Размышления о ВТФ для Р = 3

[vasili]

Уважаемый Valprim! Мне хотелось, что бы Вы высказали свое предложение по возможности доказательства сравнения $3^{2n}\equiv m_2 (m_1)\mod p_2$. Мною найдены только 7 простых чисел $p_2$, которые удовлетворяют указанное сравнение.Эти числа приведены мною в предыдущем посте.

[Valprim]

vasili в сообщении #1512557 писал(а):

3.1. Введем «Допущение», а именно:
$3 ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $ или
$3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2\engo (15) $,

Согласно (19), $3 ^ {2n}\equiv m_1^2\mod p_2 $
Вычеты $m_1, m_2$, принадлежат системе наименьших натуральных вычетов по модулю $p_2$ без каких либо ограничений, поэтому непонятна необходимость доказательства указанных допущений.

[vasili]

Уважаемый Valprim!
Мои нижеследующие размышления о делителях трехчлена $z^2 - z x + x^2$ покажут, что предыдущие размышления носят частный случай.
И так.
1. Множество простых чисел вида $6n + 1 $, согласно Дирихле, бесконечно.
2.Пусть М множество чисел $p_2 = 6n + 1$.
3.Так как $[2^{2n}] ^ 3\equiv 1\mod p_2 $ и $[3^{2n}] ^ 3\equiv 1\mod p_2$,
то степень $2^{2n}$ и степень $3^{2n}$
или
--принадлежат показателю 3 по модулю $p_2$ и тогда справедливы сравнения:
$2 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2$ или $\equiv m_1\mod p_2 $,
$3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2$ или $\equiv m_1\mod p_2 $
или
---не принадлежат показателю 3 по модулю $p_2$ и тогда справедливы сравнения:
$2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,

$3 ^ {2n}\equiv 1\mod p_ 2 $.
Учитывая это, получаем 9-ть подмножеств множества M, обладающие различными свойствами. В самом деле:

I.Пусть простые числа $p_ {2(M1)} = 6n_1 + 1$ являются элементами подмножества $M_1$ множества M, обладающими свойством – удовлетворять нижеследующие сравнения:

$2 ^ {2n_1}\equiv 1\mod p_ {2(M1)} $ и

$3 ^ {2n_1}\equiv m_2\mod p_ {2(M1)} $,
отсюда
$2 ^ {2n_1}3 ^ {2n_1}\equiv m_2\mod p_{2(M1)} $.
Пример:
$p_{2(M1)} = 31$, $2n_1 =(31 - 1)/3 = 10$,

$2 ^ {2n_1} = 2 ^ {10}\equiv 1\mod 31$ и

$3 ^ {2n_1} =3 ^ {10}\equiv m_2 = 25\mod 31$.
Найдены еще элементы подмножества $M_1$:
$p_{2(M1)} = 43, 109, 127, 223, 229.$


II. Пусть простые числа $p_ {2(M2)} = 6n_2 + 1 $ являются элементами подмножества $M_2$ множества M, обладающими свойством – удовлетворять нижеследующие сравнения:

$2 ^ {2n_2}\equiv 1\mod p_{2(M2)} $ и

$3 ^ {2n_2}\equiv m_1\mod p_ {2(M2)} $,
тогда
$2 ^ {2n_2} 3 ^ {2n_2}\equiv m_1\mod p_{2(M2)} $.
Пример:
$p_{2(M2)} = 157$, $2n_2 = (157 - 1)/3= 52 $,

$2 ^ {2n_2} = 2 ^ {52}\equiv 1\mod 157$ и

$3 ^ {2n_2} = 3 ^ {52}\equiv m_1 = 12\mod 157$.


III. Пусть простые числа $p_ {2(M3)} = 6n_3 + 1$ являются элементами множества $M_3$ множества M, обладающими свойством – удовлетворять нижеследующие сравнения:

$2 ^ {2n_3}\equiv m_2\mod p_ {2(M3)} $ и

$3 ^ {2n_3}\equiv 1\mod p_ {2(M3)} $,
тогда
$2 ^ {2n_3} 3^ {2n_3}\equiv m_2\mod p_ {2(M3)} $.
Пример:
$p_ {2(M3)} = 61$, $2n_3 = (61 - 1)/3 = 20 $,

$2 ^ {2n_3} = 2 ^ {20}\equiv m_2 = 47\mod 61 $ и

$3^ {2n_3} = 3 ^ {20}\equiv 1\mod 61$.
Найдены еще элементы подмножества $M_3$:
$p_2{3} = 67, 73$.
IV.Пусть простые числа $p_ {2(M4)} = 6n_4 + 1$ являются элементами подмножества $M_4$ множества M, обладающими свойством – удовлетворять нижеследующие сравнения:

$2 ^ {2n_4}\equiv m_1\mod $p_ {2(M4)} $ и

$3 ^ {2n_4}\equiv 1\mod p_ {2(M4)} $,
тогда
$2 ^ {2n_4} 3 ^ {2n_4}\equiv m_ 1\mod p_ {2(M4)} $.

