2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ... 192  След.
 
 
Сообщение24.10.2008, 19:46 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Начнём сначала. Моё определение магического квадрата:

"Традиционным (нормальным или классическим) магическим квадратом порядка n называется квадратная таблица размером nхn, заполненная натуральными числами от 1 до n*n так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и в обеих диагоналях таблицы равна одному и тому же числу, называемому магической константой квадрата”.

Определение М. Гарднера:

“Стандартный магический квадрат представляет собой квадратную матрицу положительных целых чисел от 1 до N*N, расположенных в таком порядке, при котором сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой диагонали равна одному и тому же числу, называемому постоянной магического квадрата или просто магической постоянной".

Почему же из моего определения никак не следует, что в каждой клетке матрицы стоит некоторое число из диапазона от 1 до n*n, и во всей матрице стоят все числа из этого диапазона? А если стоят все числа из этого диапазона, то ясно, что ни одно число не повторяется, так как (оппонент это отмечает для определения Гарднера) количество клеток в матрице равно количеству чисел.
Почему из определения Гарднера это следует? Он ведь говорит о тех же числах от 1 до N*N, которые некоторым образом располагаются в матрице. Но откуда видно, что они все располагаются? Хоть убейте меня, не могу понять. Значит, если числа заполняют матрицу, то они не в каждую клетку становятся, так что ли? :)
Maxal, у меня в статьях где-то есть квадрат, вот только не помню сразу где. Как найду, сразу покажу. Этот квадрат докажет, что следуя вашей логике можно сделать вывод: определение М. Гарднера (как, впрочем, и моё тоже) не корректно!

Добавлено спустя 9 минут 43 секунды:

maxal писал(а):
Не отредактирована, а лишь немного подкорректирована - прошу не спекулировать на моем участии. Статья еще очень сырая и под ее редакцией я не подписываюсь.

Ах, да, извините, отредактирована не до конца, так как автор отказался выполнять четвёртую правку статьи после того, как были тщательным образом выполнены три правки и учтены все сделанные замечания.
А вы, Maxal, знаете значение глагола "спекулировать"? Спекулировать - это значит заниматься спекуляцией. А спекуляция - это скупка товаров и перепродажа их по завышенным ценам с целью наживы. Так, по-вашему, я купила ваше участие, а теперь пытаюсь его подороже продать с целью наживы?

Добавлено спустя 2 часа 17 минут 5 секунд:

Вот нашла магический и даже идеальный квадрат 9-ого порядка.
Код:
1  15  26  55  69  80  55  42  26
61  66  77  61  39  23  7  12  23
58  45  20  4  18  20  58  72  74
6  17  19  60  71  73  60  44  19
57  68  79  57  41  25  3  14  25
63  38  22  9  11  22  63  65  76
8  10  24  62  64  78  62  37  24
59  70  75  59  43  21  5  16  21
56  40  27  2  13  27  56  67  81


Итак, мы имеем квадратную матрицу из целых положительных чисел от 1 до N*N (N=9).То есть первая часть определения М. Гарднера выполняется. Эти числа располагаются в матрице некоторым образом. Правильно? Или они в данном случае не располагаются?
Далее: они располагаются таким образом, что сумма чисел во всех строках, столбцах и в обеих диагоналях матрицы равна одному и тому же числу - 369, которое является магической константой квадрата 9-ого порядка, что нетрудно проверить по формуле для магической константы. Следовательно, по определению Гарднера, квадрат является стандартным магическим квадратом. Однако он таковым не является, потому что числа в нём повторяются.
Итак, оба приведённые здесь определения традиционного магического квадрата, следуя логике Maxal'a, не корректны. Тогда как надо дать правильное определение традиционного магического квадрата? Думаю, что термин "стандартный" в определении Гарднера совпадает по значению с термином "традиционный" (или что то же: "нормальный", "классический").

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2008, 21:04 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5427
Nataly-Mak писал(а):
Почему же из моего определения никак не следует, что в каждой клетке матрицы стоит некоторое число из диапазона от 1 до n*n, и во всей матрице стоят все числа из этого диапазона?

Мне надоела эта "сказка про белого бычка". Я уже дал вам математическое определение глаголов "заполнять" и "размещать" - добавить тут нечего.
Хотя в своих статьях вы вольны использовать любые глаголы в любом удобном для вас смысле, тем более, если статьи не планируются к публикации.
Nataly-Mak писал(а):
А вы, Maxal, знаете значение глагола "спекулировать"?

Специально для вас цитирую из толкового словаря:
Цитата:
СПЕКУЛИРОВАТЬ несов. неперех.
2. перен. Умышленно использовать что-л. в личных корыстных целях.

Я не хочу быть каким-либо образом причастным к вашим статьям - еще раз прошу не спекулировать на моем имени.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2008, 21:29 


08/05/08
896
MSK
Nataly-Mak писал(а):
Ведь это действительно новое слово о квадратах Франклина и об идеальных магических квадратах.

Действительно новое? Вы уверены, если да, то покажите, что во всех публикациях на земле ранее не встречалось. Дайте пояснение почему ваши коллеги по теме не нашли. Ну а дальше, наверное есть стандартный пусть - неизвестному рефери.
А J. H. Conway - здоровья ему, хоть и в возрасте.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2008, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Колеги, ссориться зачем?? Разбирайтесь лучше по существу. Вот про фраклиновы квадраты недавняя статья на
http://www.pasles.org/Franklin.html
а еще просто про 'потерянные квадраты Франклина'
http://pasles.org/Franklin/index.html
и
The lost squares of Dr. Franklin: Ben Franklin's missing squares and the secret of the magic circle
Paul C Pasles. The American Mathematical Monthly. Washington: Jun/Jul 2001. Vol. 108, Iss. 6; p. 489 (23 pages)
(статья большая, 10 метров, берите на http://newline.ifolder.ru/8729049)

http://mathforum.org/alejandre/magic.sq ... quare.html
http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_26_06.html -ссылки там поглядите.
http://www.bestfranklinsquares.com/

Натали, я послала вам пароли к книгам через ЛС.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.10.2008, 06:38 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
maxal писал(а):
Я не хочу быть каким-либо образом причастным к вашим статьям - еще раз прошу не спекулировать на моем имени.

Меня не надо дважды просить!
Вы, однако, уходите от ответа насчёт точного определения традиционного магического квадрата. Вы утверждаете, что определение М. Гарднера абсолютно правильное. А как же тот квадрат, который я привела. Он ведь удовлетворяет определению Гарднера. И в то же время не является традиционным магическим квадратом.
А статья моя о квадратах Франклина к публикации всё-таки планируется. Да, тут надо заметить, что к статьям моим (в смысле получения результатов) вы и не являетесь никаким образом причастным. Так что можете быть спокойны.
shwedka, спасибо за все ссылки. Но я уже довольно много всего просмотрела пока исследовала квадраты Франклина. И со всей ответственностью заявляю, что ни в одной из просмотренных мной публикаций не встретила идеальных магических квадратов, построенных по алгоритму Франклина. А почему мои коллеги по теме (да и есть ли эти коллеги, кроме Г. Александрова?) не построили такие квадраты, я не могу знать. Может быть, для этого надо провести "многолетнюю кропотливую работу", какую провели три учёных мужа, чтобы построить полумагический квадрат Франклина 32х32. Вот как проведут такую работу, так и построят :)

Добавлено спустя 48 минут 16 секунд:

В письмах, которые я получаю от своих читателей, чаще всего встречается вопрос о практическом применении магических квадратов. Здесь тоже уже был задан такой вопрос. Вчера я получила такой вопрос в ЛС. Приведу одну интересную цитату из книги Ю. В. Чебракова по этому вопросу.
“Магические квадраты обладают некоторыми свойствами, которые можно использовать для коррекции ошибок, возникающих при передаче цифровой информации.
Эти свойства заключаются в том, что на некоторую совокупность произвольно выбираемых чисел можно, пользуясь принципами построения магических квадратов, наложить за счёт введения избыточных чисел некоторые дополнительные условия.
На приёмной стороне производится проверка условий, которым должна удовлетворять переданная совокупность чисел, и производится контроль правильности передачи и исправления ошибок.
Самойленко С. И. Помехоустойчивое кодирование. – М., 1966”.

