Кострикин. Курс алгебры, задачник

[xagiwo]

Я понимаю так: существует замена переменных $\vec{y} = U\vec{x}$ такая, что... и далее по тексту

[Sinoid]

xagiwo но простую-то, первую, эквивалентность систем куда деть?? Ведь это по определению совпадение решений.

[xagiwo]

Здесь эквивалентность подразумевается в смысле "после обратной замены $(y_1, ..., y_n) \to (x_1, ..., x_n)$ множества решений совпадут"
Вы никогда не использовали замены переменных при решении уравнений? Если Вы хотите решить уравнение $f(v(x)) = 0$, а для этого делаете замену $t = v(x)$ и переходите к $f(t) = 0$, разве нельзя второе уравнение назвать эквивалентным первому?

-- 07.02.2022, 03:34 --

Можно ещё так (наверное, так даже правильней):
Эквивалентны системы (на $2n$ переменных каждая) $\left\{ \begin{array}{rcl} f_1(x_1,...,x_n)=b_1\\ f_2(x_1,...,x_n)=b_2\\ ... \\ f_n(x_1,...,x_n)=b_n\\ \vec{y}=U\vec{x} \end{array} \right.$ и $\left\{ \begin{array}{rcl} d_1y_1=c_1\\ d_2y_2=c_2\\ ... \\ d_ny_n=c_n\\ \vec{y}=U\vec{x} \end{array} \right.$
Или можно убрать последние строчки и написать, что системы (всё ещё на $2n$ переменных, хотя некоторые из них "не видно") эквивалентны при предположении $\vec{y}=U\vec{x}$, что то же самое

[Sinoid]

xagiwo в сообщении #1548164 писал(а):

Вы никогда не использовали замены переменных при решении уравнений?

Конечно, сталкивался: это один из самых распространенных и востребованных методов математики в целом вообще, но

xagiwo в сообщении #1548164 писал(а):

разве нельзя второе уравнение назвать эквивалентным первому?

Нет: равносильными называются

Цитата:

уравнения, имеющие одно и то же множество корней (решений).

Взято, к примеру, отсюда
$t$ и $x$ же вот здесь:

xagiwo в сообщении #1548164 писал(а):

$t = v(x)$

не обязаны совпадать. То, что вы предлагаете - это некое расширение понятия равносильности уравнения. Я не спорю, может, в каком-то частном обсуждении такой обновленный смысл понятия равносильности уравнений и может быть полезен, например, тем, что он избавит от необходимости по 100 раз повторять одни и те же слова, но этот смысл не является общепринятым в математике: так можно договориться до эквивалентности, я, конечно, не скажу всех, но большинства это точно, уравнений друг другу.

Определение по ссылке, конечно, не является определением из учебника, но оно совпадает с определениями эквивалентности уравнений, виденными мной в учебниках.

[xagiwo]

Sinoid я уже написал, как можно поступить. Соединить наборы переменных $(x_1,...,x_n)$ и $(y_1,...,y_n)$ в один набор из $2n$ переменных и объявить, что иксы и игреки связаны соотношением $\vec{y} = U\vec{x}$. Тогда подразумеваемое понятие эквивалентности совпадает с обычным.

[Sinoid]

xagiwo в сообщении #1548212 писал(а):

Sinoid я уже написал, как можно поступить. Соединить наборы переменных $(x_1,...,x_n)$ и $(y_1,...,y_n)$ в один набор из $2n$ переменных и объявить, что иксы и игреки связаны соотношением $\vec{y} = U\vec{x}$. Тогда подразумеваемое понятие эквивалентности совпадает с обычным.

xagiwo в сообщении #1548164 писал(а):

