Размышления о ВТФ для Р = 3

[vasili]

Новогодние размышления о ВТФ (для P=3)

1. Пусть натуральные числа $X,Y$ и Z являются примитивным

Решением уравнения $X^3 + Y^3 - Z^3 = 0\engo(1)$,

и пусть одно из чисел Решения кратно 3.

(2-ой случай ВТФ для $P =3$)





2. Пусть существует такое простое число $P_1 > 3$, что

$X^6 + Y^6-Z^6\equiv 0\mod P_1\engo(2)$,

и пусть $(XYZ,P_1) = 1\engo(3)$,

тогда благодаря (1) очевидно

$X^3 + Y^3 -Z^3\equiv 0\mod P_1\engo(4)$.

3. Умножим сравнение (4) на $Z^3$ и из полученного сравнения, вычтем

сравнение (2) имеем


$Z^3X^3 + Z^3Y^3 –Z^6-(X^6 +Y^6-Z^6) = =X^3(Z^3-X^3) + Y^3(Z^3-Y^3)\equiv 0\mod P_1$, отсюда благодаря

(1) получим

$X^3Y^3 + Y^3X^3 =2X^3Y^3\equiv 0\mod P_1$, что невозможно.

Благодаря (3) пришли к Противоречию.

4. Пусть существует такое простое число $P_2 > 3$, что

$X^9 + Y^9 -Z^9\equiv 0\mod P_2\engo(5)$,

и пусть $(XYZ,P_2) = 1\engo(6)$,

тогда благодаря (1) очевидно

$X^3 + Y^3 - Z^3\equiv 0\mod P_2\engo(7)$.

5. Умножим сравнение (7) на $Z^6$ и из полученного сравнения, вычтем

сравнение (5) имеем


$Z^6X^3 + Z^6Y^3 –Z^9-(X^9 +Y^9-Z^9) = =X^3(Z^6-X^6) + Y^3(Z^6-Y^6)\equiv 0\mod P_2$, отсюда

$X^3(Z^3-X^3)(Z^3 + X^3) + Y^3(Z^3-Y^3)(Z^3+Y^3)\equiv 0\mod P_2$, а благодаря (1) имеем

$X^3Y^3(Z^3+ X^3+ Z^3 +Y^3)\equiv 0\mod P_2$, после сокращения

$ 2Z^3+ X^3 +Y^3 = 3Z^3\equiv 0\mod P_2$,

что невозможно.

Благодаря (6) пришли к Противоречию.

Найденные противоречия - результат допущений (3) и (6).
Справедливость этих допущений еще следует доказать.
И лучше всего для общего случая.
Пусть существует такое $P_n$, что справедливо сравнение
$X^{3K} + Y^{3K}-Z^{3K}\equiv 0\mod P_n $.
И пусть $(ZXY, P_n) = 1$.
И очевидно $X^3 + Y^3-Z^3\equiv 0\mod P_n $.
Надеюсь на помощь участников форума.

[venco]

vasili в сообщении #958512 писал(а):

получим

$X^3Y^3 + Y^3X^3 =2X^3Y^3\equiv 0\mod P_1$, что невозможно.

А почему вы решили, что это невозможно?

[Феликс Шмидель]

venco в сообщении #958545 писал(а):

vasili в сообщении #958512 писал(а):

получим

$X^3Y^3 + Y^3X^3 =2X^3Y^3\equiv 0\mod P_1$, что невозможно.

А почему вы решили, что это невозможно?

Понятно почему: из условия (3).

[venco]

Ага, пропустил. Тогда вопрос - а зачем это условие?

[Феликс Шмидель]

venco в сообщении #958586 писал(а):

Ага, пропустил. Тогда вопрос - а зачем это условие?

Понятно зачем: чтобы можно было получить противоречие и доказать ВТФ.

[Феликс Шмидель]

vasili в сообщении #958512 писал(а):

Пусть существует такое $P_n$, что справедливо сравнение
$X^{3K} + Y^{3K}-Z^{3K}\equiv 0\mod P_n $.
И пусть $(ZXY, P_n) = 1$.
И очевидно $X^3 + Y^3-Z^3\equiv 0\mod P_n $.

Пусть, например, $K=5$ или $K=7$.
Тогда условия $(ZXY, P_n) = 1$ недостаточно, чтобы получить противоречие.
Если добавить дополнительное условие: $(X^3 Y^3-X^3 Z^3-Y^3 Z^3, P_n) = 1$ противоречие получить можно.