Добавлено спустя 2 часа 9 минут 27 секунд:

Квадраты Франклина. Приоритетные исследования

Тут привели несколько ссылок на статьи о квадратах Франклина. Заметьте: ни одной статьи на русском языке, кроме цитированного выше журнала “Дух времени”.
Значит ли это, что таких статей просто не существует? Насколько мне известно, Г. Александров квадратами Франклина не занимался. А кто тогда занимался из моих “коллег по теме”?
Хочу заметить, что моя статья о квадратах Франклина, написанная для журнала, – это 20-ая часть того, что написано об этих квадратах на моём сайте. Журнальная статья должна быть маленькой, и вот я попыталась рассказать очень кратко об этих квадратах в рамках журнальной статьи. На сайте первая статья на эту тему:
http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin.htm
(мне тут сказали на форуме, что ссылки, данные по теме и на документ не удаляются :wink: )
А далее ещё 7 статей.
Интересен такой момент: почему авторы полумагического квадрата Франклина 32х32 начали сразу с квадрата 32-ого порядка? Не наводит ли это на определённые мысли? Почему они не построили по этому алгоритму полумагические квадраты 4-ого, 12-ого, 20-ого и т. д. порядков?
Применив к полумагическим квадратам Франклина свой метод качелей, я запрограммировала построение квадратов по этому алгоритму. И по программе получила множество разных вариантов: полумагические квадраты 4х4, 12х12, другие варианты полумагических квадратов 8х8 и 16х16, пандиагональные квадраты 8х8 и т. д. Например, программа для построения полумагических квадратов 8-ого порядка только при одном прогоне циклов (при I=2, а вообще I принимает значения от 2 до 7) дала 1152 полумагических квадратов, среди них оказалось 144 пандиагональных.
Затем, применив точно так же метод качелей к пандиагональному квадрату Франклина 16-ого порядка, построила пандиагональные квадраты 8х8, 24х24, 32х32, 40х40. Алгоритм можно запрограммировать и построить пандиагональный квадрат любого порядка n=8k (это, кстати, сделал один из моих читателей).
Наконец, из пандиагональных квадратов, построенных по алгоритму пандиагонального квадрата Франклина, я получила очень простыми преобразованиями идеальные магические квадраты.
Вы всё ещё сомневаетесь, что это действительно новое слово в исследованиях квадратов Франклина?

 Профиль  
                  
 
 Квадраты Франклина. Приоритетные исследования
Сообщение28.10.2008, 05:59 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Maxal, некрасиво уходить от ответа, когда спор ещё не закончен. “Мне надоело…” – это, знаете ли, не аргумент. Я привела конкретный пример – нетрадиционный магический квадрат 9х9 (два часа его искала в своих статьях специально для вас :) ) и задала конкретный вопрос: подходит ли данный квадрат под определение М. Гарднера? Следуя вашей логике, он подходит под это определение. Тогда он должен быть по определению традиционным магическим квадратом. А он таковым не является!
Ваше молчание означает, что вы признаёте правильность моей позиции. Если это не так, надо продолжить аргументированный спор, а не уходить в кусты.
***
Итак, три учёных мужа – Виктор Лукоянов, Виталий Лукоянов и Шанти П. Джаясекара – построили по алгоритму Франклина полумагический квадрат 32-го порядка (ох и сильно учёные мужи: гранд доктора, академики и пр.).
Квадрат смотрите в журнале “Дух времени”:
http://www.spiritoftime.net/pdf-files/S ... me_ALL.pdf
Цитата:
“Необходимо иметь ввиду, что приоритетная авторская разработка магического квадрата 32х32 Виталия и Виктора Лукояновых – Шанти П. Джаясекара датируется от 14 мая 2003 года, так как и было доложено на Международной конференции, посвящённой 300-летию г. Санкт-Петербурга …”

Мне непонятно, почему авторы называют квадрат магическим, если в главных диагоналях этого квадрата сумма чисел не равна магической константе квадрата и по общепринятой терминологии такой квадрат надо называть полумагическим. Или на момент регистрации приоритета на построенный квадрат магические и полумагические квадраты ещё не различались и назывались одним термином “магические”, как во времена Франклина?
Более того, совсем непонятно вот это утверждение: “Контрольная сумма магичности строк, столбцов, ломаных диагоналей с любой из четырёх сторон и в квадратах (размером в 32 смежные клетки) равна Y = 16400 при сумме чисел всего данного квадрата S = 524800…”
Получается, что суммы чисел по ломаным диагоналям квадрата тоже равны магической константе квадрата? То есть квадрат пандиагональный? Но это совсем не так (проверьте сами суммы по ломаным диагоналям квадрата). Что хотели сказать учёные мужи в этой фразе? Или в 2003 году ломаные диагонали как-то по-другому определялись, нежели они сейчас определяются? Ничего не понимаю!
И что значит, что сумма чисел в квадратах размером в 32 смежные клетки равна тоже магической константе квадрата? Разве бывают квадраты в 32 смежные клетки? Это как же такой квадрат представить? Ведь 32 смежные клетки можно, например, расположить в одной строке или в одном столбце квадрата. Правильно? Но тогда какой же это квадрат? Хотя, конечно, сумма чисел в таких 32 смежных клетках равна магической константе квадрата.
Может быть, правильно надо сказать так: сумма чисел в любом квадрате 4х4, находящемся в данном квадрате 32х32, равна одному и тому же числу – 8200, то есть половине магической константы квадрата. Тогда понятно, что в любом прямоугольнике 4х8 (состоящем из двух примыкающих друг к другу квадратов 4х4) сумма чисел равна магической константе квадрата. Такой прямоугольник как раз и состоит из 32 смежных клеток.
Вот такую неразбериху написали гранд доктора и доложили на Международной конференции и получили приоритет на этот квадрат, который всего-то полумагический квадрат Франклина, построенный в точном соответствии с его алгоритмом.
Всё это я обнаружила давно, когда исследовала данный квадрат в своей статье.
***
А вчера shwedka прислала мне ссылку на статью (браво, shwedka!), в которой самые новейшие исследования квадратов Франклина (2007 год). Ещё подробно не прочла статью (да и читать её не могу, потому что она на английском языке). Но квадраты видела! Здорово! Этот Кор Гуркенс (Cor Hurkens) построил совершенные квадраты (most-perfect) по алгоритму Франклина. У меня совершенные квадраты не получились, а только почти совершенные, я даже назвала их “совершенные по Франклину” (здесь, кажется, есть сообщение об этом). А вот идеальные магические квадраты (ultramagic) по алгоритму Франклина Кор не построил (по крайней мере, в этой статье их нет). Ссылка на статью:
http://www.win.tue.nl/~wscor/Magic/SPORfms.pdf
Эту статью при исследованиях квадратов Франклина я не видела.