Пример:
$p_{2(M4)} = 103$, $2n_4 = (103 - 1)/3 = 34$,

$2 ^ {2n_4} = 2 ^ {34}\equiv m_1 = 46\mod 103 $ и

$3 ^ {2n_4} = 3 ^ {34}\equiv 1\mod 103 $.
Найдены еще элементы подмножества $M_4$:
$p_{2(M4)} = 151, 193$.

V.Пусть простые числа $p_ {2(M5)} = 6n_5 + 1$ являются элементами подмножества $M_5$ множества M, обладающими свойством – удовлетворять нижеследующие сравнения:

$2 ^ {2n_5}\equiv m_2\mod p_{2(M5)}$ и

$3 ^ {2n_5}\equiv m_2\mod p_ {2(M5)} $,
тогда
$2 ^ {2n_5} 3 ^ {2n_5}\equiv m_2^2\equiv m_1\mod p_{2(M5)}$.
Пример:
$p_{2(M5)} = 199$,

$2n_5 = (199 - 1)/3= 66$,

$2 ^ {2n_5} = 2 ^ {66}\equiv 106\mod 199 $,

$3 ^ {2n_5} = 3 ^ {66}\equiv 106\mod 199 $,

Найден еще элемент подмножества $M_5$: $p_{2(M5)} = 211$.

VI.Пусть простые числа $p_ {2(M6)} = 6n_6 + 1$ являются элементами подмножества $М_6$ множества M, обладающими свойством – удовлетворять нижеследующие сравнения:

$2 ^ {2n_6}\equiv m_1\mod p_ {2(M6)} $ и

$3 ^ {2n_6}\equiv m_1\mod p_ {2(M6)} $,
тогда
$2 ^ {2n_6} 3 ^ {2n_6}\equiv m_1^2\equiv m_2\mod p_ {2(M6)} $.
Пример:
$p_{2(M6)} = 79$, $2n_6 = (79 - 1)/3 = 26 $.

$2 ^ {2n_6} = 2 ^ {26}\equiv m_1 =23\mod 79 $

$3 ^ {2n_6} = 3 ^ {26}\equiv m_1 = 23\mod 79 $.
Найдены еще элементы подмножества $M_6$:
$p_{2(M6)} = 13, 19, 97, 163$.


VII.Пусть простые числа $p_ {2(M7)} = 6n_7 + 1$ являются элементами подмножества $M_7$ множества M, обладающими свойством – удовлетворять нижеследующие сравнения:

$2 ^ {2n_7}\equiv m_2\mod p_ {2(M7)} $ и

$3 ^ {2n_7}\equiv m_1\mod p_ {2(M7)} $,
тогда
$2 ^ {2n_7} 3 ^ {2n_7}\equiv m_2m_1\equiv 1\mod p_ 2(M7)} $.
Пример:
$p_ {2(M7)} = 139$, $2n_7 = (139 - 1)/3 = 46 $.

$2 ^ {2n_7} = 2 ^ {46}\equiv m_2 = 96\mod p_ {2(M7)} $ и

$3 ^ {2n_7} = 2 ^ 46\equiv m_1 = 42\mod p_{2(M7)} $,

Найдены еще элементы подмножества $M_7$:
$p_ {2(M7)} = 7, 37$,

VIII.Пусть простые числа $p_ {2(M8) = 6n_8 + 1}$ являются элементами подмножества $M_8$[/math] множества M, обладающими свойством – удовлетворять нижеследующие сравнения:

$2 ^ {2n_8}\equiv m_1\mod p_ {2(M8)} $ и

$3 ^ {2n_8}\equiv m_2\mod p_ {2(M8)} $,
тогда
$2 ^ {2n_8} 3 ^ {2n_8}\equiv m_1m_2\equiv 1\mod p_ {2(M8)} $.
Пример:
$p_ {2(M8)} = 181$, $2n_8 = (181 - 1)/3 = 60 $,

$2 ^ {2n_ 8} = 2^ 60\equiv m_1 = 48\mod 181 $,

$3 ^ {2n_8} = 3 ^ {60}\equiv m_2 =132\mod 181 $.