Можно ещё так (наверное, так даже правильней):
Эквивалентны системы (на $2n$ переменных каждая) $\left\{ \begin{array}{rcl} f_1(x_1,...,x_n)=b_1\\ f_2(x_1,...,x_n)=b_2\\ ... \\ f_n(x_1,...,x_n)=b_n\\ \vec{y}=U\vec{x} \end{array} \right.$ и $\left\{ \begin{array}{rcl} d_1y_1=c_1\\ d_2y_2=c_2\\ ... \\ d_ny_n=c_n\\ \vec{y}=U\vec{x} \end{array} \right.$
Или можно убрать последние строчки и написать, что системы (всё ещё на $2n$ переменных, хотя некоторые из них "не видно") эквивалентны при предположении $\vec{y}=U\vec{x}$, что то же самое

А. главным образом, все-таки, вот это:

xagiwo в сообщении #1548212 писал(а):

Sinoid я уже написал, как можно поступить. Соединить наборы переменных $(x_1,...,x_n)$ и $(y_1,...,y_n)$ в один набор из $2n$ переменных и объявить, что иксы и игреки связаны соотношением $\vec{y} = U\vec{x}$. Тогда подразумеваемое понятие эквивалентности совпадает с обычным.

xagiwo, так это получается, все дело в том, что мы можем сказать, что, например, уравнение $2x-4=0$ имеет, кроме простейшего решения $x=2$, еще и, скажем, решение $\left\{ \begin{alignedat}{2}x & = & 2\\ y & = & 7 \end{alignedat} \right.$, или, скажем, $\left\{ \begin{alignedat}{2}\varphi_{1} & = & \pi+e\\ t & = & -15.6\\ x & = & 2 \end{alignedat} \right.$, или вообще любой список (множество), в котором скольки угодно неизвестным, обозначенным какими угодно буквами, какими угодно буквами с какими угодно индексами и т. д., присваиваются какие угодно значения, лишь бы среди этих неизвестных было неизвестное, обозначенное буквой $x$, которой присвоено значение 2. Правильно? Так тогда получается, что даже простейшее решение этого уравнения $x=2$ более правильно записывать не $x=2$, а $\left\{ \left(x=2\right)\right\}$, или $\left\{ \left(2\right)\right\}$, вкладывая в последнее записанное множество решений приведенного выше уравнения, что это в данном случае множество, состоящее из одного решения, в котором (одном-единственном решении) указано значение одной-единственной неизвестной. Нужны внешние фигурные скобки, обозначающие множество. Так ведь?

Возвращаюсь к задаче. Вот у меня была совместная система
\begin{equation} \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j} = b_{i} \qquad i =1,\,2,\ldots,\, m \end{equation}
с целыми коэффициентами, причем необязательно, что все $x_i$ во всех решениях этой системы целые, решения этой системы могут содержать и дробные числа (а могут и не содержать). Сначала рассмотрим случай, в котором будем считать, что, если какой-нибудь $x_i$ в каком-нибудь решении этой системы и дробен, то эта дробь выражается рациональным числом. Так вот. Пусть $\alpha_{1},\,\alpha_{2},\ldots,\,\alpha_{n}$ - какое-нибудь такое решение системы (1). Вот я подверг это решение преобразованию с матрицей $U$, модуль определителя которой 1 и получил набор из $n$ новых чисел $\beta_{1},\,\beta_{2},\ldots,\,\beta_{n}$:

$$\begin{pmatrix}\beta_{1}\\ \beta_{2}\\ \vdots\\ \beta_{n} \end{pmatrix}=U\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\ \alpha_{2}\\ \vdots\\ \alpha_{n} \end{pmatrix}$$

