2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение01.01.2016, 05:29 


27/03/12
446
г. новосибирск
Уважаемый ananova! Если Вы нашли, что равенство (12) получено ошибочно, то укажите на ошибку.Зачем искать другие равенства, тем более с использованием числа x, от которого освобождено равенство (12).

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение01.01.2016, 09:37 


15/12/05
754
Уважаемый, vasilii!

(Оффтоп)

с Новым годом!

С уравнением (12) все в порядке и оно справедливо. Зачем искать другие равенства? Вы спрашиваете. Ответ - для перепроверки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение01.01.2016, 12:32 


15/12/05
754
lasta прав, - уравнение (12) получается в три строчки без треугольных чисел, поэтому важно проверить последующий анализ с привлечением числа $k$.

-- Пт янв 01, 2016 13:08:47 --

Попробую дать другое толкование результату после перепроверки...

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение01.01.2016, 14:34 


15/12/05
754
Обнаружил, на мой взгляд, неточность

vasili в сообщении #1085705 писал(а):
4. Из (13) с учетом (14) следует

$y = (k + 1) p_1p_2….p_i….p_s$, тогда (13) будет

$$y-x_1 =(k +1) p_1p_2….p_i….p_s - k p_1p_2….p_i….p_s =                                            

= p_1p_2….p_i….p_s\engo(15)$$


По-моему, должно быть так:

$$y-x_1 =(p_1p_2….p_i….p_s)^3\engo(15)$$
Т.к. $z-x=y+1-(x_1+1)$ является кубом, то и $y-x_1$ есть этот же куб.

В связи с этим непонятно, почему $y=(k+1)p_1p_2….p_i….p_s$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение02.04.2021, 13:52 


27/03/12
446
г. новосибирск
Размышление о ВТФ для n = 3
I.
1.Пусть существуют натуральные, попарно взаимно простые числа $x,y$ и z, удовлетворяющие уравнению

$x ^ 3 + y ^ 3 - z ^ 3 = 0\engo (1) $.

Пусть $(z, 3) = 3\engo (2)$ и $(z, x)$ - числа нечетные.

2. Из чисел $(z, x)$ составим трехчлен

$z ^ 2 - z x + x ^ 2\engo (3)$ - число нечетное.

3. Найдем вид простых делителей трехчлена (3)

3.1. В силу (2) и взаимной простоте чисел $(z, x)$
простое число 3 не может быть делителем трехчлена (3)

3.2. Покажем, что простые числа вида $(6n + 5)$ так же не могут быть делителями трехчлена (3).
Пусть $p_1 = 6n +5$ делитель трехчлена (3), тогда будет справедливо сравнение

$z ^ 2 - z x + x ^ 2\equiv z ^ 3 + x ^ 3\equiv 0\mod p_1\engo (4) $, отсюда

$z ^ 3\equiv - x ^ 3\mod p_1\engo (5) $.

Благодаря МТФ имеем

$z ^ {6n + 4} - x ^ {6n + 4} = (z ^ 3) ^ {2n + 1} z - (x ^ 3) ^ {2n +1} x\equiv 0\mod p_1 $, отсюда с учетом (5) имеем

$(z ^ 3) ^ {2n + 1} (z + x)\equiv 0\mod p_1 $, так как $(z , p_1) = 1$, [в противном случае из (4) следует, что и x делится на $p_1$, что противоречит взаимной простоте чисел z и x], то

$(z + x)\equiv 0\mod p_1\engo (6) $.

3.3. После преобразования левой части сравнения (4) получим

$(z + x) ^ 2 -3z x\equiv 0\mod p_1$, отсюда с учетом (6) имеем

$3z x\equiv 0\mod p_1$, что не возможно.
Пришли к противоречию.
Следовательно, простые числа $p_1 = 6n + 5$ не могут быть делителями трехчлена (3).

4. Тогда в силу того, что трехчлен (3) число нечетное, то делителями трехчлена (3) могут быть простые числа вида $6n +1$.
II.
5. Далее в рассуждениях используем метод сравнения чисел по модулю (метод Гаусса) и в качестве модуля возьмем делитель трехчлена (3), т.е. простое число $p_2 = 6n +1$.

Очевидно, будут справедливы, следующие сравнения

$z ^ 2 - z x + x ^ 2\equiv z ^ 3 +x ^ 3\equiv 0\mod p_2\engo (7) $,

$(z + x)\not\equiv 0\mod p_2\engo(7a)$

$x ^ 3 + y ^ 3 - z ^ 3\equiv 0\mod p_2\engo (8) $.

