Кострикин. Курс алгебры, задачник

[GAA]

В задаче (г) у меня получилась такая же расширенная матрица (как и в сообщении post1546419.html#p1546419, с одной нулевой строкой). И у меня при $\lambda \ne 8$ будет $x_1 = 0$. И тогда получаются приведенные в книге выражения для $x_2$ и $x_3$. Видимо авторы сочли $x_1 = 0$ очевидным и не дописали. Или просто не дописали (потеряли).

[vpb]

Sinoid в сообщении #1546419 писал(а):

неизвестного вообще почему-то не указано:

Это ляпсус со стороны авторов задачника.

[Sinoid]

vpb в сообщении #1546426 писал(а):

Это, кстати, можно было сразу сообразить, что там что-то не то, потому что по их ответу $x_1$ получается непонятно, то ли свободная переменная, то ли главная.

Да, так тоже можно было, но все дело в том, что вы это все уже изучили и потому можете уверенно отвечать, а я это только изучаю и отсюда такая неуверенность.

Всем спасибо за рецензии.

-- 19.01.2022, 03:37 --

(Оффтоп)

Мужики, реально большое спасибо: очень помогаете!

-- 19.01.2022, 03:53 --

То же задание в букве д) для следующей системы: $\left\{ \begin{alignedat}{5}2x_{1} & + & 3x_{2} & + & x_{3} & + & 2x_{4} & = & 3\\ 4x_{1} & + & 6x_{2} & + & 3x_{3} & + & 4x_{4} & = & 5\\ 6x_{1} & + & 9x_{2} & + & 5x_{3} & + & 6x_{4} & = & 7\\ 8x_{1} & + & 12x_{2} & + & 7x_{3} & + & \lambda x_{4} & = & 9 \end{alignedat} \right.$
Решение. $\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 1 & 2 & 3\\ 4 & 6 & 3 & 4 & 5\\ 6 & 9 & 5 & 6 & 7\\ 8 & 12 & 7 & \lambda & 9 \end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 1 & 2 & 3\\ 4 & 6 & 3 & 4 & 5\\ 6 & 9 & 5 & 6 & 7\\ 0 & 0 & 0 & \lambda-8 & 0 \end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 0 & \lambda-8 & 0 \end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \lambda-8 & 0 \end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & \lambda-8 & 0 \end{array}\right)$. $\left\{ \begin{alignedat}{5}2x_{1} & + & 3x_{2} & & & + & 2x_{4} & = & 4\\ & & & & x_{3} & & & = & -1\\ & & & & & & (\lambda-8)x_{4} & = & 0 \end{alignedat} \right.$ Случай $\lambda=8$ у меня не вызвал затруднений и я его не буду расписывать. А вот в случае $\lambda\ne8$ у меня получается $x_{4}=0$ и $x_{2}=\dfrac{4}{3}-\dfrac{2x_{1}}{3}$. Это правильно? В ответе написано‚ что $x_{2}=4-\dfrac{2}{3}x_{1}$.

