Глубокоуважаемые Участники обсуждения!
shwedka писал(а):
Рассмотрение примера
, с нулевой дивергенцией и выполнением уравнения Эйлера, становится допустимым.
По этому поводу следует заметить:
1. При поиске (или при угадывании?) общего решения на него наложено столько ограничений, что усеченное поле скоростей удовлетворяет не только УЭ, но еще и уравнениям Навье-Стокса (УНС) при ненулевой вязкости, а также уравнению Лапласа.
2. И с физической, и с математической точек зрения поле имеет существенные изъяны, а именно: на поверхности сферы бесконечного радиуса компоненты скорости изменяются от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Цитата:
Пример показывает, что ключевое утверждение автора о равенстве нулю дивергенции ускорения ошибочно, так как для этого поля скоростей дивергенция ускорения равна 6. Предложенный на основе исчезания дивергенции ускорения метод линеаризации уравнений Навье-Стокса недействителен. Статья ''Шестая проблема тысячелетия (Millennium Problems) разрешима классическими методами'', за исключением некоторых тривиальных и общеизвестных фактов, ошибочна.[/i]
Но ведь Вами также приведен пример векторного поля и с нулевой дивергенцией ускорения
.Поэтому, вероятно, такой Ваш вывод с односторонней ориентацией только на отрицательный результат для математика-профессионала следует считать поспешным.
Цитата:
Вы утверждаете, что если сумма шести членов не ноль, то формула для дивергенции нарушится. Я же ДОКАЗАЛА, что для поля с нулевой дивергенцией сумма шести членов ВСЕГДА равна нулю АВТОМАТИЧЕСКИ(если поверить (4)). Тем самым самым Ваше утверждение, хотя и правильное, оказывается не относящимся к делу. Для бездивергентного поля эта сумма всегда ноль, поэтому совершенно не важно, что происходит, если она не ноль. Еще по-другому. Это ограничение есть, но оно НЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ.
А мы попробуем проверить эти утверждения на обоих Ваших примерах.
1. Подставим данные поля
в формулу (10). После группирования оставшихся членов получим
![\[
\left( {\frac{{\partial u_x }}{{\partial y}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial x}}} \right) + \left( {\frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial x}}} \right) + \left( {\frac{{\partial u_y }}{{\partial z}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}}} \right) = 0
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/c/7cc33354ec0e9fad6a064108f38e1fdc82.png "\[
\left( {\frac{{\partial u_x }}{{\partial y}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial x}}} \right) + \left( {\frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial x}}} \right) + \left( {\frac{{\partial u_y }}{{\partial z}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}}} \right) = 0
\]")
(1,а)
Каждый из этих членов характеризует деформацию сдвига (изменение прямого угла прямоугольного параллелепипеда). Поскольку вся сумма равна нулю, то среди этих трех членов в скобках есть и положительные члены, и отрицательные либо каждый из них равен нулю. Однако, для этого векторного поля все компоненты скорости деформации положительны и равны между собой
![\[
\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial x}}} \right) = \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial z}} + \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial x}}} \right) = \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial z}} + \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial y}}} \right) = 2
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/4/474b6c950a3cfe6bd214147bee38224e82.png "\[
\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial x}}} \right) = \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial z}} + \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial x}}} \right) = \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial z}} + \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial y}}} \right) = 2
\]")
(1,б)
Вопрос.
Откуда возьмутся отрицательные деформации сдвига при положительных скоростях деформаций? Как видите, именно Ваш контрпример противоречит Вашим же утверждениям. Более подробные выводы по поводу этого конрпримера и правомочности Вашего доказательства об упомянутых в цитате ограничениях, надеюсь, Вы сделаете сами.
