Ха-ха. Это как раз Вы используете априорные знания о характере сигнала, почему-то предполагая, что за пределами рассматриваемого отрезка он повторяется с периодом, в точности равном длине рассматриваемого отрезка сигнала.
нет, конечно. Я прекрасно понимаю, что, сделав конечное количество измерений за конечный промежуток времени, мы потеряли какую-то информацию о бесконечном непрерывном сигнале. В частности утеряна информация о поведении сигнала вне временного окна.
Вы плохо прочитали. Эквивалентных описаний одного и того же сигнала в рассматриваемой области - множество. Они отличаются предположениями о том, каков этот сигнал вне рассматриваемой области.
нет. Это Вы плохо написали. Если для описания сигнала, кроме отсчетов во временной или спектральной области требуются ещё какие-то предположения, то это совсем не обзательно эквивалентные описания. Эквивалентные описания сигнала - это когда существует процедура получения одного описания из другого и наоборот. Какие-то предположения о том, о чем информация уже утеряна, не имеют в данном случае никакой роли.
Поймите одну простую вещь. ДПФ применяется не к сигналу (непрерывному и бесконечному), оно применяется к конечному упорядоченному набору чисел. И результатом его является конечный упорядоченный набор чисел.
Чтобы описать набор измерений
![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
независимых величин нам потребуется набор из
ровно ![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
независимых переменных.
Если переменных будет больше, то не все они будет независимые. Если переменных будет меньше, то не все наборы из
![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
величин могут быть заданы этими переменными. Вот и весь глубокий смысл равенства количества отсчетов во временной и в спектральной области.
Кстати, есть теорема, что при заданном количестве отсчетов разрешение во временной области обратно пропорционально разрешению в спектральной области. Это как раз про то, что ДПФ не добавляет (и не уменьшает) информацию о сигнале.