IX.Пусть простые числа $p_{2(M9)} = 6n_9 + 1$ являются элементами подмножества $M_9$ множества M, обладающими свойством – удовлетворять нижеследующие сравнения:

$2 ^ {2n_9}\equiv 1\mod p_ {2(M9)} $ и

$3 ^ {2n_9}\equiv 1\mod p_2_ {9} $,
тогда
$2 ^ {2n_9} 3 ^ {2n_9}\equiv 1\mod p_ {2(M9)} $
Пример:
Пример не найден.

4. Для удобства чтения повторяю размышление о формулах Абеля.
4.1. Из допущения справедливости равенства
$x^3 + y^3 - z^3 = 0\engo (1)$ следуют справедливые формулы Абеля, в том числе формулы для сомножителей числа y.
Пусть $y = u_1d_1$, где $(u_1,d_1) = 1$, тогда формулы Абеля будут

$u_1^3 = z^2 + z x + x^2\engo (10) $,

$d_1^3 = z - x\engo (9) $.

5. Если простое число $p_2 = 6n +1$ является делителем трехчлена

$z^2 - z x + x^2\engo (3) $, то справедливо сравнение

$z^2 - z x + x^2\equiv 0\mod p_2\engo (7) $, а также сравнение

$x ^ 3 + y ^ 3 - z^3\equiv 0\mod p_2 $ и производные этого сравнения:

$y^3 \equiv z^3 - x^3\mod p_2 $, отсюда

$u_1^3d_1^3\equiv (z - x) (z^2 +z x +x^2)\mod p_2 $,

$u_1^3\equiv (z^2 +z x +x^2)\mod p_2 \engo (11) $,

$d_1^3\equiv (z-x)\mod p_ 2 \engo (9_1) $.

6. Преобразуем сравнение $(11)$, правую часть,
$u_1^3\equiv 2z x +(z^2 - z x +x^2)\mod p_2 $, отсюда с учетом (7) имеем

$u_1^3\equiv 2z x\mod p_2 $, а с учетом сравнений:

$z\equiv (m_2 + 2)\mod p_2 $ и $x\equiv (m_1 + 2)\mod p_2 $
или
$z\equiv (m_2 - 1)\mod p_2 $ и $x\equiv (m_1 - 1)\mod p_2 $
получим
$u_1^3\equiv 2(m_2 + 2) (m_1 + 2) = 2[(m_2m_1 + 2(m_2 + m_1) + 4]\mod p_ 2 $ или

$u_1^3\equiv 2(m_2 - 1) (m_1 - 1) = 2[(m_2m_1 - (m_2 + m_1) + 1]\mod p_ 2 $, так как

$m_2m_1\equiv 1\mod p_2 $ и $m_2 + m_1\equiv -1\mod p_2 $, то тогда

$u_1^3\equiv 2(3)\mod p_2 $.Возведем полученное сравнение в степень $2n$

$(u_1) ^ {6n}\equiv 2 ^ {2n} 3 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 \engo (11_1) $.

7. Преобразуем сравнение $(9_1)$, правую часть, с учетом сравнений

$z\equiv (m_2 + 2)\mod p_2 $ и $x\equiv (m_1 + 2)\mod p_2 $
или
$z\equiv (m_2 - 1)\mod p_2 $ и $x\equiv (m_1 - 1)\mod p_2 $

$d_1^3\equiv (z - x)\equiv [(m_2 + 2) - (m_1 + 2)]\equiv (m_2 - m_1)\mod p_2$

$d_1^3\equiv (z - x)\equiv [(m_2 - 1) - (m_1 - 1)]\equiv (m_2 - m_1)\mod p_2$.
Возведем, полученное сравнение в 2-ю степень, получим

$[d_1^3] ^ 2\equiv (m_2 - m_1) ^ 2\equiv (m_2^2 - 2m_2m_1 + m_1^2)\mod p_2 $, так как

$(m_2^2 = m_1) + (m_1^2 = m_2)\equiv - 1\mod p_2$ и $2m_2m_1\equiv 2\mod p_2$, то

$(d_1^2) ^ 3\equiv -3\mod p_2 $. Возведем полученное сравнение, в степень $2n$ получим
$(d_1^2) ^ {6n}\equiv (-3) ^ {2n}\equiv 3 ^ {2n}\equiv 1\ mod p_2 $, отсюда

$(d_1^2) ^ {6n}\equiv 3 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2\engo (9_2) $.