 Профиль  
                  
 
 Квадраты Франклина. Приоритетные исследования
Сообщение29.10.2008, 08:10 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Не знаю, будет ли это кому-то интересно, но представляю небольшой анализ результатов Кора Гуркенса (ссылка на статью указана в предыдущем сообщении) и сопоставление их с моими результатами. Замечу, что совершенно не вникала в методы Гуркенса (читать текст не могу), а рассматривала только построенные квадраты по картинкам. Результаты, полученные Гуркенсом, впечатляют. И самый лучший результат – это, конечно, совершенные квадраты. Но всё по порядку.
Начну с полумагического квадрата 12-го порядка из статьи Гуркенса.
Код:
4 143 10 139 78 61 5 142 11 133 76 68
105 38 99 42 31 120 104 39 98 48 33 113
52 95 58 91 126 13 53 94 59 85 124 20
129 14 123 18 55 96 128 15 122 24 57 89
28 119 34 115 102 37 29 118 35 109 100 44
81 62 75 66 7 144 80 63 74 72 9 137
64 83 70 79 138 1 65 82 71 73 136 8
117 26 111 30 43 108 116 27 110 36 45 101
16 131 22 127 90 49 17 130 23 121 88 56
93 50 87 54 19 132 92 51 86 60 21 125
40 107 46 103 114 25 41 106 47 97 112 32
141 2 135 6 67 84 140 3 134 12 69 77

Этот квадрат обладает помимо свойств, присущих полумагическим квадратам Франклина, ещё интересным свойством: он симметричен относительно горизонтальной оси симметрии квадрата. То есть комплементарные числа в нём расположены не симметрично центра квадрата (как в ассоциативных магических квадратах), а симметрично горизонтальной оси симметрии. Вот подобный квадрат, построенный мной:
Код:
1 48 61 96 109 132 133 108 73 60 25 24
143 98 83 50 35 14 11 38 71 86 119 122
4 45 64 93 112 129 136 105 76 57 28 21
142 99 82 51 34 15 10 39 70 87 118 123
6 43 66 91 114 127 138 103 78 55 30 19
140 101 80 53 32 17 8 41 68 89 116 125
5 44 65 92 113 128 137 104 77 56 29 20
139 102 79 54 31 18 7 42 67 90 115 126
3 46 63 94 111 130 135 106 75 58 27 22
141 100 81 52 33 16 9 40 69 88 117 124
2 47 62 95 110 131 134 107 74 59 26 23
144 97 84 49 36 13 12 37 72 85 120 121

Гуркенс построил пандиагональный квадрат 12-го порядка, обладающий таким же свойством (см. в статье Figure 13, стр. 28). Я попробовала перевернуть последние 6 строк этого квадрата (то есть записать числа в этих строках в обратном порядке) в надежде получить идеальный магический квадрат. Но, увы! Квадрат получился в результате такого преобразования даже не магический. Не сработал этот приём и в первом (полумагическом) квадрате.

А вот подобный квадрат 16-го порядка, построенный мной. Этот квадрат полумагический, но не по Франклину, а в обычном смысле (хотя некоторые свойствами полумагических квадратов Франклина в нём выполняются, но не все). Он обладает такой же симметрией комплементарных чисел, как в приведённых двух квадратах Гуркенса.
Код:
1 240 225 223 210 63 50 80 65 176 161 159 146 127 114 16
254 19 30 36 45 196 205 179 190 83 94 100 109 132 141 243
2 128 113 160 145 175 162 79 66 64 49 224 209 239 226 15
253 131 142 99 110 84 93 180 189 195 206 35 46 20 29 244
7 234 231 217 216 57 56 74 71 170 167 153 152 121 120 10
252 21 28 38 43 198 203 181 188 85 92 102 107 134 139 245
8 122 119 154 151 169 168 73 72 58 55 218 215 233 232 9
251 133 140 101 108 86 91 182 187 197 204 37 44 22 27 246
6 124 117 156 149 171 166 75 70 60 53 220 213 235 230 11
249 135 138 103 106 88 89 184 185 199 202 39 42 24 25 248
5 236 229 219 214 59 54 76 69 172 165 155 150 123 118 12
250 23 26 40 41 200 201 183 186 87 90 104 105 136 137 247
4 126 115 158 147 173 164 77 68 62 51 222 211 237 228 13
255 129 144 97 112 82 95 178 191 193 208 33 48 18 31 242
3 238 227 221 212 61 52 78 67 174 163 157 148 125 116 14
256 17 32 34 47 194 207 177 192 81 96 98 111 130 143 241

Следует отметить, что данный квадрат получен из пандиагонального квадрата Франклина комбинацией преобразований. Ничем не примечательный квадрат! Просто полумагический. Однако он превращается в идеальный магический квадрат, если перевернуть последние восемь строк. Попробуйте!
Построив таким образом первый идеальный квадрат 16х16, я разработала этот алгоритм для любого порядка n=8k, k=1, 2, 3…
Например, идеальный магический квадрат 32-го порядка можно посмотреть здесь.
Наконец, покажу совершенный квадрат 12-го порядка, представленный Гуркенсом.
Код:
1 142 7 137 9 134 12 135 6 140 4 143
60 87 54 92 52 95 49 94 55 89 57 86
25 118 31 113 33 110 36 111 30 116 28 119
48 99 42 104 40 107 37 106 43 101 45 98
73 70 79 65 81 62 84 63 78 68 76 71
24 123 18 128 16 131 13 130 19 125 21 122
133 10 139 5 141 2 144 3 138 8 136 11
96 51 90 56 88 59 85 58 91 53 93 50
109 34 115 29 117 26 120 27 114 32 112 35
108 39 102 44 100 47 97 46 103 41 105 38
61 82 67 77 69 74 72 75 66 80 64 83
132 15 126 20 124 23 121 22 127 17 129 14

Гуркенс представил и совершенный квадрат 16-го порядка (стр. 18, Figure 7).
Как уже было сказано, у меня совершенные квадраты не получились, а только почти совершенные, за исключением квадрата 4-го порядка, который получился совершенным:
Код:
1  8  13  12
14  11  2  7
4  5  16  9
15  10  3  6

Почти совершенный квадрат 12-го порядка был приведён в одном из сообщений выше. На другие почти совершенные квадраты, можно посмотреть здесь. Эти квадраты пандиагональные, обладают свойством комплементарности, но не обладают другими свойствами совершенных квадратов.
Мне очень интересен метод, с помощью которого Гуркенс построил совершенные квадраты. Можно ли этим методом построить совершенный квадрат любого порядка n=4k? Зная о том, что между совершенными и обратимыми квадратами существует взаимнооднозначное соответствие, я применила к совершенным квадратам Гуркенса свои матричные преобразования и действительно получила обратимые квадраты. Вот, например, обратимый квадрат, которому соответствует совершенный квадрат 12-го порядка Гуркенса:
Код:
1 3 7 8 9 11 2 4 5 6 10 12
49 51 55 56 57 59 50 52 53 54 58 60
25 27 31 32 33 35 26 28 29 30 34 36
37 39 43 44 45 47 38 40 41 42 46 48
73 75 79 80 81 83 74 76 77 78 82 84
13 15 19 20 21 23 14 16 17 18 22 24
121 123 127 128 129 131 122 124 125 126 130 132
61 63 67 68 69 71 62 64 65 66 70 72
97 99 103 104 105 107 98 100 101 102 106 108
109 111 115 116 117 119 110 112 113 114 118 120
85 87 91 92 93 95 86 88 89 90 94 96
133 135 139 140 141 143 134 136 137 138 142 144