6. Рассмотрим некоторые свойства сравнения (7) и формул Абеля для числа y

Пусть $y = u_1d_1$, где $d_1 ^ 3 = z - x\engo (9) $, а

$u_1 ^ 3 = z ^ 2 + z x + x ^ 2\engo (10) $

Сравним равенство (10) по модулю $p_2$, предварительно преобразовав его
$u_1 ^ 3\equiv (z ^ 2 - z x + x ^ 2) + 2 z x\mod p_2 $,

отсюда с учетом сравнения (7) имеем

$u_1 ^ 3\equiv 2 z x\mod p_2\engo (11) $.

Возведем сравнение (11) в степень $2n$ – делитель числа $(p_2 - 1) = 6n + 1 - 1 = 3(2n)$ - получим

$u_1 ^ {6n}\equiv 2 ^ {2n}(z x) ^ {2n}\mod p_2 $, отсюда с учетом МТФ
$2 ^ {2n} (z x) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2\engo (12) $.

Покажем, что $(z x) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.

Из (7) следует $z (z - x)\equiv - x ^ 2\mod p_2$, а

умножая на x и возводя, это сравнение в степень $2n$ и, учитывая

равенство (9) - формулу Абеля $(z - x) = d_1 ^ 3 $ имеем

$(z x) ^ {2n}(d_1 ^ 3) ^ {2n}\equiv (-x ^ 3) ^ {2n}\mod p_2 $, отсюда

с учетом МТФ

$(z x) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2\engo (13) $,

тогда из (12) с учетом (13) следует, что

$2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2\engo (14) $.

[Условию (14) удовлетворяют не все простые числа вида $6n + 1$.
Так простые числа 7, 13, 19, 37,…, не удовлетворяют условию (14), а простые числа 31, 43,109, 127, 157,229 этому условию удовлетворяют.]
III.
3.1. Введем «Допущение», а именно:

$3 ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $ или

$3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2\engo (15) $,

где $m_1$ и $m_2$ вычеты, принадлежащие системе наименьших натуральных вычетов по модулю $p_2$ и, принадлежащие показателю 3 по модулю $p_2$. Таких вычетов только 2(два), так как $\varphi (3) = 2 $.

Это «Допущение» не имеет пока доказательства в общем виде.
Однако оно подтверждается на частных примерах.
Примеры:
$3 ^ {2n} = 3 ^ {10}\equiv (m_2 = 25)\mod 31 $. [m_1 = 5].
$3 ^ {2n} = 3 ^ {14}\equiv (m_2 = 36)\mod 43 $. [m_1 =6].
$3 ^ {2n} = 3 ^ {36}\equiv (m_2 = 63)\mod 109 $. [m_1 = 45].
$3 ^ {2n} = 3 ^ {42}\equiv (m_2 = 107)\mod 127 $. [m_1 =19].
$3 ^ {2n} = 3 ^ {52}\equiv (m_2 = 144)\mod 157 $. [m_1 = 12].
$3 ^ {2n} = 3 ^ {76}\equiv (m_2 = 134)\mod 229 $. [m_1 = 94].
3.2. Свойства вычетов $m_1$ и $m_2$.
--$m_1^3 - 1\equiv 0\mod p_2\engo (16)$,
--$m_1^3 - 1\equiv 0\mod p_2\engo(17) $,
--$m_1m_2\equiv 1\mod p_2\engo(18)$,
--$m_1^2\equiv m_2\mod p_2\engo(19) $,
--$m_2^2\equiv m_1\mod p_2\engo(20) $,
--$m_1 + m_2 + 1\equiv 0\mod p_2\engo(21) $.

3.3. Ниже нас будет интересовать, какие наименьшие натуральные вычеты чисел $(z,x)$ по модулю $p_2$ будут удовлетворять сравнению (7).
Пусть, $M = {1, 2,3,..,m_1,..,m_2,.. …,(p_2-1)}$ - система наименьших натуральных вычетов по модулю $p_2$, где
$p_2 - 1 =6n = 3(2n) $ и где $m_2 > m_1$.

3.4. Пусть
$z\equiv m_2\mod p_2 $ , а $x\equiv m_1\mod p_2 $,тогда (7)

$z^3 + x^3\equiv m_2^3 + m_1^3\equiv (1 +1) =2\equiv 0\mod p_2 $,
что невозможно. Пришли к противоречию. Вычеты чисел $(z,x)$
не могут быть равными вычетам $m_1$ и $m_2$.

3.5. Так как простое число $p_2$ является делителем трехчлена (3), то тогда должны существовать вычеты, принадлежащее системе наименьших натуральных вычетов по модулю $p_2$ такие, что удовлетворяют сравнению (7).

