Кострикин. Курс алгебры, задачник

[xagiwo]

Sinoid в сообщении #1547694 писал(а):

аналогичным преобразованию в решаемой задаче

Каким образом? Вот у Вас были миноры $a, b, c$, как они преобразовались?

[Sinoid]

Точно так же, как тут:

Sinoid в сообщении #1547630 писал(а):

Эта матрица будет иметь следующие миноры второго порядка: $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$, \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{31}+ka_{11} & a_{32}+ka_{12} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$, $\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31}+ka_{11} & a_{32}+ka_{12} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}-k\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$.

К примеру, $a,\, b, \, c-la$.

[xagiwo]

Sinoid в сообщении #1547696 писал(а):

К примеру, $a,\, b,\, c-la$.

Отлично. Можете ли Вы придумать $a, b, c, l$ такие , что НОД не сохранится?

[nnosipov]

Sinoid в сообщении #1547694 писал(а):

аналогичным преобразованию в решаемой задаче

В том-то и дело, что не аналогичным. Почувствуйте разницу между двумя преобразованиями: $(a,b) \to (a,a-lb)$ и $(a,b) \to (a,b-la)$. Первое преобразование может изменить НОД, а второе нет. В задаче про миноры будет как раз второе преобразование.

[Sinoid]

xagiwo в сообщении #1547697 писал(а):

Можете ли Вы придумать $a, b, c, l$ такие , что НОД не сохранится?

У меня был вариант, к примеру, $(2,\,4,\,8)\to(4,\,8,\,4+2\cdot6)$, но, да, по классификации nnosipov это преобразование первого типа:

nnosipov в сообщении #1547700 писал(а):

$(a,b) \to (a,a-lb)$

С учетом же вот этого:

nnosipov в сообщении #1547700 писал(а):

Первое преобразование может изменить НОД, а второе нет. В задаче про миноры будет как раз второе преобразование.

я постараюсь больше не тратить время на придумывание примера

xagiwo в сообщении #1547697 писал(а):

Можете ли Вы придумать $a, b, c, l$ такие , что НОД не сохранится?

Спасибо.

[Sinoid]

Кажется, понял. Пусть $a,\, b\in\mathbb{Z}$ и $(a,\, b)=d$ (здесь, как и, начиная с этого поста, символ $(x,\, y)$, обозначает НОД целых чисел $x$ и $y$). Докажу, что, если $l\in\mathbb{Z}$, то и $(a,\, b+la)=d$.
Т. к. $(a,\, b)=d$, то существуют такие целые $u,\, v$, что

$$au+bv=d\eqno{(1)}$$

$d$ является общим делителем чисел $a$ и $b+la$. Остается указать такие $u_{1},\, v_{1}$, что $au_{1}+(b+la)v_{1}=d$. Равенство (1) можно переписать так: $(au-lav)+(bv+lav)=d$, или $a(u-lv)+(b+la)v=d$. Я понимаю, что это простейшее рассуждение теории чисел, просто использовал случай, чтобы лишний раз расписать это все самому. Спасибо за двусторонний диалог.

[nnosipov]

Sinoid в сообщении #1547746 писал(а):

Т. к. $(a,\, b)=d$, то существуют такие целые $u,\, v$, что ...

Это стрелять из пушки по воробьям. На самом деле достаточно заметить, что у пар чисел $\{a,b\}$ и $\{a,b+la\}$ одни и те же общие делители. Значит, у этих пар один и тот же наибольший общий делитель.

[Sinoid]

А вот такое пришло в голову. Пусть $d$ - НОД двух целых чисел $a$ и $b$. Тогда, если $u$ и $v$ - 2 таких целых числа, что $au+bv=d$, то $u$ и $v$ будут взаимно простыми. Правильно ведь? В нескольких учебниках по теории чисел формулировку этой теоремы посмотрел, так что-то о взаимной простоте чисел, наподобие $u$ и $v$, ничего не говорится.

[nnosipov]

Sinoid в сообщении #1547786 писал(а):

Пусть $d$ - НОД двух целых чисел $a$ и $b$. Тогда, если $u$ и $v$ - 2 таких целых числа, что $au+bv=d$, то $u$ и $v$ будут взаимно простыми. Правильно ведь?

Да, правильно: если сократить равенство на $d$ (то есть, переписав его в виде $(a/d)u+(b/d)v=1$), то это станет очевидным.