Все $\beta$ в новом наборе тоже рациональны. Так вот. Что требуется в задаче? В ней требуется для исходной системы (1! указать, построить такую систему с целыми коэффициентами и заданного вида, которой бы удовлетворяли все $\beta_i$ из набора новых чисел и которая при этом имела бы одно, целоисчисленно эквивалентное, решение, с исходной системой (1). Я правильно понимаю, что от меня требуется в данной задаче? Мне нужно именно сконструировать для исходной системы другую, удовлетворяющую определенным требованиям, систему. Правильно? Но ведь, как я писал выше, $\beta_i$ при всех $i=1,\,2,\ldots,\, m$ рациональны. Поэтому для каждого $i=1,\,2,\ldots,\, m$ существуют такие целые $c_i$ и натуральные $d_i$, что $\beta_{i}=\dfrac{c_{i}}{d_{i}}$. Этим, очевидно, система
$$ d_{i}y_{i}=c_{i}\qquad i=1,\,2,\,\ldotp,m\eqno{(2)}$
, которой удовлетворяют $\beta_i$ при всех $i=1,\,2,\ldots,\, m$, построена. Что касается вопроса об эквивалентности систем (1) и (2) то он начинает решаться положительно, если считать, что обе системы имеют решение

$$\left\{ \begin{alignedat}{2}x_{1} & = & \alpha_{1}\\ x_{2} & = & \alpha_{2}\\ & \vdots\\ x_{n} & = & \alpha_{n}\\ y_{1} & = & \beta_{1}\\ y_{2} & = & \beta_{2}\\ & \vdots\\ y_{n} & = & \beta_{n} \end{alignedat} \right.\eqno{(3)}$$

, даже несмотря на то, что ни в одно уравнение системы (1) не входит ни одна неизвестная $y$, а ни в одно уравнение системы (2)не входит ни одна неизвестная $x$. Что же касается вопроса об целоисчисленной эквивалентности указанных решений (3) систем (1) и (2), то и он при таком расширенном взгляде на вектор-решение системы уравнений оказывается решающимся положительным образом. Именно, ввиду условия, наложенного на определитель матрицы преобразования $U$, коэффициенты обратного преобразования

$$\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}=U^{-1}\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n} \end{pmatrix}$$

Тогда, если условиться, что $u_{ij}^{(-1)}$-общий элемент обратной матрицы $U^{-1}$, то равенство

$$\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n}\\ x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12} & \ldots & u_{1n} & 0 & 0 & \ldots & 0\\ u_{21} & u_{22} & \ldots & u_{2n} & 0 & 0 & \ldots & 0\\ \hdotsfor{8}\\ u_{n1} & u_{n2} & \ldots & u_{nn} & 0 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & u_{11}^{(-1)} & u_{12}^{(-1)} & \ldots & u_{1n}^{(-1)}\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & u_{21}^{(-1)} & u_{22}^{(-1)} & \ldots & u_{2n}^{(-1)}\\ \hdotsfor{8}\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & u_{n1}^{(-1)} & u_{n2}^{(-1)} & \ldots & u_{nn}^{(-1)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\\ y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n} \end{pmatrix}\eqno{(4)}$$

как раз и будет показывать целочисленную эквивалентность указанных (по факту указанного) решений систем (1) и (2): ведь определитель матрицы этого преобразования, как произведение двух равных чисел, каждое из которых равно +1 или -1, равно +1 (получили даже преобразование, определитель матрицы которого можем точно узнать!) Скажите, пожалуйста, я все правильно понял?

(Оффтоп)

Я понимаю, что хорошо бы было, если бы этот пост я написал еще этой ночью. Просто, если бы я его сел писать ночью, я бы лег спать в 8 утра.

[xagiwo]

Sinoid в сообщении #1548313 писал(а):

Все $\beta$ в новом наборе тоже рациональны. Так вот. Что требуется в задаче? В ней требуется для исходной системы (1! указать, построить такую систему с целыми коэффициентами и заданного вида, которой бы удовлетворяли все $\beta_i$

Отличная формулировка! Только не для всех матриц $U$ это возможно. Надо сначала предъявить такую $U$, что это возможно, а затем уже

Sinoid в сообщении #1548313 писал(а):

построить такую систему с целыми коэффициентами и заданного вида, которой бы удовлетворяли все $\beta_i$