Такими вычетами будут
$m_2 + 2$, $m_1 + 2$ или $m_2 - 1$, $m_1 - 1$.
В самом деле, пусть
$z\equiv (m_2 + 2)\mod p_2 $,

$x\equiv (m_1 + 2)\mod p_2 $, тогда

с учетом этого сравнение (7) будет

$(m_2 + 2) ^ 2 - (m_2 +2) (m_1 + 2) + (m_1 +2) ^ 2\equiv 0\mod p_2 $, отсюда
с учетом (18),(19) и (20) имеем

$m_1 +4m_2 +4 - 1 -2(m_1 + m_2) - 4 + m_2 + 4m_1 + 4\equiv 0\mod p_2 $,
отсюда с учетом (21) будет

$3(m_1 + m_2) + 3 = -3 + 3\equiv 0\mod p_2 $.

Вывод: вычеты $m_2 + 2$, $m_1 + 2$ удовлетворяют сравнению(7).

Пусть теперь

$z\equiv (m_2 - 1)\mod p_2 $,

$x\equiv (m_1 - 1)\mod p_2 $, тогда

с учетом этого сравнение (7) будет

$(m_2 - 1) ^ 2 - (m_2 - 1) (m_1 - 1) + (m_1 - 1) ^ 2\equiv 0\mod p_2 $, отсюда

с учетом (18),(19) и (20) имеем

$m_1 -2m_2 + 1 -1 + m_2 + m_1-1 + m_2 -2m_1 +1\equiv 0\mod p_2 $,
отсюда
$(2m_1 - 2m_1) + (2 - 2) + (2m_2 - 2m_2)\equiv 0 \mod p_2 $.

Вывод: вычеты $m_2 - 1$, $m_1 - 1$ удовлетворяют сравнению (7).

3.6. Однако вычеты, удовлетворяющие (7), не удовлетворяют формулам Абеля - равенствам (9) и (10).

Покажем, что вычеты $m_2 + 2$, $m_1 + 2$ и $m_2 - 1$, $m_1 - 1$ не удовлетворяют сравнению $2z x\equiv u_1^3\mod p_2\engo(11) $.
Сравнение (11) с учетом вычетов, удовлетворяющих (7) будет

$2(m_2 +2) (m_1 + 2)\equiv u_1^3\mod p_2 $,

$2(m_2 - 1) (m_1 - 1)\equiv u_1^3\mod p_2 $,

отсюда с учетом (18),(19) и (20) имеем

$2[1 + 2(m_2 + m_1) + 4]\equiv 2(1 - 2 + 4)\equiv 2(3)\equiv u_1^3\mod p_2 $, а

для вычетов $m_2 - 1$, $m_1 - 1$ с учетом (21) будет

$2[1 - (m_2 + m_1) +1] = 2(1 + 1 +1)\equiv 2(3)\equiv u_1^3\mod p_2$.

И после возведения полученных сравнений в степень $2n$ имеем

$2 ^ {2n}3 ^ {2n}\equiv (u_1 ^ 3) ^ {2n}= u_1 ^ {6n}\equiv 1\mod p_2 $,отсюда

c учетом (14) имеем

$3 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,

что не возможно. Противоречит «Допущению».

3.7. Покажем что вычеты $m_2 + 2$, $m_1 + 2$ и $m_2 - 1$, $m_1 - 1$ не удовлетворяют равенству $z - x =d_1^3$ (9).
Пусть
$z\equiv (m_2 + 2)\mod p_2 $ или$z\equiv (m_2 - 1)\mod p_2 $,

$x\equiv (m_1 + 2)\mod p_2 $ или $x\equiv (m_1 - 1)\mod p_2 $.

Сравним равенство (9) по модулю $p_2$

$z - x\ equiv d_1^3\equiv (m_2 +2(-1) - m_1 – 2(-1))\equiv m_2 - m_1\mod p_2$,

отсюда с учетом (21) [-m_1 = m_2 + 1] имеем

$z - x= d_1^3\equiv 2m_2 +1\mod p_2 $,
Возведем полученное сравнение в 2-ю степень и учитывая (7) получим

$(z^2 - z x + x^2) - z x\equiv (4m_2^2 +4m_2 +1 + 3) - 3\mod p_2$,
отсюда с учетом (21)
$z x\equiv 3\mod p_2 $, полученное сравнение возведем в степень

$2n$, а с учетом (13) получим

$(z x)^{2n}\equiv 1\equiv 3^{2n}\mod p_2 $, что не возможно. Противоречит «Допущению».

Вывод: Равенства (9) и (10) – формулы Абеля не справедливы, а следовательно и равенство (1) не справедливо, что и требовалось доказать.
Надеюсь, что участники Форума помогут мне доказать справедливость «Допущения», т.е. сравнения
$3^{2n}\equiv m_1\mod p_2 $ или $3^{2n}\equiv m_2\mod p_2 $, где $p_2 = 6n + 1$ такое простое число, для которого справедливо сравнение
$2^{2n}\equiv 1\mod p_2 $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение14.06.2021, 09:05 


22/03/20
88
vasili в сообщении #1512557 писал(а):
3.6. Однако вычеты, удовлетворяющие (7), не удовлетворяют формулам Абеля - равенствам (9) и (10).