Если знать, какой обратимый квадрат соответствует, например, совершенному квадрату 20-го порядка, подобному приведённым квадратам Гуркенса, то я без труда с помощью своего матричного преобразования построю этот совершенный квадрат, а так же и все совершенные квадраты следующих порядков, потому что данное матричное преобразование работает для любого порядка n=4k. Но вот какой это будет обратимый квадрат? Из двух обратимых квадратов, полученных из совершенных квадратов Гуркенса, никакой закономерности пока выявить не удалось.
Анализ статьи Гуркенса проведён не до конца, надо посмотреть ещё на квадраты 20-го порядка. Ну, и надо бы перевести статью и нормально её прочитать.

 Профиль  
                  
 
 Совершенные магические квадраты Кора Гуркенса
Сообщение30.10.2008, 07:59 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Решила вопрос, который был поставлен в конце предыдущего сообщения.
Итак, у меня есть два матричных преобразования: первое превращает любой обратимый квадрат в совершенный, второе – обратное преобразование, которое превращает любой совершенный квадрат в обратимый (для любого порядка n=4k, k=1, 2, 3…). Как уже сказано, с помощью обратного преобразования получен обратимый квадрат, соответствующий совершенному квадрату 12-го порядка Гуркенса. Это единственный конкретный пример. Второй совершенный квадрат (16-го порядка) Гуркенс построил другим методом, что я обнаружила при внимательном рассмотрении (это отражено и в подписи под картинкой – метод 2). Поэтому квадрат 16-го порядка имеет совсем другую структуру, нежели совершенный квадрат 12-го порядка. Понятно, что и соответствующие им обратимые квадраты имеют разную структуру.
Таким образом, выявлять закономерности пришлось из одного обратимого квадрата 12х12. Выявив эти закономерности, строю обратимые квадраты порядков 4, 8, 16, 20, 32. Применяю к этим обратимым квадратам своё матричное преобразование и получаю группу совершенных квадратов, подобных совершенному квадрату Гуркенса 12-го порядка, то есть все эти совершенные квадраты имеют одинаковую структуру. Обнаружила, что совершенный квадрат 4-го порядка эквивалентен построенному мной раньше совершенному квадрату (см. в предыдущем сообщении). Следовательно, начало этой группы – совершенный квадрат 4-го порядка – было положено правильное!
У меня составлена программа, с помощью которой можно из любого обратимого квадрата получить совершенный (для любого порядка n=4k). Пользуясь этой программой за несколько минут строю совершенные квадраты перечисленных порядков. Приведу эти квадраты.
Совершенный квадрат 4-го порядка:
Код:
1  14  4  15
8  11  5  10
13  2  16  3
12  7  9  6

Совершенный квадрат 8-го порядка:
Код:
1 62 4 58 8 59 5 63
40 27 37 31 33 30 36 26
17 46 20 42 24 43 21 47
16 51 13 55 9 54 12 50
57 6 60 2 64 3 61 7
32 35 29 39 25 38 28 34
41 22 44 18 48 19 45 23
56 11 53 15 49 14 52 10

Совершенный квадрат 12-го порядка, понятно, совпадает с совершенным квадратом Гуркенса (см. предыдущее сообщение). Совершенный квадрат 16-го порядка:
Код:
1 254 5 250  8 246 13 242 16 243 12 247 9 251 4 255
144 115 140 119 137 123 132 127 129 126 133 122 136 118 141 114
33 222 37 218 40 214 45 210 48 211 44 215 41 219 36 223
96 163 92 167 89 171 84 175 81 174 85 170 88 166 93 162
65 190 69 186 72 182 77 178 80 179 76 183 73 187 68 191
64 195 60 199 57 203 52 207 49 206 53 202 56 198 61 194
97 158 101 154 104 150 109 146 112 147 108 151 105 155 100 159
32 227 28 231 25 235 20 239 17 238 21 234 24 230 29 226
241 14 245 10 248 6 253 2 256 3 252 7 249 11 244 15
128 131 124 135 121 139 116 143 113 142 117 138 120 134 125 130
209 46 213 42 216 38 221 34 224 35 220 39 217 43 212 47
176 83 172 87 169 91 164 95 161 94 165 90 168 86 173 82
177 78 181 74 184 70 189 66 192 67 188 71 185 75 180 79
208 51 204 55 201 59 196 63 193 62 197 58 200 54 205 50
145 110 149 106 152 102 157 98 160 99 156 103 153 107 148 111
240 19 236 23 233 27 228 31 225 30 229 26 232 22 237 18

Сравните этот квадрат с совершенным квадратом, приведённым Гуркенсом (стр. 18, Figure 7), вы увидите, что эти два квадрата имеют разную структуру.
Совершенный квадрат 20-го порядка:
Код:
1  398  5  394  9  391  13  386  17  382  20  383  16  387  12  390  8  395  4  399
220  183  216  187  212  190  208  195  204  199  201  198  205  194  209  191  213  186  217  182
41  358  45  354  49  351  53  346  57  342  60  343  56  347  52  350  48  355  44  359
160  243  156  247  152  250  148  255  144  259  141  258  145  254  149  251  153  246  157  242
81  318  85  314  89  311  93  306  97  302  100  303  96  307  92  310  88  315  84  319
120  283  116  287  112  290  108  295  104  299  101  298  105  294  109  291  113  286  117  282
121  278  125  274  129  271  133  266  137  262  140  263  136  267  132  270  128  275  124  279
80  323  76  327  72  330  68  335  64  339  61  338  65  334  69  331  73  326  77  322
161  238  165  234  169  231  173  226  177  222  180  223  176  227  172  230  168  235  164  239
40  363  36  367  32  370  28  375  24  379  21  378  25  374  29  371  33  366  37  362
381  18  385  14  389  11  393  6  397  2  400  3  396  7  392  10  388  15  384  19
200  203  196  207  192  210  188  215  184  219  181  218  185  214  189  211  193  206  197  202
341  58  345  54  349  51  353  46  357  42  360  43  356  47  352  50  348  55  344  59
260  143  256  147  252  150  248  155  244  159  241  158  245  154  249  151  253  146  257  142
301  98  305  94  309  91  313  86  317  82  320  83  316  87  312  90  308  95  304  99
300  103  296  107  292  110  288  115  284  119  281  118  285  114  289  111  293  106  297  102
261  138  265  134  269  131  273  126  277  122  280  123  276  127  272  130  268  135  264  139
340  63  336  67  332  70  328  75  324  79  321  78  325  74  329  71  333  66  337  62
221  178  225  174  229  171  233  166  237  162  240  163  236  167  232  170  228  175  224  179
380  23  376  27  372  30  368  35  364  39  361  38  365  34  369  31  373  26  377  22