Ну и ещё после "все $\beta_i$..." нужно добавить "... и только они"

Sinoid в сообщении #1548313 писал(а):

Но ведь, как я писал выше, $\beta_i$ при всех $i=1,\,2,\ldots,\, m$ рациональны. Поэтому для каждого $i=1,\,2,\ldots,\, m$ существуют такие целые $c_i$ и натуральные $d_i$, что $\beta_{i}=\dfrac{c_{i}}{d_{i}}$. Этим, очевидно, система
$d_{i}y_{i}=c_{i}\qquad i=1,\,2,\,\ldotp,m\eqno{(2)}$
, которой удовлетворяют $\beta_i$ при всех $i=1,\,2,\ldots,\, m$, построена.

Вы разобрали частный случай, при котором система имеет лишь одно решение (поскольку матрицу $U$ мы можем выбрать какую хотим, этот случай как раз тривиален). Остались все остальные.

Sinoid в сообщении #1548313 писал(а):

$$\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n}\\ x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12} & \ldots & u_{1n} & 0 & 0 & \ldots & 0\\ u_{21} & u_{22} & \ldots & u_{2n} & 0 & 0 & \ldots & 0\\ \hdotsfor{8}\\ u_{n1} & u_{n2} & \ldots & u_{nn} & 0 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & u_{11}^{(-1)} & u_{12}^{(-1)} & \ldots & u_{1n}^{(-1)}\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & u_{21}^{(-1)} & u_{22}^{(-1)} & \ldots & u_{2n}^{(-1)}\\ \hdotsfor{8}\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & u_{n1}^{(-1)} & u_{n2}^{(-1)} & \ldots & u_{nn}^{(-1)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\\ y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n} \end{pmatrix}\eqno{(4)}$$

Без мазохизма:

$$\begin{pmatrix}\vec{y}\\ \\ \vec{x}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}U && 0\\ \\ 0 && U^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\vec{x}\\ \\ \vec{y}\end{pmatrix}$$

Да и и так понятно, что системы эквивалентны, если вы сделали так, что $x$-ы первого решения связаны с $y$-ми второго соотношением $\vec{y} = U\vec{x}$. Тогда $x$-ы второго решения такие же, поскольку связаны с $y$-ми второго решения тем же соотношением, а оно по $y$-ам позволяет восстановить $x$-ы однозначно. И вообще, читай ниже ↓

Sinoid в сообщении #1548313 писал(а):

Что касается вопроса об эквивалентности систем (1) и (2) то он начинает решаться положительно...
...как раз и будет показывать целочисленную эквивалентность указанных (по факту указанного) решений систем (1) и (2): ведь определитель матрицы этого преобразования, как произведение двух равных чисел, каждое из которых равно +1 или -1, равно +1 (получили даже преобразование, определитель матрицы которого можем точно узнать!)

Перемудрил. Следует думать об этих системах так, что первая — это система для $x_i$, а вторая — это система для $y_i$ и держать "за кадром" связь $\vec{y} = U\vec{x}$. То, что я писал, что можно два набора переменных соединить в один — это потому что вы спрашивали, какая тут связь с обычной эквивалентностью систем, я и сказал. А мучаться с выписыванием наборов из $2n$ переменных не нужно.

-- 08.02.2022, 21:53 --

По менее важным вопросам:

Sinoid в сообщении #1548313 писал(а):

xagiwo, так это получается, все дело в том, что мы можем сказать, что, например, уравнение $2x-4=0$ имеет, кроме простейшего решения $x=2$, еще и, скажем, решение $\left\{ \begin{alignedat}{2}x & = & 2\\ y & = & 7 \end{alignedat} \right.$, или, скажем, $\left\{ \begin{alignedat}{2}\varphi_{1} & = & \pi+e\\ t & = & -15.6\\ x & = & 2 \end{alignedat} \right.$, или вообще любой список (множество), в котором скольки угодно неизвестным, обозначенным какими угодно буквами, какими угодно буквами с какими угодно индексами и т. д., присваиваются какие угодно значения, лишь бы среди этих неизвестных было неизвестное, обозначенное буквой $x$, которой присвоено значение 2. Правильно?