8. Анализ полученных соотношений, при условии, что множество M не содержит подмножество $M_9$

8.1. Пусть элемент подмножества $M_1$ множества M является делителем трехчлена (3), тогда будут сравнения:
$(u_1^3) ^ {2n_1}\equiv 2^{2n_1} 3^{2n_1}\equiv m_2\mod p{2(M_1)} $ [противоречит (11_1)],
$(d_1^2) ^ {6n_1}\equiv 3 ^ {2n_1}\equiv m_2\ mod p_{2(M_1)} $ [противоречит (9_2)].

8.2. Пусть элемент подмножества $M_2$ множества M является делителем трехчлена (3), тогда будут сравнения:
$(u_1^3) ^ {2n_2}\equiv 2^{2n_2} 3^{2n_2}\equiv m_1\mod p{2(M_2)} $[противоречит (11_1)],
$(d_1^2) ^ {6n_2}\equiv 3 ^ {2n_2}\equiv m_1\ mod p_{2(M_2)} $ [противоречит (9_2)],

8.3. Пусть элемент подмножества $M_3$ множества M является делителем трехчлена (3), тогда будут сравнения:
$(u_1^3) ^ {2n_3}\equiv 2^{2n_3} 3^{2n_3}\equiv m_2\mod p{2(M_3)} $[противоречит (11_1)],
$(d_1^2) ^ {6n_3}\equiv 3 ^ {2n_3}\equiv 1\ mod p_{2(M_3)} $.

8.4. Пусть элемент подмножества $M_4$ множества M является делителем трехчлена (3), тогда будут сравнения:
$(u_1^3) ^ {2n_4}\equiv 2^{2n_4} 3^{2n_4}\equiv m_1\mod p{2(M_4)} $[противоречит (11_1)],
$(d_1^2) ^ {6n_4}\equiv 3 ^ {2n_4}\equiv m_1\ mod p_{2(M_4)} $,

8.5. Пусть элемент подмножества $M_5$ множества M является делителем трехчлена (3), тогда будут сравнения:
$(u_1^3) ^ {2n_5}\equiv 2 ^ {2n_5} 3 ^ {2n_5}\equiv m_1\mod p{2(M_5)} $[противоречит (11_1)],
$(d_1^2) ^ {6n_5}\equiv 3 ^ {2n_5}\equiv m_2\ mod p_ {2(M_5)} $ [противоречит (9_2)],

8.6. Пусть элемент подмножества $M_6$ множества M является делителем трехчлена (3), тогда будут сравнения:
$(u_1^3) ^ {2n_6}\equiv 2 ^ {2n_6} 3 ^ {2n_6}\equiv m_2\mod p{2(M_6)} $[противоречит (11_1)],
$(d_1^2) ^ {6n_6}\equiv 3 ^ {2n_6}\equiv m_1\ mod p_{2(M_6)} $ [противоречит (9_2)],

8.7. Пусть элемент подмножества $M_7$ множества M является делителем трехчлена (3), тогда будут сравнения:
$(u_1^3) ^ {2n_7}\equiv 2^{2n_7} 3^{2n_7}\equiv 1\mod p{2(M_7)} $,
$(d_1^2) ^ {6n_7}\equiv 3 ^ {2n_7}\equiv m_1\ mod p_{2(M_7)} $ [противоречит (9_2)].

8.8. Пусть элемент подмножества $M_8$ множества M является делителем трехчлена (3), тогда будут сравнения:
$(u_1^3) ^ {2n_8}\equiv 2^{2n_8} 3^{2n_8}\equiv 1\mod p{2(M_8)} $,
$(d_1^2) ^ {6n_8 }\equiv 3 ^ {2n_8}\equiv m_2\ mod p_{2(M_8)} $ [противоречит (9_2)],

Вывод:
--Очевидно, что делитель трехчлена (3) принадлежит одному из подмножеств от $M_1$ до $M_8$ включительно.
-- сравнения, в каждом подмножестве, для сомножителей $(u_1, d_1$,
противоречат, по крайней мере, одному сравнению для этих сомножителей или
(11_1) или (9_2), полученных, из допущения справедливости, равенства (1).
-- Следовательно равенство (1) не справедливо. В этом случае можно считать ВТФ, для
$p =3$ доказана.
9. Пусть подмножество $M_9$ €M. И пусть делитель трехчлена (3) принадлежит подмножеству $M_9$, тогда сравнение
$(u_1^3) ^ {2n_9}\equiv 2 ^ {2n_9} 3^{2n_9}\equiv 1\mod p{2(M_9)} $ не противоречит
сравнению (11_1), а сравнение

$(d_1^2) ^ {6n_9 }\equiv 3 ^ {2n_9}\equiv 1\ mod p_{2(M_9)} $ не противоречит
сравнению (9_2).
Следовательно равенство(1) справедливо. В этом случае следует продолжить поиск
элементарного доказательства ВТФ для $p=3$.

