Не знаю, будет ли это кому-то интересно, но представляю небольшой анализ результатов Кора Гуркенса (ссылка на статью указана в предыдущем сообщении) и сопоставление их с моими результатами. Замечу, что совершенно не вникала в методы Гуркенса (читать текст не могу), а рассматривала только построенные квадраты по картинкам. Результаты, полученные Гуркенсом, впечатляют. И самый лучший результат – это, конечно, совершенные квадраты. Но всё по порядку.
Начну с полумагического квадрата 12-го порядка из статьи Гуркенса.
Код:
4 143 10 139 78 61 5 142 11 133 76 68
105 38 99 42 31 120 104 39 98 48 33 113
52 95 58 91 126 13 53 94 59 85 124 20
129 14 123 18 55 96 128 15 122 24 57 89
28 119 34 115 102 37 29 118 35 109 100 44
81 62 75 66 7 144 80 63 74 72 9 137
64 83 70 79 138 1 65 82 71 73 136 8
117 26 111 30 43 108 116 27 110 36 45 101
16 131 22 127 90 49 17 130 23 121 88 56
93 50 87 54 19 132 92 51 86 60 21 125
40 107 46 103 114 25 41 106 47 97 112 32
141 2 135 6 67 84 140 3 134 12 69 77
Этот квадрат обладает помимо свойств, присущих полумагическим квадратам Франклина, ещё интересным свойством: он симметричен относительно горизонтальной оси симметрии квадрата. То есть комплементарные числа в нём расположены не симметрично центра квадрата (как в ассоциативных магических квадратах), а симметрично горизонтальной оси симметрии. Вот подобный квадрат, построенный мной:
Код:
1 48 61 96 109 132 133 108 73 60 25 24
143 98 83 50 35 14 11 38 71 86 119 122
4 45 64 93 112 129 136 105 76 57 28 21
142 99 82 51 34 15 10 39 70 87 118 123
6 43 66 91 114 127 138 103 78 55 30 19
140 101 80 53 32 17 8 41 68 89 116 125
5 44 65 92 113 128 137 104 77 56 29 20
139 102 79 54 31 18 7 42 67 90 115 126
3 46 63 94 111 130 135 106 75 58 27 22
141 100 81 52 33 16 9 40 69 88 117 124
2 47 62 95 110 131 134 107 74 59 26 23
144 97 84 49 36 13 12 37 72 85 120 121
Гуркенс построил пандиагональный квадрат 12-го порядка, обладающий таким же свойством (см. в статье Figure 13, стр. 28). Я попробовала перевернуть последние 6 строк этого квадрата (то есть записать числа в этих строках в обратном порядке) в надежде получить идеальный магический квадрат. Но, увы! Квадрат получился в результате такого преобразования даже не магический. Не сработал этот приём и в первом (полумагическом) квадрате.
А вот подобный квадрат 16-го порядка, построенный мной. Этот квадрат полумагический, но не по Франклину, а в обычном смысле (хотя некоторые свойствами полумагических квадратов Франклина в нём выполняются, но не все). Он обладает такой же симметрией комплементарных чисел, как в приведённых двух квадратах Гуркенса.
Код:
1 240 225 223 210 63 50 80 65 176 161 159 146 127 114 16
254 19 30 36 45 196 205 179 190 83 94 100 109 132 141 243
2 128 113 160 145 175 162 79 66 64 49 224 209 239 226 15
253 131 142 99 110 84 93 180 189 195 206 35 46 20 29 244
7 234 231 217 216 57 56 74 71 170 167 153 152 121 120 10
252 21 28 38 43 198 203 181 188 85 92 102 107 134 139 245
8 122 119 154 151 169 168 73 72 58 55 218 215 233 232 9
251 133 140 101 108 86 91 182 187 197 204 37 44 22 27 246
6 124 117 156 149 171 166 75 70 60 53 220 213 235 230 11
249 135 138 103 106 88 89 184 185 199 202 39 42 24 25 248
5 236 229 219 214 59 54 76 69 172 165 155 150 123 118 12
250 23 26 40 41 200 201 183 186 87 90 104 105 136 137 247
4 126 115 158 147 173 164 77 68 62 51 222 211 237 228 13
255 129 144 97 112 82 95 178 191 193 208 33 48 18 31 242
3 238 227 221 212 61 52 78 67 174 163 157 148 125 116 14
256 17 32 34 47 194 207 177 192 81 96 98 111 130 143 241
Следует отметить, что данный квадрат получен из пандиагонального квадрата Франклина комбинацией преобразований. Ничем не примечательный квадрат! Просто полумагический. Однако он превращается в идеальный магический квадрат, если перевернуть последние восемь строк. Попробуйте!