В целом да, хотя список неизвестных заранее фиксирован (но можно его расширить, если захочется)

Sinoid в сообщении #1548313 писал(а):

Так тогда получается, что даже простейшее решение этого уравнения $x=2$ более правильно записывать не $x=2$, а $\left\{ \left(x=2\right)\right\}$, или $\left\{ \left(2\right)\right\}$, вкладывая в последнее записанное множество решений приведенного выше уравнения, что это в данном случае множество, состоящее из одного решения, в котором (одном-единственном решении) указано значение одной-единственной неизвестной. Нужны внешние фигурные скобки, обозначающие множество. Так ведь?

Нет, извращаться незачем.

-- 08.02.2022, 22:43 --

То есть условие, в моём понимании, такое (его можно свести к обычной эквивалентности систем, но на самом деле незачем, разве что если хочется оправдать "нестандартное" использование слова "эквивалентный")
Для системы лин.ур. с целым коэфф-тами на $x_i$ найти матрицу $U$ такую, что для $\vec{y} = U\vec{x}$ если $\vec{x}$ положить решением этого уравнения, то все получающиеся таким образом $y$-ки являются решениями уравнения заданного вида.

Надеюсь, здесь вопросов больше нет и вы можете приступить к решению задачи.

Я отдельно советую подумать над следующим вопросом (потому что, когда ты решаешь задачу, полезно осознавать её "практическое" значение — во-первых это даёт более глубокое понимание задачи, а во-вторых, чисто психологически, даёт осознание того, что ты занимаешься не совсем уж бесполезными вещами):
В теории чисел ставится следующая задача: найти все решения системы линейных диофантовых (то есть с целыми коэфф-тами и предлагается найти целые решения) уравнений (частный случай — одиночное линейное диофантово уравнение, вроде $2x - 3y = 1$). "Найти все решения" значит как-нибудь удобно описать решения, найти способ в массовом порядке получать эти решения, причём этот способ должен покрывать все решения
Так вот, пункт 1: решите (что бы это ни значило) уравнение $2x - 3y = 1$ в целых числах. Это просто чтобы "пощупать" диофантовы уравнения и увидеть, как выглядят их решения.
И пункт 2: как решение систем линейных диофантовых уравнений связано с вашей задачей? Если конкретно, то если вам дали систему уравнений на $x_i$, как в вашей задаче и вы нашли такую $U$, поможет ли это найти все целочисленные решения системы?

Если что, я ожидаю от вас ответов по частям, а не единого развёрнутого ответа на всё сразу

[Sinoid]

xagiwo. прежде, чем продолжать, напишу то, что мне пришло в голову, пока я был не за компом. Пусть

$$\left\{ \begin{matrix}\\ \vdots\\ \\ \end{matrix}\right.\eqno{(1)}$$

и

$$\left\{ \begin{matrix}\\ \vdots\\ \\ \end{matrix}\right.\eqno{(2)}$$

- две совершенно произвольных совместимых системы от разных, быть может, даже не совпадающих по количеству неизвестных, наборов этим самых неизвестных. В наборе значений неизвестных из решения одной системы нет ни одного числа из набора значений неизвестных другой системы. Это что, получается, при таком расширении классического определения эквивалентности систем такие системы нужно будет начать считать эквивалентными? А какие системы нужно тогда будет считать неэквивалентными? Объясните, пожалуйста.

[xagiwo]

Sinoid в сообщении #1548362 писал(а):

Это что, получается, при таком расширении классического определения эквивалентности систем такие системы нужно будет начать считать эквивалентными?