Квадраты 24-го и 28-го порядка просто пропускаю. Далее следует совершенный квадрат 32-го порядка:
Код:
1  1022  5  1018  9  1014  13  1010  16  1006  21  1002  25  998  29  994  32  995  28  999  24  1003  20  1007  17  1011  12  1015  8  1019  4  1023
544  483  540  487  536  491  532  495  529  499  524  503  520  507  516  511  513  510  517  506  521  502  525  498  528  494  533  490  537  486  541  482
65  958  69  954  73  950  77  946  80  942  85  938  89  934  93  930  96  931  92  935  88  939  84  943  81  947  76  951  72  955  68  959
448  579  444  583  440  587  436  591  433  595  428  599  424  603  420  607  417  606  421  602  425  598  429  594  432  590  437  586  441  582  445  578
129  894  133  890  137  886  141  882  144  878  149  874  153  870  157  866  160  867  156  871  152  875  148  879  145  883  140  887  136  891  132  895
384  643  380  647  376  651  372  655  369  659  364  663  360  667  356  671  353  670  357  666  361  662  365  658  368  654  373  650  377  646  381  642
193  830  197  826  201  822  205  818  208  814  213  810  217  806  221  802  224  803  220  807  216  811  212  815  209  819  204  823  200  827  196  831
320  707  316  711  312  715  308  719  305  723  300  727  296  731  292  735  289  734  293  730  297  726  301  722  304  718  309  714  313  710  317  706
257  766  261  762  265  758  269  754  272  750  277  746  281  742  285  738  288  739  284  743  280  747  276  751  273  755  268  759  264  763  260  767
256  771  252  775  248  779  244  783  241  787  236  791  232  795  228  799  225  798  229  794  233  790  237  786  240  782  245  778  249  774  253  770
321  702  325  698  329  694  333  690  336  686  341  682  345  678  349  674  352  675  348  679  344  683  340  687  337  691  332  695  328  699  324  703
192  835  188  839  184  843  180  847  177  851  172  855  168  859  164  863  161  862  165  858  169  854  173  850  176  846  181  842  185  838  189  834
385  638  389  634  393  630  397  626  400  622  405  618  409  614  413  610  416  611  412  615  408  619  404  623  401  627  396  631  392  635  388  639
128  899  124  903  120  907  116  911  113  915  108  919  104  923  100  927  97  926  101  922  105  918  109  914  112  910  117  906  121  902  125  898
449  574  453  570  457  566  461  562  464  558  469  554  473  550  477  546  480  547  476  551  472  555  468  559  465  563  460  567  456  571  452  575
64  963  60  967  56  971  52  975  49  979  44  983  40  987  36  991  33  990  37  986  41  982  45  978  48  974  53  970  57  966  61  962
993  30  997  26  1001  22  1005  18  1008  14  1013  10  1017  6  1021  2  1024  3  1020  7  1016  11  1012  15  1009  19  1004  23  1000  27  996  31
512  515  508  519  504  523  500  527  497  531  492  535  488  539  484  543  481  542  485  538  489  534  493  530  496  526  501  522  505  518  509  514
929  94  933  90  937  86  941  82  944  78  949  74  953  70  957  66  960  67  956  71  952  75  948  79  945  83  940  87  936  91  932  95
608  419  604  423  600  427  596  431  593  435  588  439  584  443  580  447  577  446  581  442  585  438  589  434  592  430  597  426  601  422  605  418
865  158  869  154  873  150  877  146  880  142  885  138  889  134  893  130  896  131  892  135  888  139  884  143  881  147  876  151  872  155  868  159
672  355  668  359  664  363  660  367  657  371  652  375  648  379  644  383  641  382  645  378  649  374  653  370  656  366  661  362  665  358  669  354
801  222  805  218  809  214  813  210  816  206  821  202  825  198  829  194  832  195  828  199  824  203  820  207  817  211  812  215  808  219  804  223
736  291  732  295  728  299  724  303  721  307  716  311  712  315  708  319  705  318  709  314  713  310  717  306  720  302  725  298  729  294  733  290
737  286  741  282  745  278  749  274  752  270  757  266  761  262  765  258  768  259  764  263  760  267  756  271  753  275  748  279  744  283  740  287
800  227  796  231  792  235  788  239  785  243  780  247  776  251  772  255  769  254  773  250  777  246  781  242  784  238  789  234  793  230  797  226
673  350  677  346  681  342  685  338  688  334  693  330  697  326  701  322  704  323  700  327  696  331  692  335  689  339  684  343  680  347  676  351
864  163  860  167  856  171  852  175  849  179  844  183  840  187  836  191  833  190  837  186  841  182  845  178  848  174  853  170  857  166  861  162
609  414  613  410  617  406  621  402  624  398  629  394  633  390  637  386  640  387  636  391  632  395  628  399  625  403  620  407  616  411  612  415
928  99  924  103  920  107  916  111  913  115  908  119  904  123  900  127  897  126  901  122  905  118  909  114  912  110  917  106  921  102  925  98
545  478  549  474  553  470  557  466  560  462  565  458  569  454  573  450  576  451  572  455  568  459  564  463  561  467  556  471  552  475  548  479
992  35  988  39  984  43  980  47  977  51  972  55  968  59  964  63  961  62  965  58  969  54  973  50  976  46  981  42  985  38  989  34

Здесь было рассказано об авторском полумагическом квадрате 32-го порядка. Как было сказано, он построен в точном соответствии с алгоритмом Франклина в его полумагических квадратах 8-го и 16-го порядка. Мной построены: а) магический квадрат 32-го порядка (из данного полумагического квадрата 32-го порядка комбинацией преобразований); б) пандиагональный квадрат 32-го порядка (по алгоритму Франклина в его пандиагональном квадрате 16-го порядка); в) идеальный квадрат 32-го порядка (комбинацией преобразований пандиагонального квадрата); г) совершенный квадрат 32-го порядка. Последний квадрат построен только что. Интересно знать, каким образом этот квадрат связан с квадратами Франклина. Для этого надо знать, какой метод построения применил Гуркенс в представленном совершенном квадрате 12-го порядка. Я же просто построила несколько совершенных квадратов этой группы, выявив закономерности составления обратимых квадратов, соответствующих совершенным квадратам данной группы, и применив свои матричные преобразования. Итак, мы имеем полный комплект квадратов Франклина 32-го порядка. Точно такой же комплект квадратов можно составить для любого порядка n = 8k, k = 1, 2, 3 …
Таким же способом можно построить вторую группу совершенных квадратов, подобных приведённому Гуркенсом совершенному квадрату 16-го порядка. Попробую это сделать.
Будет весьма интересно, если кто-нибудь построит вторую группу совершенных квадратов, применив метод Гуркенса (в который я, конечно, не проникла) и покажет здесь эту группу. А так же неплохо построить и первую группу совершенных квадратов методом Гуркенса и сравнить построенные квадраты с теми, что получены мной. Думаю, что эти квадраты будут совершенно одинаковые.
***
Maxal, вы, кажется, собирались прислать мне сканы с описанием непонятного преобразования. В связи с нашим “научным спором” передумали? Жаль! Российская наука о магических квадратах будет беднее на одно преобразование :) Тогда сами разберитесь с этим преобразованием и расскажите здесь о нём. Это преобразование как раз применяется при построении совершенных квадратов из обратимых. Как вы видите, я нашла равносильную замену этому преобразованию.