Построив таким образом первый идеальный квадрат 16х16, я разработала этот алгоритм для любого порядка n=8k, k=1, 2, 3…
Например, идеальный магический квадрат 32-го порядка можно посмотреть
здесь.
Наконец, покажу совершенный квадрат 12-го порядка, представленный Гуркенсом.
Код:
1 142 7 137 9 134 12 135 6 140 4 143
60 87 54 92 52 95 49 94 55 89 57 86
25 118 31 113 33 110 36 111 30 116 28 119
48 99 42 104 40 107 37 106 43 101 45 98
73 70 79 65 81 62 84 63 78 68 76 71
24 123 18 128 16 131 13 130 19 125 21 122
133 10 139 5 141 2 144 3 138 8 136 11
96 51 90 56 88 59 85 58 91 53 93 50
109 34 115 29 117 26 120 27 114 32 112 35
108 39 102 44 100 47 97 46 103 41 105 38
61 82 67 77 69 74 72 75 66 80 64 83
132 15 126 20 124 23 121 22 127 17 129 14
Гуркенс представил и совершенный квадрат 16-го порядка (стр. 18, Figure 7).
Как уже было сказано, у меня совершенные квадраты не получились, а только почти совершенные, за исключением квадрата 4-го порядка, который получился совершенным:
Код:
1 8 13 12
14 11 2 7
4 5 16 9
15 10 3 6
Почти совершенный квадрат 12-го порядка был приведён в одном из сообщений выше. На другие почти совершенные квадраты, можно посмотреть
здесь. Эти квадраты пандиагональные, обладают свойством комплементарности, но не обладают другими свойствами совершенных квадратов.
Мне очень интересен метод, с помощью которого Гуркенс построил совершенные квадраты. Можно ли этим методом построить совершенный квадрат любого порядка n=4k? Зная о том, что между совершенными и обратимыми квадратами существует взаимнооднозначное соответствие, я применила к совершенным квадратам Гуркенса свои матричные преобразования и действительно получила обратимые квадраты. Вот, например, обратимый квадрат, которому соответствует совершенный квадрат 12-го порядка Гуркенса:
Код:
1 3 7 8 9 11 2 4 5 6 10 12
49 51 55 56 57 59 50 52 53 54 58 60
25 27 31 32 33 35 26 28 29 30 34 36
37 39 43 44 45 47 38 40 41 42 46 48
73 75 79 80 81 83 74 76 77 78 82 84
13 15 19 20 21 23 14 16 17 18 22 24
121 123 127 128 129 131 122 124 125 126 130 132
61 63 67 68 69 71 62 64 65 66 70 72
97 99 103 104 105 107 98 100 101 102 106 108
109 111 115 116 117 119 110 112 113 114 118 120
85 87 91 92 93 95 86 88 89 90 94 96
133 135 139 140 141 143 134 136 137 138 142 144
Если знать, какой обратимый квадрат соответствует, например, совершенному квадрату 20-го порядка, подобному приведённым квадратам Гуркенса, то я без труда с помощью своего матричного преобразования построю этот совершенный квадрат, а так же и все совершенные квадраты следующих порядков, потому что данное матричное преобразование работает для любого порядка n=4k. Но вот какой это будет обратимый квадрат? Из двух обратимых квадратов, полученных из совершенных квадратов Гуркенса, никакой закономерности пока выявить не удалось.
Анализ статьи Гуркенса проведён не до конца, надо посмотреть ещё на квадраты 20-го порядка. Ну, и надо бы перевести статью и нормально её прочитать.
)
![$T=\left[
\begin{array}{cc}
1 & k \\
k & k+1 \\
\end{array}%
\right]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/d/77db481ec5fd45eb29c3eefd066be48582.png "$T=\left[
\begin{array}{cc}
1 & k \\
k & k+1 \\
\end{array}%
\right]$")
![$T=\left[
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 3 \\
\end{array}%
\right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/d/c2d3275de4e6dc711aed777e963d55fc82.png "$T=\left[
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 3 \\
\end{array}%
\right]$")
![$T=\left[
\begin{array}{cc}
1 & 4 \\
4 & 5 \\
\end{array}%
\right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/6/c666935a419a4775534a1844091d81fe82.png "$T=\left[
\begin{array}{cc}
1 & 4 \\
4 & 5 \\
\end{array}%
\right]$")