Нет, потому что (пусть в первой системе неизвестные $x_i$, а во второй $y_i$) в первой системе $y_i$ могут быть любыми, а во второй — не любыми

[Sinoid]

xagiwo в сообщении #1548372 писал(а):

Нет, потому что (пусть в первой системе неизвестные $x_i$, а во второй $y_i$) в первой системе $y_i$ могут быть любыми, а во второй — не любыми

Так и пусть: пусть $\left\{ \begin{matrix}x_{1} & = & \alpha_{1}\\ x_{2} & = & \alpha_{2}\\ \hdotsfor{3}\\ x_{m} & = & \alpha_{m} \end{matrix} \right.$ - какое-нибудь решение первой системы, а $\left\{ \begin{matrix}y_{1} & = & \beta_{1}\\ y_{2} & = & \beta_{2}\\ \hdotsfor{3}\\ y_{n} & = & \beta_{n} \end{matrix}\right.$ - какое-нибудь решение второй. Тогда набор $\left\{ \begin{matrix}x_{1} & = & \alpha_{1}\\ x_{2} & = & \alpha_{2}\\ \hdotsfor{3}\\ x_{m} & = & \alpha_{m}\\ y_{1} & = & \beta_{1}\\ y_{2} & = & \beta_{2}\\ \hdotsfor{3}\\ y_{n} & = & \beta_{n} \end{matrix}\right.$ будет удовлетворять как первой, так и второй системе. Таким образом, мы для двух произвольных совместимых систем смогли указать их общее решение, а, значит, доказали эквивалентность этих двух, совершенно произвольных, совместимых систем! Но дело теперь даже не в этом. По-моему, я понял, какие системы уравнений при таком понимании эквивалентности следует считать неэквивалентными. Сейчас я это напишу. А заодно приведу кое-какие места из Кострикина с толкованием их в свете нового понимания мной эквивалентности систем уравнений.

[xagiwo]

Sinoid в сообщении #1548433 писал(а):

для двух произвольных совместимых систем смогли указать их общее решение, а, значит, доказали эквивалентность этих двух, совершенно произвольных, совместимых систем

Да ну? Для эквивалентности недостаточно одного общего решения, нужно, чтобы множества решений совпадали

Sinoid в сообщении #1548433 писал(а):

По-моему, я понял, какие системы уравнений при таком понимании эквивалентности следует считать неэквивалентными. Сейчас я это напишу

Не надо. Лучше решайте задачу.

Sinoid в сообщении #1548433 писал(а):

А заодно приведу кое-какие места из Кострикина с толкованием их в свете нового понимания мной эквивалентности систем уравнений.

О каком "новом понимании" идёт речь? Системы эквивалентны, если у них множества решений совпадают, что вы себе придумываете?

[Sinoid]

Так вот, как меня осенило. Тогда. например, системы $\left\{ \begin{alignedat}{3}3x & + & 5y & = & 13\\ 4x & - & 7y & = & -10 \end{alignedat} \right.$ и $\left\{ \begin{alignedat}{4}x & + & t_{1} & - & 2\varphi & = & -8\\ 3x & - & 4t_{1} & + & 5\varphi & = & 33\\ 2x & & & + & \varphi & = & 17 \end{alignedat} \right.$ несовместны. И дело совсем не в том, что в них разное количество неизвестных, а дело в том, что в их единственных решениях - в $\left\{ \begin{alignedat}{2}x & = & 1\\ y & = & 2 \end{alignedat} \right.$ для первой и $\left\{ \begin{alignedat}{2}t_{1} & = & 6\\ x & = & 4\\ \varphi & = & 9 \end{alignedat} \right. - значение одной и той же неизвестной - $x$ - принимает разные значения. В общем же решении, если бы оно существовало, каждое неизвестное должно/могло было бы принимать лишь единственное значение. А вот, к примеру, системы $\left\{ \begin{alignedat}{3}3x & + & 5y & = & 13\\ 4x & - & 7y & = & -10 \end{alignedat} \right.$ и $\left\{ \begin{alignedat}{4}r & + & t_{1} & - & 2\varphi & = & -8\\ 3r & - & 4t_{1} & + & 5\varphi & = & 33\\ 2r & & & + & \varphi & = & 17 \end{alignedat} \right.$ уже совместимы: для них можно указать общее решение - $\left\{ \begin{alignedat}{2}r & = & 4\\ t_{1} & = & 6\\ x & = & 1\\ y & = & 2\\ \varphi & = & 9 \end{alignedat} \right.$. Поменяли одну маленькую буковку и какую разницу получили!