[vasili]

1. В предыдущем посте я оставил открытым вопрос о существовании делителей ( простых чисел $p_2 = 6n +1$ ) трехчлена $z^2 - z x + x^2$, принадлежащих подмножеству 9 множества M , т.е. обладающих следующими свойствами:
$2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2$ и $3 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2$.

2. В окрестности числа $3^6 = 729$ я нашел такой делитель – простое число $p_2 = 727$, для которого справедливы вышеуказанные сравнения.

Так $2n = (727 - 1)/3 = 242$.

Тогда $2 ^ {2n} = 2 ^ {242} = (2 ^ 2)[2 ^ {40}] ^ 6$, отсюда

$2^{40} = (2^{10}) ^ 4 = [(1024) ^ 2] ^ 2\equiv [(297)^2]^2\equiv(242)^2\equiv 404\mod 727$,

Тогда $2 ^ {2n} = 2 ^ {242} = (2 ^ 2)[2 ^ {40}] ^ 6\equiv (2 ^ 2)(404) ^ 6\mod727$

$(2 ^ 2) (404) ^ 6 = (808) ^ 2(404) ^ 4\equiv (81) ^ 2(404) ^ 4\equiv (9 ^ 4)(404) ^ 4\mod727$,

тогда

$2 ^ {2n} = 2 ^ {242}\equiv (9 ^ 4) (404) ^ 4\equiv (3636) ^ 4\equiv (1) ^ 4 = 1\mod727$,
что и тр. показать.

$3^{242} = (3^6)^{40}(3)^2= (729)^{40}(3)^2\equiv (2)^{40}(3)^2\mod727$,

$2^{40}(3)^2\equiv (404)(3)^2\equiv3636\equiv 1\mod727$, что и тр. показать.

-- 31.08.2021, 11:43 --

3. $p_2 =727$, $2n = 242$, $m_1 = 281$, $m_2 = 445$.

[vasili]

4.Так как
$z\equiv m_2 + 2 = 445 +2 =447\mod 727$, а

$x\equiv m_1 + 2 = 281 +2 = 283\mod 727$,

то благодаря формуле Абеля для одного сомножителя числа y имеем

$z-x\equiv 447 - 283 = 164\equiv d_1 ^ 3\mod 727$, где $d_1$ сомножитель числа $y=u_1d_1$.
Возведем полученное сравнение в степень $2n = 242$

$(164) ^ {242}\equiv [(d_1) ^ 3] ^ {242}\equiv (d_1) ^ {726}\equiv 1\mod 727$, отсюда

$(164) ^ {242} = (2 ^ 2) ^ {242} (41) ^ {242}\equiv 1\mod 727$, учитывая, что

$[2 ^ {242}] ^ 2\equiv (1) ^ 2 = 1\mod 727$ и

$[(41) ^ 2] ^ {121}\equiv (227) ^ {121}\mod 727$ получим сравнение

$(164) ^ {242}\equiv (227) ^ {121} = [(227) ^ {11}] ^ {11}\equiv 1\mod 727$, учитывая что

$(227) ^ {11} = (227) ^ 8 (227) ^ 2(227) $, где

$(227) ^ 2\equiv639\mod 727$,

$(227) ^ 8\equiv (639) ^ 4\equiv (474) ^ 2\equiv500\mod 727$, получим

$(227) ^ {11}\equiv (500) (639) (227) \equiv 253\mod 727 $.

$[(227) ^ {11}] ^ {11}\equiv (253) ^ {11}\equiv 1\mod 727 $, так как

$(253) ^ {11} = (253) ^ 8 (253) ^ 2 (253)\equiv 1\mod 727 $, где

$(253) ^ 2\equiv 33\mod 727 $,

$(253) ^ 8\equiv (33 ^ 2) (33 ^ 2) = (1089) (1089)\equiv 184\mod 727 $, тогда

$(253) ^ {11} = (184) (33) (253)\equiv 65\not\equiv 1\mod 727 $.

Пришли к противоречию.

[vasili]

В п.4 допустил грубую ошибку. Прошу прощения. Вместо числа 500 правильно число 33 и тогда противоречие исчезает.

[vasili]

5. Поиск противоречий. Поиск противоречий в формулах Абеля для сомножителей числа $y = u_1d_1$ оказался неудачным (см. п.4.).
Будем искать противоречия в формулах Абеля для сомножителей числа $x = u_2d_2$, а именно
$z - y = d_2^3$.