-- 19.01.2022, 04:16 --

И, наконец, в том же номере последняя неполучившаяся буква - буква з). То же для системы
$\left\{ \begin{alignedat}{4}(1+\lambda)x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & = & 1\\ x_{1} & + & (1+\lambda)x_{2} & + & x_{3} & = & \lambda\\ x_{1} & + & x_{2} & + & (1+\lambda)x_{3} & = & \lambda^{2} \end{alignedat} \right.$
Решение. $\left(\begin{array}{ccc|c} 1+\lambda & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1+\lambda & 1 & \lambda\\ 1 & 1 & 1+\lambda & \lambda^{2} \end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc|c} 1+\lambda & 1 & 1 & 1\\ -\lambda & \lambda & 0 & \lambda-1\\ -2\lambda-\lambda^{2} & -\lambda & 0 & \lambda^{2}-\lambda-1 \end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc|c} 1+\lambda & 1 & 1 & 1\\ -\lambda & \lambda & 0 & \lambda-1\\ -3\lambda-\lambda^{2} & 0 & 0 & \lambda^{2}-2 \end{array}\right)$. Получаем следующую систему уравнений: $\left\{ \begin{alignedat}{4}(1+\lambda)x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & = & 1\\ -\lambda x_{1} & + & \lambda x_{2} & & & = & \lambda-1\\ (-3\lambda-\lambda^{2})x_{1} & & & & & = & \lambda^{2}-2 \end{alignedat} \right.$. У меня не сошелся с ответом случай $\lambda\ne0,\,\lambda\ne-3$‚ поэтому именно этот случай я и буду расписывать. Итак‚ в этом случае последовательно находим: $x_{1}=\dfrac{2-\lambda^{2}}{\lambda^{2}+3\lambda}$. Из второго уравнения: $\dfrac{\lambda^{2}-2}{\lambda+3}+\lambda x_{2}=\lambda-1$‚ $x_{2}=\dfrac{1}{\lambda}\left(\lambda-1-\dfrac{\lambda^{2}-2}{\lambda+3}\right)=\dfrac{1}{\lambda}\left(\dfrac{(\lambda-1)(\lambda+3)-(\lambda^{2}-2)}{\lambda+3}\right)$‚ или $x_{2}=\dfrac{2\lambda-1}{\lambda(\lambda+3)}$. Но тогда $\dfrac{(1+\lambda)(2-\lambda^{2})}{\lambda^{2}+3\lambda}+\dfrac{2\lambda-1}{\lambda(\lambda+3)}+x_{3}=1$‚ $\dfrac{2+2\lambda-\lambda^{2}-\lambda^{3}+2\lambda-1}{\lambda^{2}+3\lambda}+x_{3}=1$, $x_{3}=\dfrac{\lambda^{2}+3\lambda-(1+4\lambda-\lambda^{2}-\lambda^{3})}{\lambda^{2}+3\lambda}$, и окончательно: $x_{3}=\dfrac{\lambda^{3}+2\lambda^{2}-\lambda-1}{\lambda(\lambda+3)}$. В ответе же написано‚ что $x_{3}=\dfrac{\lambda^{3}+3\lambda^{2}-\lambda-1}{\lambda(\lambda+3)}$. Это опечатка?

[nnosipov]

Sinoid в сообщении #1546458 писал(а):

Это опечатка?

Да. Кстати, это легко проверить в Maple.

[Sinoid]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1546460 писал(а):

Кстати, это легко проверить в Maple.

У меня нет такого богатства: ни ее, ни Математики. Вольфрам пробовал установить, так там при установке логин, пароль... Или это была Математика? Можно, конечно, онлайн, но после того, как не получилось, я и не возвращался к этому вопросу, хотя, да, интересно было бы покопаться.

nnosipov, спасибо.

[makxsiq]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=% ... 9z%3Da%5E2

[nnosipov]

Sinoid
Я Вам настоятельно советую установить Maple (не Mathematica, у которой интерфейс более громоздкий). Скачайте на рутрекере какую-нибудь старую (это важно!) версию (я использую Maple 15, который можно варварски запускать под windows 10 с любой флешки, что очень удобно на посторонних компьютерах). Поверьте, усилий будет гораздо меньше, чем набирать страницы текста в TeX здесь на форуме. Я своим студентам рекомендую Maple в качестве арбитра для выяснения, опечатка в задачнике или нет. Если хотите, я Вас проконсультирую в индивидуальном порядке. (Просто Вы такие тексты здесь набираете, что прям жаль.)

[Sinoid]

makxsiq
Так это понятно. Спасибо, конечно, но я сейчас по нему полный 0, сейчас в него уйду - это заглохнет. А сейчас приоритет научиться руками.

-- 19.01.2022, 18:03 --

nnosipov
я, конечно, согласен на вашу помощь, но я чувствую, что даже после проверки на компе я буду испытывать некоторую не веру в получаемые мной знания. Совсем другое дело, когда проверяющий - человек. Что касается времени, то да, я согласен столько его тратить: лучше я 1 раз его потрачу, но буду твердо уверен в своих знаниях и другим потом что попало не посоветую, не ляпну чего-нибудь. Для меня очень важно получить именно настоящие знания, закрепленные настоящей практикой, желательно не самой маленькой. Во-вторых, после такого всестороннего обсуждения, я надеюсь, в сети останется хороший вспомогательный ресурс в пользу всех людей. Можно будет просто открывать и сверяться, не привлекая каждый раз внимание, например, ЗУ этого форума. Нужно просто 1 раз хорошо постараться. И я со своей стороны стараюсь. Хоть какой-то толк от моей жизни. Мне, понятно, уже не выучиться до каких-нибудь результатов, но я могу твердо утверждать, что и при моей болячке нет ничего невозможного. Просто у меня поздно появился комп, я поздно обратился к вам за помощью, все думал, сам смогу, никого не беспокоя. Не смог... Так что я больше чем уверен, что и после меня и, так сказать, во время меня будут появляться люди, подобные мне, которым, в частности, эта в будущем, судя по всему, станущая довольно большой тема, поможет реализовать смою мечту. Мне, к сожалению, это не удалось... Да, и само по себе мне доставляет огромный интерес копаться в этом во всем. Я об этом мечтал всю свою жизнь, пока у меня не было компа. Так что, суммируя это все, я очень-очень надеюсь на вашу помощь мне в дальнейшем: мне она очень нужна.