 Профиль  
                  
 
 Совершенные квадраты Гуркенса
Сообщение31.10.2008, 04:53 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Во второй группе совершенных квадратов Гуркенса мне известен квадрат 16-го порядка. Нашла соответствующий ему обратимый квадрат. Выявить закономерности в этом квадрате оказалось несколько сложнее, чем в обратимом квадрате, соответствующем совершенному квадрату 12-го порядка первой группы. Пока построила совершенные квадраты порядков 4, 8, 12. Вот они:
n = 4
Код:
1  15  4  14
12  6  9  7
13  3  16  2
8  10  5  11

n = 8
Код:
1  59  7  61  8  62  2  60
24  46  18  44  17  43  23  45
49  11  55  13  56  14  50  12
40  30  34  28  33  27  39  29
57  3  63  5  64  6  58  4
48  22  42  20  41  19  47  21
9  51  15  53  16  54  10  52
32  38  26  36  25  35  31  37

n = 12
Код:
1  135  8  134  4  139  12  142  5  143  9  138
36  118  29  119  33  114  25  111  32  110  28  115
85  51  92  50  88  55  96  58  89  59  93  54
48  106  41  107  45  102  37  99  44  98  40  103
121  15  128  14  124  19  132  22  125  23  129  18
84  70  77  71  81  66  73  63  80  62  76  67
133  3  140  2  136  7  144  10  137  11  141  6
120  34  113  35  117  30  109  27  116  26  112  31
49  87  56  86  52  91  60  94  53  95  57  90
108  46  101  47  105  42  97  39  104  38  100  43
13  123  20  122  16  127  24  130  17  131  21  126
72  82  65  83  69  78  61  75  68  74  64  79

***
Видимо, никто не заинтересовался методами Гуркенса. Почему? Статья Гуркенса научная (в отличие от моих статей) в ней очень много сложнейших формул. Думаю, что даже если сделать хороший перевод на русский язык, мне эта статья будет не по зубам. У меня всё гораздо проще. А квадраты всё равно получаются!
Прихожу к однозначному выводу: дело не в плохом изложении результатов (как утверждает мой уважаемый оппонент), а в полном отсутствии интереса к теме. Известный мне исследователь магических квадратов Г. Александров в цитируемом здесь письме сказал, что совершенные квадраты его не интересуют. А вот это напрасно! Совершенные квадраты так же мало исследованы (особенно в русскоязычных статьях), как и идеальные квадраты.
Статью о квадратах Гуркенса пока не написала, но записала в свои планы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.10.2008, 20:27 
Заблокирован


31/10/08

115
Австралия
Здравствуйте!
Да, это верно. Я совершенными квадратами не интересуюсь, поскольку серьезно в них даже не вникал. Сейчас я озабочен вопросом: есть ли вообще пандиагональные квадраты порядка n=4k+2 ?
Недавно опубликовал статью http://renuar911.narod.ru/magicProstChetn.mht где попытался найти почти благоприятный результат. Удалось обнаружить близкие к пандиагональности решения для всех k>1. Может, у кого-то возникнет новая идея, позволяющая по всем ломаным диагоналям получить магическую сумму? Или же доказать невозможность такого исхода. Ведь пока вопрос остается открытым. Я уже полностью исчерпал потуги и способен только петь песни Магомаева.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.11.2008, 00:42 


29/09/06
4552
Nataly-Mak в сообщении #154407 писал(а):
Maxal, вы, кажется, собирались прислать мне сканы с описанием непонятного преобразования. В связи с нашим “научным спором” передумали?
И здесь не так (я реминисцирую к тому, о рекламе сайтов). Даже если кого-то из читателей темы "Магические квадраты" элементы Вашей личной жизни на самом деле интересуют, следует исходить из того, что читателей темы "Магические квадраты" Ваша личная жизнь пока не интересует. Их интересуют магические квадраты (или они делают вид, что их интересуют магические квадраты --- не важно).
Ну, и искажение ников (даже, на Ваш взгляд, незначительное) читателям тоже режет глаз.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.11.2008, 07:43 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Насчёт рекламы сайтов ВСЁ ТАК! (см. начало этой ветки)
Насчёт искажения ника. Под “читателями", которым это "режет глаз”, вы разумеете себя? Прошу прощения, если пользователю, чей ник я исказила, это неприятно. Просто я привыкла писать имена людей (даже если это ники) с заглавной буквы и у меня рука никак не ложится на строчные буквы в начале ников.
Насчёт моей личной жизни. Вопрос о непонятном преобразовании магических квадратов – это не элемент моей личной жизни. Я хочу в нём разобраться и maxal действительно собирался помочь мне в этом (о чём написано в его сообщении здесь, а не в нашей личной переписке), прислать сканы. Наш “научный спор” тоже не элемент личной жизни, он касается точного определения традиционных магических квадратов.

Добавлено спустя 2 часа 27 минут 43 секунды:

Нетрадиционные магические квадраты

Интересный вопрос исследует Aleks-Sid. Утверждение о том, что традиционные магические квадраты порядка n=4k+2, k=1, 2, 3… не могут быть ни ассоциативными, ни пандиагональными, хорошо известно. А вот кто-нибудь видел доказательство этого утверждения?
В 1979 году журнал “Наука и жизнь” опубликовал нетрадиционный идеальный квадрат 6-го порядка. Автор квадрата Я. Д. Журба (см. № 9, 1979 г., стр. 110). Конечно, квадрат в журнале назван не идеальным, а пандиагональным. Но очевидно, что квадрат является также ассоциативным, а значит это идеальный квадрат.
Код:
1  47  6  48  5  43
35  17  30  16  31  21
36  12  41  13  40  8
42  10  37  9  38  14
29  19  34  20  33  15
7  45  2  44  3  49


Комплементарные числа в этом квадрате дают в сумме 50. Интересно отметить, что квадрат обладает некоторыми свойствами совершенных квадратов. Например, сумма чисел в угловых ячейках квадрата равна 100 (2*50). Сумма чисел в каждом квадрате 2х2, находящемся внутри квадрата, тоже равна 100. Это навело меня на мысль, что квадрат можно превратить в нетрадиционный совершенный. Применяю к квадрату преобразование трёх квадратов, и вот он – нетрадиционный совершенный квадрат:
Код:
1  47  6  43  5  48
35  17  30  21  31  16
36  12  41  8  40  13
7  45  2  49  3  44
29  19  34  15  33  20
42  10  37  14  38  9

В своей статье “Нетрадиционные магические квадраты” я построила аналогичным образом нетрадиционный идеальный квадрат 14-го порядка. А вот аналогичный квадрат 10-го порядка у меня почему-то не получился. Для следующих чётно-нечётных порядков не пробовала строить нетрадиционные идеальные квадраты.
Нетрадиционный идеальный квадрат 14-го порядка тоже можно превратить в нетрадиционный совершенный квадрат аналогичным образом.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.11.2008, 21:16 
Заблокирован


31/10/08

115
Австралия
Да, хорошо бы строго даказать теорему о возможности (невозможности) построения ПАН порядка n=4k+2. Но вопрос в другом. Мне удалось получить магические суммы во всех направлениях, за исключением четырех ломаных диагоналей. А можно и это количество уменьшить? Хотя бы до двух ломаных диагоналей. Может существуют интересные преобразования, в которых я не слишком силен? Если поставленная мной задача будет решена, то это будет рывок в науке, соизмеримый разве что с открытием 45 числа Марсенна.