Найдем сравнение для числа y по модулю 727.
Так как
$y ^ 3\equiv z ^ 3 - x ^ 3\mod 727 $, где

$z ^ 3\equiv (447) ^ 3\equiv 492\mod 727 $, а

$x ^ 3\equiv (283) ^ 3\equiv 235\mod 727 $, тогда

$y ^ 3\equiv (492 - 235) = 257\mod 727 $.

Возведем число y в степень $2n =(727 - 1)/3=242$

$y ^ {242} = (y^3) ^ {80}y^2\equiv (257)^{80} y^2\equiv {1, m_1 или m_2 }\mod 727 $.

Так как $(257^2)^2\equiv (619)^2\equiv 2^5\mod 727 $, то

$(257) ^{80}y^2=(257^4)^20y^2\equiv (2^5)^{20}y^2\mod 727 $, отсюда

$[2 ^ {10}] ^ {10}y^2\equiv 297^{10}y^2\equiv {1, m_1 или m_2}\mod 727$, где

$2 ^ {10} = 1024\equiv 297\mod 727 $.

Так как $(297)^{10}=[(297) ^ 2]^5\equiv (242)^5\equiv362\mod 727 $, тогда

$297 ^ {10} y^2\equiv 362 y^2\equiv {1, m_1 или m_2}\mod 727 $.

5.1. Пусть

$ 362y ^ 2\equiv 1\mod 727 $.

Умножим последнее сравнение на y и, учитывая, что $y^3\equiv 257\mod 727 $ получим

$y\equiv 362(257)\equiv 705\mod 727 $, тогда

$(z - y)\equiv (447 - 705) = (-1) (2) (3) (43)\d_2^3\mod 727 $.

Возведем последнее сравнение в степень $2n = 242$ и, учитывая, что

$(-1) ^ {242} = 1$, $2 ^ {242}\equiv 1\mod 727 $ и $3 ^ {242}\equiv 1\mod 727 $ получим

$(z - y) ^ {242}\equiv (43) ^ {242}\equiv d_2 ^ {726}\equiv 1\mod 727 $.

$ (43) ^ {242}\equiv (43 ^ 2) ^ {121}\equiv [(395) ^ {11}] ^ {11}\equiv 1\mod 727 $

$(395) ^ {11} = (395) (395) ^2 (395) ^ 8$

$(395) ^ 2 \equiv 447\mod 727 $,

$(395) ^ 4 \equiv 611\mod 727 $, (для контроля)

$(395) ^ 8 \equiv 370\mod 727 $, тогда

$(395) ^ {11} = (395) (395) ^2 (395) ^ 8\equiv 395 (447) (370)\equiv 103\mod727$, тогда

$[(395) ^ {11}] ^ {11}\equiv (103) ^ {11}\mod 727 $.

$(103) ^ {11} = 103 (103) ^2 (103) ^ 8$

$(103) ^ 2\equiv 431\mod 727 $

$(103) ^ 4\equiv 376\mod 727 $ (для контроля)

$(103) ^ 8\equiv 338\mod 727 $

$(103) ^ {11} = 103 (103) ^2 (103) ^ 8\equiv 103 (431) (338)\equiv 281\mod 727 $, тогда

$(43) ^ {242}\equiv 281\not\equiv 1\mod 727 $.

Пришли к противоречию.

5.2. Пусть

$362y ^ 2\equiv {m_2}\mod 727 $.

Умножим это сравнение на $y m_1=281 y$, и учитывая, что $m_2 m_1\equiv 1\mod 727$ и

$y ^ 3\equiv 257\mod 727 $ получим

$ 362(257) (281)\equiv y\mod 727 $, отсюда

$y\equiv705 (281)\equiv 361\mod 727 $, тогда

$(z - y)\equiv 447 – 361=2(43)\equiv d_2^3\mod 727$

Возведем это сравнение в степень $2n = 242$,

$(z - y) ^ {242}\equiv 2 ^ {242} (43) ^ {242}\equiv (d_2^3) ^ {242}\mod 727$ и учитывая, что

$2 ^ {242}\equiv 1\mod 727$, $(43) ^ {242}\equiv 281\mod 727 $(см. п.5.1.) и

$(d_2 ^ 3) ^ {242}\equiv 1\mod 727 $ получим

$(z - y) ^ {242}\equiv 281\not\equiv 1 \mod 727$

Пришли к противоречию.

5.3. Пусть

$ 362y ^ 2\equiv {m_1}\mod 727 $.

