2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Триэль: какова вероятность выигрыша каждого участника?
Сообщение15.05.2022, 01:17 
$A$, $B$ и $C$ участвуют в тpеугольной дуэли на пистолетах. $A$ поражает цель с вероятностью 0,5. $B$ – с вероятностью 0,8, а $C$ – с вероятностью 1. Все вероятности известны всем, а участники рациональны и стремятся выиграть. Они стpеляют по своим выбpанным целям по очеpеди (очередь такая: $ABCABC...$) до тех поp, пока не останется только один человек.
Какова вероятность выигрыша каждого участника?

Решение:
Очевидно, что пока все живы $A$ и $B$ будут стрелять в $C$, а $C$ – в $B$.
$P(\text{.

$P(\text{.

$P(\text{.

Проверка условия нормировки:
$\frac{59}{180}+\frac{28}{45} + \frac{1}{20} = 1$.

Возникает вопрос, как решать данную задачу, если точность $C$ ниже 1 и/или играющих больше? Кол-во разветвлений "попал - не попал" для формулы полной вероятностей растёт экспоненциально с числом играющих. Может имеется какой-то другой более простой алгоритм?

 
 
 
 Re: Триэль: какова вероятность выигрыша каждого участника?
Сообщение15.05.2022, 01:31 
melnikoff в сообщении #1554625 писал(а):
Очевидно, что пока все живы $A$ и $B$ будут стрелять в $C$, а $C$ – в $B$.
Вы уверены, что это очевидно?

 
 
 
 Re: Триэль: какова вероятность выигрыша каждого участника?
Сообщение15.05.2022, 01:51 
Pphantom, вроде как да.
Если А и B промахнутся, то будет стрелять C, который точно убьёт либо A, либо B. Очевидно, что C лучше стрелять в B. Зная это, B будет стрелять в C.
A же будет стрелять в C, так как для A важно остаться с более слабым противником.

 
 
 
 Re: Триэль: какова вероятность выигрыша каждого участника?
Сообщение15.05.2022, 02:14 
melnikoff в сообщении #1554628 писал(а):
вроде как да.
Не совсем. Вы не учитываете, что стрелки могут не только случайно промахиваться, но и намеренно стрелять мимо - и в некоторых случаях это повышает их шансы на победу.

 
 
 
 Re: Триэль: какова вероятность выигрыша каждого участника?
Сообщение15.05.2022, 02:57 
Аватара пользователя
Pphantom в сообщении #1554629 писал(а):
Вы не учитываете, что стрелки могут не только случайно промахиваться, но и намеренно стрелять мимо
Pphantom
Очевидно, условие задачи в данной ТС формулировке исключает такую возможность:
melnikoff в сообщении #1554625 писал(а):
Они стpеляют по своим выбpанным целям
Намеренный промах означает, что участник не стрелял по выбранной цели и, стало быть, нарушил условия дуэли триэли задачи.

 
 
 
 Re: Триэль: какова вероятность выигрыша каждого участника?
Сообщение15.05.2022, 03:50 
Gagarin1968 в сообщении #1554630 писал(а):
Намеренный промах означает, что участник не стрелял по выбранной цели и, стало быть, нарушил условия дуэли триэли задачи.
В условии нигде не оговаривается, что список целей сводится к трем триэлянтам. Зато явно говорится, что
melnikoff в сообщении #1554625 писал(а):
участники рациональны и стремятся выиграть

 
 
 
 Re: Триэль: какова вероятность выигрыша каждого участника?
Сообщение15.05.2022, 04:39 
Аватара пользователя
Pphantom в сообщении #1554631 писал(а):
В условии нигде не оговаривается, что список целей сводится к трем триэлянтам.
А как иначе?

 
 
 
 Re: Триэль: какова вероятность выигрыша каждого участника?
Сообщение15.05.2022, 06:57 
Александрович в сообщении #1554632 писал(а):
А как иначе?