2. Проверим теперь Ваш пример с нулевой дивергенцией ускорения
. После подстановки этих данных в формулу (10) имеем:
![\[
\frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} + \frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} = 0
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/8/d6872d8b43a4c7cd83abd8e40e964b5282.png "\[
\frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} + \frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} = 0
\]")
(2,а)
Здесь каждый член характеризует одну из двух составляющих соответствующей компоненты деформации сдвига. При этом одноименные составляющие тех же компонент скоростей деформаций
![\[
\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial x}} = \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial z}} = 0
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/0/860b251cf5e47b67faef5749bb3eee2d82.png "\[
\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial x}} = \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial z}} = 0
\]")
(2,б)
Сравнение данных обеих формул свидетельствует об их полной совместимости. К тому же равенство нулю каждой компоненты скоростей деформаций означает, что
![\[
\frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} = \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} = \frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} = 0
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/1/21118f2e737b5805376348c4a3f5dc6582.png "\[
\frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} = \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} = \frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} = 0
\]")
(2,аб)
Этот результат лишний раз подтверждает мои выводы о том, что в формуле (10) не только всю сумму, но и каждый из шести ее членов, следует считать равными нулю.
Надеюсь, что сравнение приведенных выше результатов позволяет Вам, опытному математику, сформулировать ответ, более профессиональный по сравнению с моим, на Ваш же вопрос:
Цитата:
Пoвторяю вопрос.
Вы по-прежнему утверждаете, что могут быть векторные поля, не удовлетворяющие (10)?? Или нет?,
поскольку
именно векторное полене удовлетворяет формуле (10).А теперь попробуем разобраться, почему Ваш контрпример, казавшийся таким неопровержимым, на самом деле опровергает Ваши же доказательства.
С этой целью для большей общности запишем в векторной форме УНС, поскольку векторное поле из Вашего контрпримера им тоже удовлетворяет
![\[
\rho \vec F - {\mathop{\rm grad}\nolimits} p + \mu \nabla ^2 \dot \vec u = \rho \ddot \vec u
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/8/6a82d4f312e653924bea1836fbf1949182.png "\[
\rho \vec F - {\mathop{\rm grad}\nolimits} p + \mu \nabla ^2 \dot \vec u = \rho \ddot \vec u
\]")
(15)
При некоторых ограничениях по отношению к первому члену операция
![\[
{\mathop{\rm rot}\nolimits}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/c/3bc5f3aae6794c24bd3d222e9e20757a82.png "\[
{\mathop{\rm rot}\nolimits}
\]")
позволяет привести (15) к виду
![\[
\mu \nabla ^2 {\mathop{\rm rot}\nolimits} \dot \vec u = \rho {\mathop{\rm rot}\nolimits} \ddot \vec u
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/a/60a0e99acde945b984b440dd1e1b5d4782.png "\[
\mu \nabla ^2 {\mathop{\rm rot}\nolimits} \dot \vec u = \rho {\mathop{\rm rot}\nolimits} \ddot \vec u
\]")
(15,а)
т.е. исключить первых два члена. Это позволяет искать общее решение (15,а) без использования уравнения неразрывности, поскольку количество неизвестных (три компоненты скорости) соответствует количеству уравнений. Таким образом, уравнение неразрывности по сути дела является не замыкающим для системы, а ограничивающим условием, которое можно наложить и после получения решения (15,а).