Умножим это сравнение на $y m_2=447y$, и учитывая, что $m_1 m_2\equiv 1\mod 727$ и

$y ^ 3\equiv 257\mod 727 $ получим

$y\equiv 362(257) m_2\equiv 705(447)\equiv344\mod 727 $, тогда

$y^3\equiv (344) ^ 3\equiv 673\not\equiv257\mod 727 $.

Пришли к противоречию.

Выводы:
1. Все возможные сравнения для числа y по модулю 727, полученные с использованием сравнения $y ^ 3\equiv z ^ 3 - x ^ 3\mod 727 $ привели к противоречиям, а значить это сравнение несправедливо, а значит и не справедливо равенство $y ^ 3 =z ^ 3 - x ^ 3$.
2. Если нет арифметических ошибок в рассуждениях, то можно считать, что ВТФ для $p=3$ доказана.

-- 12.09.2021, 18:00 --

5. Поиск противоречий. Поиск противоречий в формулах Абеля для сомножителей числа $y = u_1d_1$ оказался неудачным (см. п.4).
Будем искать противоречия в формулах Абеля для сомножителей числа $x = u_2d_2$, а именно
$z - y = d_2^3$.

Найдем сравнение для числа y по модулю 727.
Так как
$y ^ 3\equiv z ^ 3 - x ^ 3\mod 727 $, где

$z ^ 3\equiv (447) ^ 3\equiv 492\mod 727 $, а

$x ^ 3\equiv (283) ^ 3\equiv 235\mod 727 $, тогда

$y ^ 3\equiv (492 - 235) = 257\mod 727 $.

Возведем число y в степень $2n =(727 - 1)/3=242$

$y ^ {242} = (y^3) ^ {80}y^2\equiv (257)^{80} y^2\equiv {1, m_1, m_2 }\mod 727 $.

Так как $(257^2)^2\equiv (619)^2\equiv 2^5\mod 727 $, то

$(257) ^{80}y^2=(257^4)^{20}y^2\equiv (2^5)^{20}y^2\mod 727 $, отсюда

$[2 ^ {10}] ^ {10}y^2\equiv 297^{10}y^2\equiv {1, m_!, m_2}\mod 727$, где

$2 ^ {10} = 1024\equiv 297\mod 727 $.

Так как $(297)^{10}=[(297) ^ 2]^5\equiv (242)^5\equiv362\mod 727 $, тогда

$297 ^ {10} y^2\equiv 362 y^2\equiv {1, m_1 или m_2}\mod 727 $.

5.1. Пусть

$ 362y ^ 2\equiv 1\mod 727 $.

Умножим последнее сравнение на y и, учитывая, что $y^3\equiv 257\mod 727 $ получим

$y\equiv 362(257)\equiv 705\mod 727 $, тогда

$(z - y)\equiv (447 - 705) = (-1) (2) (3) (43)\equiv d_2^3\mod 727 $.

Возведем последнее сравнение в степень $2n = 242$ и, учитывая, что

$(-1) ^ {242} = 1$, $2 ^ {242}\equiv 1\mod 727 $ и $3 ^ {242}\equiv 1\mod 727 $ получим

$(z - y) ^ {242}\equiv (43) ^ {242}\equiv d_2 ^ {726}\equiv 1\mod 727 $.

$ (43) ^ {242}\equiv (43 ^ 2) ^ {121}\equiv [(395) ^ {11}] ^ {11}\equiv 1\mod 727 $

$(395) ^ {11} = (395) (395) ^2 (395) ^ 8$

$(395) ^ 2 \equiv 447\mod 727 $,

$(395) ^ 4 \equiv 611\mod 727 $, (для контроля)

$(395) ^ 8 \equiv 370\mod 727 $, тогда

$(395) ^ {11} = (395) (395) ^2 (395) ^ 8\equiv 395 (447) (370)\equiv 103\mod727$, тогда

$[(395) ^ {11}] ^ {11}\equiv (103) ^ {11}\mod 727 $.

$(103) ^ {11} = 103 (103) ^2 (103) ^ 8$

$(103) ^ 2\equiv 431\mod 727 $

$(103) ^ 4\equiv 376\mod 727 $ (для контроля)

$(103) ^ 8\equiv 338\mod 727 $

$(103) ^ {11} = 103 (103) ^2 (103) ^ 8\equiv 103 (431) (338)\equiv 281\mod 727 $, тогда

$(43) ^ {242}\equiv 281\not\equiv 1\mod 727 $.

Пришли к противоречию.

5.2. Пусть

$362y ^ 2\equiv {m_2}\mod 727 $.