Sinoid в сообщении #1547786 писал(а):

что-то о взаимной простоте чисел, наподобие $u$ и $v$, ничего не говорится

Ну, обо всем не скажешь. Но критерий взаимной простоты чисел в виде равенства $au+bv=1$ формулируется. Глядя на это равенство, можно увидеть аж 4 пары взаимно простых чисел, но обычно говорят только об одной из них --- паре $a$, $b$.

[Sinoid]

Ага. Ясно. Большое спасибо.

[Sinoid]

Что-то не пойму, правильно или нет я решил задачу 8.20:

(Решение)

Т. к. в задаче речь идет о эквивалентности систем, то для каждого $i=1,\,2,\,\ldots,m$ $y_i$ равно некоторому $x_j$, причем индексы $i$ и $j$ необязательно совпадают. И тогда матрица $U$ для этих двух решений таково, что в ней в каждой строке и в каждом столбце стоит одна единица, а все остальные элементы равны 0, но она при этом необязательно диагональная, хотя, да, она может быть такой.

Это же такое решение подразумевает эта задача? Просто такое ощущение, что и не решал-то ничего.

[Sinoid]

(Оффтоп)

А вот здесь:

nnosipov в сообщении #1547700 писал(а):

$(a,b) \to (a,a-lb)$ и $(a,b) \to (a,b-la)$

круглые скобки обозначают не НОД чисел, стоящих между этими скобками, а множества, состоящие из чисел, расположенных между парами соответствующих друг другу открывающих и закрывающих скобок. Ну, это так, чтобы не оставалось чего-то непроговоренного явно.

[Sinoid]

Удалось придумать менее тривиальный пример:
$\begin{equation} \begin{pmatrix}1\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 2\\ -8 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ -2 \end{pmatrix}\hspace{4cm} \end{equation}$
Тогда, например, системы $\left\{ \begin{alignedat}{3}2x_{1} & + & 3x_{2} & = & -4\\ 4x_{1} & - & 5x_{2} & = & 14 \end{alignedat} \right.$ и $\left\{ \begin{alignedat}{2}6y_{1} & = & 6\\ 9y_{2} & = & -18 \end{alignedat} \right.$, эквивалентны: обе имеют решения $(1,\,-2)$. Кроме того, ввиду соотношения (1), они целочисленно эквивалентны. И что???

[xagiwo]

Вы неправильно поняли условие.
Вы решили одну систему относительно $x_1,..., x_n$, решили вторую относительно $y_1,...,y_n$, получили одинаковые решения и объявили, что системы эквивалентны. Но проблема в том, что $x_1,..., x_n$ и $y_1,..., y_n$ это разные наборы переменных, они лишь связаны определёнными соотношениями ($\vec{y} = U\vec{x}$) и если Вы по $y$-ам, полученным из второй системы посчитаете $x$-ы (из заданных соотношений), то не факт, что у Вас получатся те же $x$-ы, что получились после решения первой системы.

[Sinoid]

xagiwo в сообщении #1548160 писал(а):

Вы неправильно поняли условие.

Вот-вот. Я это понимаю, только не могу понять, где у меня ошибка в понимании.

xagiwo в сообщении #1548160 писал(а):

Но проблема в том, что $x_1,..., x_n$ и $y_1,..., y_n$ это разные наборы переменных,

Нет: ни в курсе алгебры другого определения эквивалентности систем, кроме как через совпадение решений, ни в задачнике ранее другого определения эквивалентности систем не дается. В задаче системы именно сначала эквивалентны в обычном смысле:

т. е. их решения совпадают, а уж потом эти системы, так сказать, целочисленно эквивалентны, в смысле, что матрица, связывающая эти решения, удовлетворяет требованию, сформулированному в условии, относительно матрицы $U$:

.

-- 07.02.2022, 03:35 --

Но, да, в первой эквивалентности в задаче настораживает то, что она не просто эквивалентность, а эквивалентность над кольцом целых чисел. Но ведь ни в курсе алгебры, ни в задачнике определения такой эквивалентности нет, поэтому мне не остается ничего другого, как считать эту первую эквивалентность эквивалентностью в смысле совпадения решений.

-- 07.02.2022, 03:39 --

xagiwo, а как вы видите задачу? Можете привести конкретный численный пример? Просто интересно.