(В этом ничего удивительного нет, поскольку уравнение неразрывности является замыкающим только при рассмотрении течения сжимаемой жидкости из-за переменной плотности). Если перед решением (15,а) применить, как это сделали Вы (сознательно или случайно?) необычайно сильное ограничение
![\[
{\mathop{\rm rot}\nolimits} \dot \vec u = 0
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/2/5d222d9f64df339ce66ccd6ddca6882182.png "\[
{\mathop{\rm rot}\nolimits} \dot \vec u = 0
\]")
, то вместо (15,а) нам придется искать решение усеченного и достаточно простого уравнения по сравнению с (15,а). Если к тому же наложить или при угадывании решения не заметить еще какие-то ограничения, то может оказаться, что наложение основного ограничения
![\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = 0
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/4/ca436b3b1d015f9391858f6ed7a7b0d082.png "\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = 0
\]")
совместно с вытекающими из него по формуле (10) дополнительными ограничениями не возможно. Своими предварительными ограничениями мы отсекли такую возможность, поскольку убрали те слагаемые, которые позволяли это сделать. Именно это и произошло при построении решения согласно Вашему контрпримеру. На возможность принять
эти предварительные ограничения еще не подействовали, а вот шестичлен уравнения (10) оказался достаточно потрепанным и непригодным для законных преобразований. Судите сами, половина составляющих (со знаком минус) исчезла, а оставшаяся принудительно ограничена достаточно жестким условием
![\[
\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_j }}{{\partial x_i }}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/d/4fd11840593cd5e97cc998a47a45552d82.png "\[
\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_j }}{{\partial x_i }}
\]")
Цитата:
Рассуждение о бесконечно малых временах и элементарных объемах не принимается. математическая строгость отсутствует. Дайте, для начала, Ваше определение элементарного объема и докажите для начала (1).
Эту формулу и ее вывод Вы найдете, например, у Кочина Н.Е., стр. 259, а также в учебниках МСС и гидромеханики.
С уважением, Александр Козачок
. Все оттуда же?? Если сумма равна нулю, то равно нулю каждое слагаемое?? (Суперправило Козачка). Или у Вас доказательство есть?? Поделитесь, плиз.
. дивергенция равна нулю. Уравнения Эйлера выполнены.
:
![\[
\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} - 2\frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} = 0
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/1/7f144f6dc80aec030d91722de6f39f6d82.png "\[
\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} - 2\frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} = 0
\]")
, а должно быть ![\[
\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} = 0
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/5/6e57d8488b5f4035abc6e881556ade2182.png "\[
\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} + \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} = 0
\]")
.![\[
\sigma _{ii} = - p + 2\mu \frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial x_i }},_{} _{} \sigma _{ij} = \mu \left( {\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial \dot u_j }} + \frac{{\partial \dot u_j }}{{\partial x_i }}} \right)
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/4/2447c11d699e6d01045634a3f2e8497882.png "\[
\sigma _{ii} = - p + 2\mu \frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial x_i }},_{} _{} \sigma _{ij} = \mu \left( {\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial \dot u_j }} + \frac{{\partial \dot u_j }}{{\partial x_i }}} \right)
\]")
(30)
![\[
\rho F_i - \frac{{\partial p}}{{\partial x_i }} + \mu \nabla ^2 \dot u_i = \rho \left( {\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial z}}} \right)
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/6/2e6b769d4bb141c641f7b495b62bf01b82.png "\[
\rho F_i - \frac{{\partial p}}{{\partial x_i }} + \mu \nabla ^2 \dot u_i = \rho \left( {\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial z}}} \right)
\]")
(32)
![\[
\sigma _{ii} = - p
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/0/a60ef117aa9459de6777386e74c5053182.png "\[
\sigma _{ii} = - p
\]")
. Но из первого соотношения (30) отчетливо видно, что такое предположение допустимо только при необычайно жестком ограничении ![\[
\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial x_i }} = 0
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/f/c1f69dfcc518a3de0202b7053243cea582.png "\[
\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial x_i }} = 0
\]")
. Поэтому для получения правдоподобных результатов именно в таком виде, а не ![\[
\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial x_i }} \ne 0
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/e/04e9d9a9928b1df81fbd38617256da0b82.png "\[
\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial x_i }} \ne 0
\]")
. Напомню, что в первом конрпримере с нулевой дивергенцией ускорения это обязательное ограничение фигурирует.
![\[
\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial \dot u_j }} = 0
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/8/128b2ae801da9eede5d8dd29477093c182.png "\[
\frac{{\partial \dot u_i }}{{\partial \dot u_j }} = 0
\]")
. 
. 
. 
.
обозначена дивергенция перемещения )
при 
достаточно близких к нулю, те 
при 
при 
при 
при