Умножим это сравнение на $y m_1=281 y$, и учитывая, что $m_2 m_1\equiv 1\mod 727$ и

$y ^ 3\equiv 257\mod 727 $ получим

$ 362(257) (281)\equiv y\mod 727 $, отсюда

$y\equiv705 (281)\equiv 361\mod 727 $, тогда

$(z - y)\equiv 447 – 361=2(43)\equiv d_2^3\mod 727$

Возведем это сравнение в степень $2n = 242$,

$(z - y) ^ {242}\equiv 2 ^ {242} (43) ^ {242}\equiv (d_2^3) ^ {242}\mod 727$ и учитывая, что

$2 ^ {242}\equiv 1\mod 727$, $(43) ^ {242}\equiv 281\mod 727 $(см. п.5.1.) и

$(d_2 ^ 3) ^ {242}\equiv 1\mod 727 $ получим

$(z - y) ^ {242}\equiv 281\not\equiv 1 \mod 727$

Пришли к противоречию.

5.3. Пусть

$ 362y ^ 2\equiv {m_1}\mod 727 $.

Умножим это сравнение на $y m_2=447y$, и учитывая, что $m_1 m_2\equiv 1\mod 727$ и

$y ^ 3\equiv 257\mod 727 $ получим

$y\equiv 362(257) m_2\equiv 705(447)\equiv344\mod 727 $, тогда

$y^3\equiv (344) ^ 3\equiv 673\not\equiv257\mod 727 $.

Пришли к противоречию.

Выводы:
1. Все возможные сравнения для числа y по модулю 727, полученные с использованием сравнения $y ^ 3\equiv z ^ 3 - x ^ 3\mod 727 $ привели к противоречиям, а значить это сравнение несправедливо, а значит и не справедливо равенство $y ^ 3 =z ^ 3 - x ^ 3$.
2. Если нет арифметических ошибок в рассуждениях, то можно считать, что ВТФ для $p=3$ доказана.

[Antoshka]

vasili в сообщении #1522702 писал(а):

Найдем сравнение для числа y по модулю 727

vasili, как вы поняли, что нужно искать противоречие именно по модулю 727? Вы хотите сказать, что если взять модуль 641 например, то доказательство не сработает? Просто вы не пояснили, откуда взялось именно это число? Начало доказательства - это пункт 5?

[vasili]

Уважаемый Antoshka! Выше п.4. я писал, что в окрестности числа $3^6=729$ я нашел простое число $p_2 = 727$, которое принадлежит подмножеству 9 множества M, элементы которого обладают следующими свойствами:

$2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2$
и
$3 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2$.

[Antoshka]

vasili в сообщении #1531407 писал(а):

Возведем число y в степень $2n =(727 - 1)/3=242$

$y ^ {242} = (y^3) ^ {80}y^2\equiv (257)^{80} y^2\equiv {1, m_1 или m_2 }\mod 727 $.

vasili я не могу понять, что означает данная запись? Это значит, что возможны 2 случая? Первый $y ^ {242} = (y^3) ^ {80}y^2\equiv (257)^{80} y^2\equiv 1\mod 727$, второй $y ^ {242} = (y^3) ^ {80}y^2\equiv (257)^{80} y^2\equiv m_1m_2 \mod 727$?

[vasili]

Уважаемый Antoshka! Это опечатка. Следует читать $m_1m_2$ через запятую.

[Antoshka]

Antoshka в сообщении #1532688 писал(а):

$y ^ {242} = (y^3) ^ {80}y^2\equiv (257)^{80} y^2\equiv m_1m_2 \mod 727$?

Через запятую это так что ли? $y ^ {242} = (y^3) ^ {80}y^2\equiv (257)^{80} y^2\equiv m_1m_2 \mod 727$

[vasili]

Уважаемый Antoshka!$y^{242} = (y^3)^{80}y^2\equiv (257)^{80}y^2\equiv m_1, m_2$. Так будет правильно.

[Antoshka]

vasili в сообщении #1533158 писал(а):

Уважаемый Antoshka!$y^{242} = (y^3)^{80}y^2\equiv (257)^{80}y^2\equiv m_1, m_2$. Так будет правильно

Но я не понимаю, что значит эта запись? У операции mod в результате получается одно число,а у вас их два,причём через запятую. Такая запись не является общепринятой

[vasili]

Уважаемый Antoshka!$y^{242} = (y^3)^{80}y^2\equiv (257)^{80}y^2\equiv m_1\mod 727$ или
$y^{242} = (y^3)^{80}y^2\equiv (257)^{80}y^2\equiv m_2\mod 727$. Так будет правильно.