[Sinoid]

Посмотрите, пожалуйста, последние 2 задачи, которые у меня не сошлись и я пойду дальше. Речь идет о упражнении 8.3. Вот его задание:
Найти все векторы пространства $\mathbb{R}^{n}$, переходящие в вектор $b\in\mathbb{R}^{m}$ при линейном отображении $\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$, заданном матрицей $A$:
У меня вызывают вопросы буквы е) и ж).
е) $A=\begin{pmatrix}3 & -6 & -1 & 4\\ 1 & -2 & -3 & 7\\ 2 & -4 & -14 & 31 \end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix}-7\\ -5\\ -10 \end{pmatrix}$
В ответе приведено следующее решение:
Множество векторов вида $\begin{pmatrix}1\\ 2\\ \dfrac{22}{5}\\ \dfrac{8}{5} \end{pmatrix}+\alpha\begin{pmatrix}5\\ 0\\ -17\\ -8 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}0\\ 5\\ 34\\ 16 \end{pmatrix}$
но когда я подставляю компоненты столбца, не стоящего при каком-то свободном неизвестном, в соответствующую систему уравнений, они не удовлетворяют последнему уравнению: $2\cdot 1-4\cdot 2-14\cdot\dfrac{22}{5}+31\cdot\dfrac{8}{5}=-6+\dfrac{248-308}{5}=-6-12=-18\ne-10$. То же самое и с другой буквой
ж) $A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3 & -2 & 1\\ 6 & 3 & 5 & -4 & 3\\ 2 & 1 & 7 & -4 & 1\\ 4 & 2 & 2 & -3 & 3 \end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix}4\\ 5\\ 11\\ 6 \end{pmatrix}$
В ответе написано, что это - множество векторов $\begin{pmatrix}-3\\ 1\\ \dfrac{3}{2}\\ -\dfrac{1}{2}\\ -\dfrac{5}{2} \end{pmatrix}+\alpha\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -2\\ -4\\ -4 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\\ -2\\ -2 \end{pmatrix}$, но $4\cdot(-3)+2\cdot1+2\cdot\dfrac{3}{2}+(-3)\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+3\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)=-7+\dfrac{3}{2}-\dfrac{15}{2}-7-6=-13\ne 6$. Скажите, пожалуйста, это же в учебнике в обоих случаях указаны неверные ответы? А я пока дальше буду копать.

-- 21.01.2022, 19:42 --

(Оффтоп)

nnosipov
А почему вы мне советуете именно установить? Что, онлайн-версии этих программ чем-то хуже?

[nnosipov]

(Оффтоп)

Sinoid
Мне кажется, так удобнее будет. Возможно, я не умею правильно пользоваться онлайн версиями (не уверен, что у Maple она есть).

[Sinoid]

(Оффтоп)

Только это, скорее всего, ничего не решит: в большинстве случаев найденное мной решение будет отличаться от того, что скажет програ. Я, конечно, могу проверить тождественность/нетождественность этих решений, но для того, чтобы оценить эту проверку, нужен опять-таки сторонний арбитр (желательно авторитетный).

[nnosipov]

Sinoid
Здесь надо разделять две вещи: 1) проверка ответа к задаче (кто прав, я или задачник; возможно, оба неправы); 2) проверка решения задачи. С первым пунктом в подавляющем числе учебных задач система компьютерной алгебры справится очень хорошо, надо только научиться ею пользоваться (разумеется, мы исходим из презумпции корректности тех ответов, что выдает CAS; для учебных задач это оправдано). Что касается второго пункта, то здесь CAS не поможет (при правильном ответе в решении могут быть логические ошибки и т.п.). Ясно, что реализация п. 2) это затратная вещь, поскольку требуется эксперт.

[Sinoid]

Задача 8.11:

Скажите, пожалуйста, здесь общее сравнение системы сравнений хотели же написать таким: $a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+\ldots+a_{in}x_{n}\equiv b_{i}\quad(\hspace{-2.5mm}\mod\, m)$? И непонятно зачем скобки в левую часть общего сравнения вбухали.

[nnosipov]

Разумеется.

[Sinoid]

nnosipov
спасибо.