Как я понял, на трином (7) не накладываются ограничения, связанные с тем, что $x+y$ - куб. Но в противном
случае трином может быть кубом. $39^3+52^3=(39+52)\cdot 13^3$.
Поэтому не понятно какие противоречия возникают при анализе данного тринома.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение14.06.2021, 20:39 


22/03/20
88
Простите. С этим примером я ошибся. Числа не взаимно простые. Поэтому другой, $17^3+53^3=(17+53)\cdot 13^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение15.06.2021, 07:24 


27/03/12
446
г. новосибирск
Уважаемый Valprim! Сумма кубов $z^3 + x^3\equiv 0\mod p_2$. Ваш пример не удовлетворяет этому условию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение15.06.2021, 12:10 


22/03/20
88
vasili в сообщении #1522702 писал(а):
Сумма кубов $z^3 + x^3\equiv 0\mod p_2$. Ваш пример не удовлетворяет этому условию.

Почему не удовлетворяет? $17^3+53^3 =70\cdot 13^3 \equiv 0 \mod 13; \qquad 13=6\cdot 2+1= p_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение15.06.2021, 15:54 


27/03/12
446
г. новосибирск
Уважаемый Valprim! Простое число 13 не удовлетворяет условию $2^{2n} \equiv 1\mod 13$, где $2n = (13 -1)/3 = 4$.
$2^4=16\equiv 3\mod 13$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение16.06.2021, 08:09 


22/03/20
88
vasili в сообщении #1512557 писал(а):
2. Из чисел $(z, x)$ составим трехчлен

$z ^ 2 - z x + x ^ 2\engo (3)$ - число нечетное.

Этот трином не вытекает из уравнения Ферма. Есть $y ^ 2 - y x + x ^ 2$. И если во всех ваших формулах заменить $z$ на $y$, то противоречия исчезают. Поэтому и числовой пример приведен для суммы $X^3+Y^3$.
МТФ применяется к преобразованиям тринома не из Уравнения Ферма. Сделанные выводы из этого не могут относится к Уравнению Ферма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение16.06.2021, 08:44 


27/03/12
446
г. новосибирск
Уважаемый Valprim! Трином $z^2 -z x + x^2$ образован на нечетных числах$(z,x)$, удовлетворяющих равенству $x^3 + y^3-z^3 = 0$. Простыми делителями тринома показано являются числа $p_2 = 6n +1$, которые удовлетворяют условию $2^{2n}\equiv 1\mod p_2$. Мною найдено 7 таких чисел:31,43,109,127,157,223,229.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение16.06.2021, 14:10 


22/03/20
88
vasili в сообщении #1522881 писал(а):
Трином $z^2 -z x + x^2$ образован на нечетных числах$(z,x)$, удовлетворяющих равенству $x^3 + y^3-z^3 = 0$.

Но это не по (1). Пусть на нечетных числах $(z,x)$. По (1), $z^3-x^3=(z-x)(z^2+zx+x^2)$. Тогда $$z^3 \equiv x^3 \mod p_1 \qquad (5)$$ И ничего этого
vasili в сообщении #1512557 писал(а):
Благодаря МТФ имеем

$z ^ {6n + 4} - x ^ {6n + 4} = (z ^ 3) ^ {2n + 1} z - (x ^ 3) ^ {2n +1} x\equiv 0\mod p_1 $, отсюда с учетом (5) имеем

$(z ^ 3) ^ {2n + 1} (z + x)\equiv 0\mod p_1 $, так как $(z , p_1) = 1$, [в противном случае из (4) следует, что и x делится на $p_1$, что противоречит взаимной простоте чисел z и x], то

$(z + x)\equiv 0\mod p_1\engo (6) $.

3.3. После преобразования левой части сравнения (4) получим

$(z + x) ^ 2 -3z x\equiv 0\mod p_1$, отсюда с учетом (6) имеем

$3z x\equiv 0\mod p_1$, что не возможно.

уже не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение16.06.2021, 14:25 


27/03/12
446
г. новосибирск
Уважаемый Valprim! Я не понимаю Ваши вопросы. Причем здесь $z^3 -x^3\equiv 0\mod p_1&$

 Профиль  
                  
 
 Re: Размышления о ВТФ для Р = 3
Сообщение17.06.2021, 07:55 


22/03/20
88
Уважаемый vasili,
Должен признать, что я не внимательно отнёсся к вашим рассуждениям. Вы используете трином $z^2-xz+x^2$ просто как нечетное число, не объявляя его кубом. Не является кубом у Вас и сумма $z+x$. Поэтому такой подход допустим.
И я снимаю вопросы по этому злополучному для меня триному.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 168 ]  На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group