Ещё есть цель "воздух". Правда, остаётся открытым вопрос, что происходит при промахе. :lol:
Gagarin1968 в сообщении #1554630 писал(а):
Намеренный промах означает, что участник не стрелял по выбранной цели и, стало быть, нарушил условия дуэли триэли задачи.

А какие ваши доказательства?(c) Зато отсутствие намеренного промаха в определённой ситуации противоречит рациональности участников. Таким образом, перед нами встаёт выбор: признать задачу заведомо неразрешимой или посмотреть сквозь пальцы на мелкое жульничество участников.

 
 
 
 Re: Триэль: какова вероятность выигрыша каждого участника?
Сообщение15.05.2022, 08:07 
Аватара пользователя
melnikoff в сообщении #1554625 писал(а):
Они стpеляют по своим выбpанным целям по очеpеди
Pphantom в сообщении #1554629 писал(а):
стрелки могут не только случайно промахиваться, но и намеренно стрелять мимо
Gagarin1968 в сообщении #1554630 писал(а):
Намеренный промах означает, что участник не стрелял по выбранной цели и, стало быть, нарушил условия задачи
Pphantom в сообщении #1554631 писал(а):
В условии нигде не оговаривается, что список целей сводится к трем триэлянтам
Александрович в сообщении #1554632 писал(а):
А как иначе?
Sender в сообщении #1554635 писал(а):
Ещё есть цель "воздух"
melnikoff
В таком случае прошу Вас уточнить формулировку, то бишь огласить весь список доступных целей.

 
 
 
 Re: Триэль: какова вероятность выигрыша каждого участника?
Сообщение15.05.2022, 08:48 
Аватара пользователя
Pphantom в сообщении #1554629 писал(а):
что стрелки могут не только случайно промахиваться, но и намеренно стрелять мимо - и в некоторых случаях это повышает их шансы на победу.
А это разве не "вшито" изначально в вероятности поражения цели?

-- Вс май 15, 2022 12:53:00 --

Самая лучшая на мой взгляд стратегия - попытаться уничтожить наиболее опасного противника. То есть А стреляет в С, В стреляет в С, С стреляет в В, А стреляет в С.

 
 
 
 Re: Триэль: какова вероятность выигрыша каждого участника?
Сообщение15.05.2022, 08:55 
Аватара пользователя
Александрович в сообщении #1554644 писал(а):
А это разве не "вшито" изначально в вероятности поражения цели?
Именно поэтому я и попросил топикстартера уточнить формулировку.

 
 
 
 Re: Триэль: какова вероятность выигрыша каждого участника?
Сообщение15.05.2022, 10:05 
Gagarin1968, я решал задачу, предполагая, что намеренно промахиваться запрещено. Стрелять себе в висок – тоже.

 
 
 
 Re: Триэль: какова вероятность выигрыша каждого участника?
Сообщение15.05.2022, 10:34 
Аватара пользователя
melnikoff в сообщении #1554655 писал(а):
я решал задачу, предполагая, что намеренно промахиваться запрещено
Именно так я и интерпретировал условие Вашей задачи.

 
 
 
 Re: Триэль: какова вероятность выигрыша каждого участника?
Сообщение15.05.2022, 11:37 
melnikoff в сообщении #1554655 писал(а):
Стрелять себе в висок – тоже.

Такая стратегия противоречила бы рациональности участников.

 
 
 
 Re: Триэль: какова вероятность выигрыша каждого участника?
Сообщение15.05.2022, 12:44 
Аватара пользователя
Вот жеж вы докапались до этого воздушного кватроэлянта. Вне зависимости от того, можно ли стрелять в воздух или нет, задача весьма нетривиальна, и тут нужно искать равновесие Нэша. Во всяком случае, пока все три противника живы.

В любом случае, начать надо с того, что рассмотреть все возможные пары противников (AB и BA — две разные пары) и посчитать вероятности исхода дуэли в каждой паре. Очевидно же, что в дуэли уж точно надо стрелять на поражение.

 
 
 [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group