[vasili]

Уважаемый Феликс Шмидель! Вы правильно указали, что если $K=5$ или $K = 7$, то существует такое простое число $P_n$, что в частности для ($K = 5$) $X^{15} + Y^{15}-Z^{15}\equiv 0\mod P_n$ и $(ZXY,P_n) = 1$.
Указанное Вами дополнительное условие ошибочно, так как $(X^3Y^3-X^3Z^3-Y^3Z^3, P_n) = P_n$ для $K = 5$ или [math]$K =7$[/math.

[Феликс Шмидель]

А я что говорю, уважаемый vasili? $(X^3Y^3-X^3Z^3-Y^3Z^3, P_n) = P_n$, а если предположить, что $(X^3Y^3-X^3Z^3-Y^3Z^3, P_n) = 1$, то можно получить противоречие.

[vasili]

Уважаемый Шмидель! В этом случае не существует такого простого $P_n$, удовлетворяющего 2 условиям:
условию $X^{15} + Y^{15}-Z^{15}\equiv 0\mod P_n$ и условию $(ZXY, P_n)= 1$

[Феликс Шмидель]

vasili в сообщении #959017 писал(а):

Уважаемый Шмидель! В этом случае не существует такого простого $P_n$, удовлетворяющего 2 условиям:
условию $X^{15} + Y^{15}-Z^{15}\equiv 0\mod P_n$ и условию $(ZXY, P_n)= 1$

Докажите. Не думаю, что Вам это удастся без третьего условия.

[vasili]

Уважаемый Феликс Шмидель!

Преобразуем с учетом (1) Ваше дополнительное условие

$X^3Y^3-Z^3X^3-Z^3Y^3 =X^3Y^3-Z^3(X^3 + Y^3) = - [(X^3 + Y^3)^2 –- - X^3Y^3]$,

где $( (X^3 + Y^3)^2 -X^3Y^3, P_n) = 1$,


Преобразуем c учетом (1) сравнение для К =5

$(X^3)^5 + (Y^3)^5-(Z^3)^5=(X^3 + Y^3) ^5-5X^3Y^3(X^3 + Y^3)[(X^3 + +Y^3)^2-X^3Y^3]-(Z^3)^5 = (Z^3)^5-5X^3Y^3Z^3[(X^3 + Y^3)^2-X^3Y^3]- - (Z^3)^5\equiv 0\mod P_n$,

отсюда

$5X^3Y^3Z^3[(X^3 + Y^3)^2-X^3Y^3]\equiv 0\mod P_n\engo(A)$

Если $P_n$ не принадлежит (как Вы утверждаете) выражению в квадратных

скобках, сравнения (A), то тогда $P_n$ должен принадлежать одному из

чисел $X,Y,Z$ , что противоречит 2 –му условию

или равно 5. Однако по сообщениям (на форуме) число 5 принадлежит

одному из чисел $(X,Y,Z)$, для ВТФ (Р = 3), что так же противоречит 2-му

условию.

Выбора нет, простое число $P_n$ должно удовлетворять условию

$((X^3 + Y^3)^2 -X^3Y^3, P_n) = P_n$.

[Феликс Шмидель]

Всё правильно, и я о том же. В чём же Вы со мной несогласны?

[vasili]

Уважаемый Феликс Шмидель! Мне непонятна Ваша логика, когда Вы пишете, что 2-го условия недостаточно для получения противоречия и необходимо дополнительное условие.Но дополнительное условие "уничтожает" модуль - $P_n$, а значит и все размышления на эту тему.

[Феликс Шмидель]

Хорошо, давайте встанем на Вашу точку зрения и попробуем получить противоречие из условий: $X^{15} + Y^{15}-Z^{15}\equiv 0\mod P_n$, $(ZXY, P_n)= 1$ и $X^3 + Y^3 - Z^3 = 0$.

Вы показали, что эти условия равносильны следующим: $X^3 + Y^3 - Z^3 = 0$ и $(X^3 Y^3-X^3 Z^3-Y^3 Z^3, P_n) = P_n$.
Если последнее условие выполняется, то выполняется и условие $(ZXY, P_n)=1$.
У Вас есть идеи, как из этих условий получить противоречие?

[vasili]

Уважаемый Феликс Шмидель! Есть идея. Я оформляю и покажу. Благодарю за помощь.