 Профиль  
                  
 
 Квадраты Франклина
Сообщение02.11.2008, 09:00 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Построила совершенный квадрат 20-го порядка из второй группы совершенных квадратов Гуркенса. Если в первой группе закономерность в обратимых квадратах, соответствующих совершенным, абсолютно чёткая, то во второй группе эта закономерность какая-то “ускользающая” и каждый новый квадрат (следующего порядка) приходится составлять почти интуитивным угадыванием. Вот построенный квадрат 20-го порядка из второй группы совершенных квадратов:
Код:
1  383  16  387  12  382  17  386  8  391  20  398  5  394  9  399  4  395  13  390
60  358  45  354  49  359  44  355  53  350  41  343  56  347  52  342  57  346  48  351
301  83  316  87  312  82  317  86  308  91  320  98  305  94  309  99  304  95  313  90
140  278  125  274  129  279  124  275  133  270  121  263  136  267  132  262  137  266  128  271
221  163  236  167  232  162  237  166  228  171  240  178  225  174  229  179  224  175  233  170
40  378  25  374  29  379  24  375  33  370  21  363  36  367  32  362  37  366  28  371
321  63  336  67  332  62  337  66  328  71  340  78  325  74  329  79  324  75  333  70
120  298  105  294  109  299  104  295  113  290  101  283  116  287  112  282  117  286  108  291
141  243  156  247  152  242  157  246  148  251  160  258  145  254  149  259  144  255  153  250
220  198  205  194  209  199  204  195  213  190  201  183  216  187  212  182  217  186  208  191
381  3  396  7  392  2  397  6  388  11  400  18  385  14  389  19  384  15  393  10
360  58  345  54  349  59  344  55  353  50  341  43  356  47  352  42  357  46  348  51
81  303  96  307  92  302  97  306  88  311  100  318  85  314  89  319  84  315  93  310
280  138  265  134  269  139  264  135  273  130  261  123  276  127  272  122  277  126  268  131
161  223  176  227  172  222  177  226  168  231  180  238  165  234  169  239  164  235  173  230
380  38  365  34  369  39  364  35  373  30  361  23  376  27  372  22  377  26  368  31
61  323  76  327  72  322  77  326  68  331  80  338  65  334  69  339  64  335  73  330
300  118  285  114  289  119  284  115  293  110  281  103  296  107  292  102  297  106  288  111
241  143  256  147  252  142  257  146  248  151  260  158  245  154  249  159  244  155  253  150
200  218  185  214  189  219  184  215  193  210  181  203  196  207  192  202  197  206  188  211

***
Меня очень интересует такой вопрос: существует опубликованная статья авторов Виктора и Виталия Лукояновых и Шанти П. Джаясекара, в которой есть другие полумагические квадраты Франклина, кроме квадрата 32-го порядка? Нам известны только полумагические квадраты Франклина 8-го и 16-го порядка. Почему авторы не представили полумагические квадраты 4, 12, 20, 24, 28 порядков, а представили только квадрат 32-го порядка? Или, может быть, в другой статье они их представили, но в какой именно статье? Очень хотелось бы узнать! В цитированной выше статье авторы пишут: “Особенно ценным является то, что при построении модифицированных квадратов Бенджамина Франклина больших размеров нами были установлены значения разностей между соседними числами как по горизонтали, так и по вертикали, что даёт возможность надёжно контролировать весь ход оптимального построения основного поля квадратов на любом этапе”. А где же эти квадраты больших размеров? И ещё никак не пойму, почему авторы говорят о какой-то модификации, если полумагический квадрат 32-го порядка, представленный ими, построен в точном соответствии с алгоритмом Франклина (он даже не преобразован, в отличие от квадратов, построенных мной; были применены эквивалентные преобразования с целью приведения квадратов к виду, удобному для применения метода качелей).
Выше я сказала, что можно составить полный комплект квадратов Франклина любого порядка n=8k, k=1, 2, 3… Был показан такой комплект для n=32. Для других чётно-чётных порядков из комплекта выпадают идеальные квадраты; идеальные квадраты порядков не кратных 8 по алгоритму Франклина мне построить не удалось.
Хочу здесь представить ещё один комплект, для n=24. Просмотрев свои статьи о квадратах Франклина, обнаружила, что полумагический квадрат 24-го порядка в них не представлен, хотя он, конечно, построен. В статьях есть а) магический квадрат, б) пандиагональный квадрат, в) идеальный квадрат. Осталось показать полумагический квадрат и совершенный квадрат. Совершенный квадрат я построила подобный совершенному квадрату Гуркенса 12-го порядка (то есть из первой группы). Когда я представляла здесь первую группу совершенных квадратов Гуркенса, квадрат 24-го порядка был пропущен.
Замечу, что полумагический квадрат построен в точном соответствии с алгоритмом Франклина в его полумагических квадратах; пандиагональный квадрат построен в точном соответствии с алгоритмом Франклина в его пандиагональном квадрате 16-го порядка. Тут даже не надо говорить о какой бы то ни было модификации (как говорят авторы полумагического квадрата 32-го порядка). Это квадраты Франклина в чистом виде. Мои методы построения квадратов Франклина были получены применением к известным квадратам Франклина метода качелей (мне предлагали здесь показать, что на земле не существует таких квадратов Франклина, какие построены мной; абсолютно точно можно сказать, что не существует, потому что никто на земле не мог применить к квадратам Франклина метод качелей, изобретённый мной; никто в мире, да и в нашей стране, об этом методе просто ничего не знает; статьи на сайте, разумеется, не в счёт).
Полумагический квадрат Франклина 24-го порядка:
Код:
1 48 49 96 97 144 145 192 193 240 241 288 289 336 337 384 385 432 433 480 481 528 529 576
575 530 527 482 479 434 431 386 383 338 335 290 287 242 239 194 191 146 143 98 95 50 47 2
3 46 51 94 99 142 147 190 195 238 243 286 291 334 339 382 387 430 435 478 483 526 531 574
573 532 525 484 477 436 429 388 381 340 333 292 285 244 237 196 189 148 141 100 93 52 45 4
5 44 53 92 101 140 149 188 197 236 245 284 293 332 341 380 389 428 437 476 485 524 533 572
571 534 523 486 475 438 427 390 379 342 331 294 283 246 235 198 187 150 139 102 91 54 43 6
24 25 72 73 120 121 168 169 216 217 264 265 312 313 360 361 408 409 456 457 504 505 552 553
554 551 506 503 458 455 410 407 362 359 314 311 266 263 218 215 170 167 122 119 74 71 26 23
22 27 70 75 118 123 166 171 214 219 262 267 310 315 358 363 406 411 454 459 502 507 550 555
556 549 508 501 460 453 412 405 364 357 316 309 268 261 220 213 172 165 124 117 76 69 28 21
20 29 68 77 116 125 164 173 212 221 260 269 308 317 356 365 404 413 452 461 500 509 548 557
558 547 510 499 462 451 414 403 366 355 318 307 270 259 222 211 174 163 126 115 78 67 30 19
18 31 66 79 114 127 162 175 210 223 258 271 306 319 354 367 402 415 450 463 498 511 546 559
560 545 512 497 464 449 416 401 368 353 320 305 272 257 224 209 176 161 128 113 80 65 32 17
16 33 64 81 112 129 160 177 208 225 256 273 304 321 352 369 400 417 448 465 496 513 544 561
562 543 514 495 466 447 418 399 370 351 322 303 274 255 226 207 178 159 130 111 82 63 34 15
14 35 62 83 110 131 158 179 206 227 254 275 302 323 350 371 398 419 446 467 494 515 542 563
564 541 516 493 468 445 420 397 372 349 324 301 276 253 228 205 180 157 132 109 84 61 36 13
7 42 55 90 103 138 151 186 199 234 247 282 295 330 343 378 391 426 439 474 487 522 535 570
569 536 521 488 473 440 425 392 377 344 329 296 281 248 233 200 185 152 137 104 89 56 41 8
9 40 57 88 105 136 153 184 201 232 249 280 297 328 345 376 393 424 441 472 489 520 537 568
567 538 519 490 471 442 423 394 375 346 327 298 279 250 231 202 183 154 135 106 87 58 39 10
11 38 59 86 107 134 155 182 203 230 251 278 299 326 347 374 395 422 443 470 491 518 539 566
565 540 517 492 469 444 421 396 373 348 325 300 277 252 229 204 181 156 133 108 85 60 37 12