-- 09.02.2022, 21:14 --

xagiwo в сообщении #1548436 писал(а):

Не надо. Лучше решайте задачу.

Как же я могу решать задачу, если выяснилось, что я неправильно понимал что-то, относящееся к задаче?

-- 09.02.2022, 21:59 --

xagiwo в сообщении #1548342 писал(а):

Так вот, пункт 1: решите (что бы это ни значило) уравнение $2x - 3y = 1$ в целых числах. Это просто чтобы "пощупать" диофантовы уравнения и увидеть, как выглядят их решения.

По поводу этого у меня какой-никакой арсенал имеется: 2 или 3 прочитанных учебника по теории чисел с параллельно прорешенными двумя задачниками, но и этого мне показалось мало. Специально, чтобы хоть как-то начать решать диофантовы уравнения, я прорешал книгу Бардушкин В.В., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П. Основы теории делимости чисел. Решение уравнений в целых числах. Факультативный курс. Решение же предложенного вами уравнения можно записать в следующей параметрической форме: $\left\{ \begin{alignedat}{1}x=3t+2\\ y=2t+1 \end{alignedat} \right.$, где $t$-целый параметр.

[xagiwo]

Sinoid в сообщении #1548444 писал(а):

По поводу этого у меня какой-никакой арсенал имеется: 2 или 3 прочитанных учебника по теории чисел с параллельно прорешенными двумя задачниками, но и этого мне показалось мало. Специально, чтобы хоть как-то начать решать диофантовы уравнения, я прорешал книгу Бардушкин В.В., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П. Основы теории делимости чисел. Решение уравнений в целых числах. Факультативный курс. Решение же предложенного вами уравнения можно записать в следующей параметрической форме: $\left\{ \begin{alignedat}{1}x=3t+2\\ y=2t+1 \end{alignedat} \right.$, где $t$-целый параметр.

Отлично, что насчёт пункта 2? Вот вы для системы уравнений нашли матрицу $U$, как получить решение системы в целых числах (опять же в параметрической форме)?

[Sinoid]

xagiwo в сообщении #1548447 писал(а):

Вот вы для системы уравнений нашли матрицу $U$, как получить решение системы в целых числах (опять же в параметрической форме)?

Стоп. А вот тут у меня сомнение. А где, собственно, в задаче сказано про целочисленность решения первой системы? Вторую, понятно: можно сочинить решаемую в целых числах. А первую? А, может, и вовсе не нужно при решении задачи этого требования - чтоб все или даже некоторые решения первой системы состояли полностью из целых чисел? Как вы думаете? Ответьте, пожалуйста.

[xagiwo]

Sinoid в сообщении #1548472 писал(а):

Вторую, понятно: можно сочинить решаемую в целых числах

Ну так из целых решений второй системы получаются целые решения первой (можете подумать, как)

Sinoid в сообщении #1548472 писал(а):

А где, собственно, в задаче сказано про целочисленность решения первой системы?

Можете считать, что целые решения есть, хотя это несущественно — если их нет, то окажется, что и у второй их не будет

Sinoid в сообщении #1548472 писал(а):

А, может, и вовсе не нужно при решении задачи этого требования - чтоб все или даже некоторые решения первой системы состояли полностью из целых чисел?

Такого требования и нет. Просто есть система, найдите все те её решения, которые целые.