанным целям

Намеренный промах означает, что участник не стрелял по выбранной цели и, стало быть, нарушил условия дуэли триэли задачи.

[Pphantom]

Gagarin1968 в сообщении #1554630 писал(а):

Намеренный промах означает, что участник не стрелял по выбранной цели и, стало быть, нарушил условия дуэли триэли задачи.

В условии нигде не оговаривается, что список целей сводится к трем триэлянтам. Зато явно говорится, что

melnikoff в сообщении #1554625 писал(а):

участники рациональны и стремятся выиграть

[Александрович]

Pphantom в сообщении #1554631 писал(а):

В условии нигде не оговаривается, что список целей сводится к трем триэлянтам.

А как иначе?

[Sender]

Александрович в сообщении #1554632 писал(а):

А как иначе?

Ещё есть цель "воздух". Правда, остаётся открытым вопрос, что происходит при промахе.

Gagarin1968 в сообщении #1554630 писал(а):

Намеренный промах означает, что участник не стрелял по выбранной цели и, стало быть, нарушил условия дуэли триэли задачи.

А какие ваши доказательства?(c) Зато отсутствие намеренного промаха в определённой ситуации противоречит рациональности участников. Таким образом, перед нами встаёт выбор: признать задачу заведомо неразрешимой или посмотреть сквозь пальцы на мелкое жульничество участников.

[Gagarin1968]

melnikoff в сообщении #1554625 писал(а):

Они стpеляют по своим выбpанным целям по очеpеди

Pphantom в сообщении #1554629 писал(а):

стрелки могут не только случайно промахиваться, но и намеренно стрелять мимо

Gagarin1968 в сообщении #1554630 писал(а):

Намеренный промах означает, что участник не стрелял по выбранной цели и, стало быть, нарушил условия задачи

Pphantom в сообщении #1554631 писал(а):

В условии нигде не оговаривается, что список целей сводится к трем триэлянтам

Александрович в сообщении #1554632 писал(а):

А как иначе?

Sender в сообщении #1554635 писал(а):

Ещё есть цель "воздух"

melnikoff
В таком случае прошу Вас уточнить формулировку, то бишь огласить весь список доступных целей.

[Александрович]

Pphantom в сообщении #1554629 писал(а):

что стрелки могут не только случайно промахиваться, но и намеренно стрелять мимо - и в некоторых случаях это повышает их шансы на победу.

А это разве не "вшито" изначально в вероятности поражения цели?

-- Вс май 15, 2022 12:53:00 --

Самая лучшая на мой взгляд стратегия - попытаться уничтожить наиболее опасного противника. То есть А стреляет в С, В стреляет в С, С стреляет в В, А стреляет в С.

[Gagarin1968]

Александрович в сообщении #1554644 писал(а):

А это разве не "вшито" изначально в вероятности поражения цели?

Именно поэтому я и попросил топикстартера уточнить формулировку.

[melnikoff]

Gagarin1968, я решал задачу, предполагая, что намеренно промахиваться запрещено. Стрелять себе в висок – тоже.

[Gagarin1968]

melnikoff в сообщении #1554655 писал(а):

я решал задачу, предполагая, что намеренно промахиваться запрещено

Именно так я и интерпретировал условие Вашей задачи.

[Sender]

melnikoff в сообщении #1554655 писал(а):

Стрелять себе в висок – тоже.

Такая стратегия противоречила бы рациональности участников.

[B@R5uk]

Вот жеж вы докапались до этого воздушного кватроэлянта. Вне зависимости от того, можно ли стрелять в воздух или нет, задача весьма нетривиальна, и тут нужно искать равновесие Нэша. Во всяком случае, пока все три противника живы.

В любом случае, начать надо с того, что рассмотреть все возможные пары противников (AB и BA — две разные пары) и посчитать вероятности исхода дуэли в каждой паре. Очевидно же, что в дуэли уж точно надо стрелять на поражение.