Совершенный квадрат 24-го порядка (построен подобно совершенному квадрату Гуркенса; как он связан с квадратами Франклина, каким способом из них получен, не могу сказать, надо спросить Гуркенса :) ):
Код:
1  574  5  570  9  566  12  562  17  558  21  554  24  555  20  559  16  563  13  567  8  571  4  575
312  267  308  271  304  275  301  279  296  283  292  287  289  286  293  282  297  278  300  274  305  270  309  266
49  526  53  522  57  518  60  514  65  510  69  506  72  507  68  511  64  515  61  519  56  523  52  527
240  339  236  343  232  347  229  351  224  355  220  359  217  358  221  354  225  350  228  346  233  342  237  338
97  478  101  474  105  470  108  466  113  462  117  458  120  459  116  463  112  467  109  471  104  475  100  479
192  387  188  391  184  395  181  399  176  403  172  407  169  406  173  402  177  398  180  394  185  390  189  386
145  430  149  426  153  422  156  418  161  414  165  410  168  411  164  415  160  419  157  423  152  427  148  431
144  435  140  439  136  443  133  447  128  451  124  455  121  454  125  450  129  446  132  442  137  438  141  434
193  382  197  378  201  374  204  370  209  366  213  362  216  363  212  367  208  371  205  375  200  379  196  383
96  483  92  487  88  491  85  495  80  499  76  503  73  502  77  498  81  494  84  490  89  486  93  482
241  334  245  330  249  326  252  322  257  318  261  314  264  315  260  319  256  323  253  327  248  331  244  335
48  531  44  535  40  539  37  543  32  547  28  551  25  550  29  546  33  542  36  538  41  534  45  530
553  22  557  18  561  14  564  10  569  6  573  2  576  3  572  7  568  11  565  15  560  19  556  23
288  291  284  295  280  299  277  303  272  307  268  311  265  310  269  306  273  302  276  298  281  294  285  290
505  70  509  66  513  62  516  58  521  54  525  50  528  51  524  55  520  59  517  63  512  67  508  71
360  219  356  223  352  227  349  231  344  235  340  239  337  238  341  234  345  230  348  226  353  222  357  218
457  118  461  114  465  110  468  106  473  102  477  98  480  99  476  103  472  107  469  111  464  115  460  119
408  171  404  175  400  179  397  183  392  187  388  191  385  190  389  186  393  182  396  178  401  174  405  170
409  166  413  162  417  158  420  154  425  150  429  146  432  147  428  151  424  155  421  159  416  163  412  167
456  123  452  127  448  131  445  135  440  139  436  143  433  142  437  138  441  134  444  130  449  126  453  122
361  214  365  210  369  206  372  202  377  198  381  194  384  195  380  199  376  203  373  207  368  211  364  215
504  75  500  79  496  83  493  87  488  91  484  95  481  94  485  90  489  86  492  82  497  78  501  74
313  262  317  258  321  254  324  250  329  246  333  242  336  243  332  247  328  251  325  255  320  259  316  263
552  27  548  31  544  35  541  39  536  43  532  47  529  46  533  42  537  38  540  34  545  30  549  26

Остальные квадраты Франклина 24-го порядка смотрите в моих статьях. Магический квадрат здесь, рис. 29, пандиагональный квадрат здесь, рис. 5, идеальный квадрат здесь, рис. 7.

 Профиль  
                  
 
 Непонятное преобразование
Сообщение02.11.2008, 16:03 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Возвращаюсь к непонятному преобразованию. Может быть, разберёмся?
Сначала повторю ссылку на статью, из которой преобразование взято:
http://www.geocities.com/~harveyh/most-perfect.htm
В примере, приведённом в статье, показано превращение самого простого обратимого квадрата 4-го порядка в совершенный квадрат. Делается это в три этапа. Первый этап – перестановка столбцов в правой половине квадрата. Это самый простой обратимый квадрат:
Код:
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16

Это квадрат, полученный после первого этапа:
Код:
1 2 4 3
5 6 8 7
9 10 12 11
13 14 16 15

Второй этап – перестановка строк в нижней половине квадрата, полученного на первом этапе. Вот результат второго этапа:
Код:
1 2 4 3
5 6 8 7
13 14 16 15
9 10 12 11

По сути дела два первых этапа равносильны описанному мной преобразованию трёх квадратов, которое превращает любой ассоциативный квадрат чётно-чётного порядка в пандиагональный. Здесь тоже получен квадрат, сумма чисел в разломанных диагоналях которого равна магической константе квадрата 4-го порядка. Однако этот квадрат пока не магический, нет магической суммы в строках и столбцах квадрата. На третьем этапе и вступает в действие непонятное преобразование. Для квадрата любого порядка n преобразование выглядит так:
$T=\left[
\begin{array}{cc}
1 & k \\
k & k+1 \\
\end{array}%
\right]$
где k=n/2.
Для конкретного примера - квадрата 4-го порядка - преобразование имеет вид:
$T=\left[
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 3 \\
\end{array}%
\right]$
Итак, к квадрату, полученному на втором этапе, применяется данное преобразование и получается совершенный квадрат:
Код:
1 15 4 14
8 10 5 11
13 3 16 2
12 6 9 7

Осталось понять, как данное преобразование действует.
Для нового примера: вот квадрат 8-го порядка, полученный из самого простого обратимого квадрата в результате первых двух этапов:
Код:
1 2 3 4 8 7 6 5
9 10 11 12 16 15 14 13
17 18 19 20 24 23 22 21
25 26 27 28 32 31 30 29
57 58 59 60 64 63 62 61
49 50 51 52 56 55 54 53
41 42 43 44 48 47 46 45
33 34 35 36 40 39 38 37

Теперь к этому квадрату надо применить следующее преобразование:
$T=\left[
\begin{array}{cc}
1 & 4 \\
4 & 5 \\
\end{array}%
\right]$
и должен получиться совершенный квадрат 8-го порядка.
Как уже было сказано, я нашла равносильную замену всем трём этапам преобразований – матричное преобразование. Но мне хочется понять, как же работает данное преобразование.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2870 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ... 192  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group