Спектр сигнала и амплитуда.

[novichok2018]

То, что в общем случае нельзя по спектру восстановить амплитуду - это знаменитая задача Паули, если я не перепутал. В некоторых случаях можно, например, в простейшей задаче рассеяния, там это называется дисперсионными соотношениями. И всегда можно для обобщения ПФ - квадратичного или дробного ПФ. Как то так.

[ViktorArs]

Спасибо всем за коментарии. Много позновательного. Все сказанное приму во внимание.

Цитата:

Даже если у Вас "спектр мощности", извлекши корень Вы амплитуду, скорее всего, не получите. Даже если частота входного сигнала в точности попадёт на "зубец гребёнки частот", но, скорее всего, не попадёт, а будет между зубцами.

Правильно ли я понимаю , что если напрмер у меня основная гармоника 50 Гц, то чтобы мне именно ее увидеть, (а не 49.5), то нужно выбрать определенное соотношение между количеством отсчетов в сигнале и частотой дискретизации, так , чтобы точка получиласть ровно 50?

[epros]

ViktorArs в сообщении #1529962 писал(а):

выбрать определенное соотношение между количеством отсчетов в сигнале и частотой дискретизации

Это что значит?
Вообще-то, в первую очередь нужно вспомнить, что вычисление спектра конечного куска сигнала приводит к "размыванию" всех его гармоник, тем большему, чем короче этот кусок.

[ViktorArs]

Например, если у нас 1 кГц дискретизация, и 1000 точек в сигнале, то 50-я точка в спектре, будет точно соответствовать 50 Гц (да, ясно что в зависимости от длины, размытие и тд ти тп). А если например не 1000 точек, а 1050 точек, то
51-я точка 48,57 Гц
52-я точка 49,52 Гц
53-я точка 50,47 Гц
т.е. в точку 50 Гц не попало. И чтобы попадать в нее соотношение между дискретизацией сигнала и кол-вом точек должно быть вполне определенным (не любым).

[epros]

Дискретизация - это умножение сигнала на решётку Дирака. Как известно, спектром произведения является свёртка спектров сомножителей. Поскольку спектром решётки Дирака является решётка Дирака, спектр дискретизованного сигнала является просто повторением спектра исходного сигнала через частоту дискретизации. Если нас интересует только небольшая (низкочастотная) часть спектра, а частота дискретизации достаточно высока, то нам на эти повторения наплевать.

Например, если в сигнале почти нет гармоник выше 100 Гц, мы будем смотреть на спектр только до 100 Гц, а на то, что он повторяется через 1 кГц (частоту дискретизации), 2 кГц, 3 кГц и т.д., нам наплевать.

Теперь про дискретность самого спектра. Когда мы смотрим спектр конечного куска сигнала (например, длительностью 1 секунда), то должны иметь в виду, что он непрерывный. Но если мы периодически продолжим этот кусок сигнала (например, повторим его через каждую секунду), то спектр такого периодического сигнала будет дискретным, а именно будет состоять из дельта-функций с разными множителями, находящихся через 1 Гц друг от друга (период повторения сигнала).

Вот и думайте теперь, как выбрать частоту дискретизации и период повторения сигнала по времени таким образом, чтобы в точности попасть в какую-то конкретную гармонику.

[ViktorArs]

Спасибо за ответ. Все ясно.

Я больше практик, поэтому меня интересуют нюансы.
1. ДПФ (как и БПФ) постоянную составляющую (0 Гц) также вытаскивает. Ибо $e^0$ даст постоянную. Это так?
2. Вы пишите, что спектр повторяется через 1 кГц. В этом случае, при 1000 точек в сигнале, первая точка спектра будет при $f_S\cdot(1-1)/N = 0 \text{ Гц}$, а последняя при $f_S\cdot(N-1)/N = f_S\cdot 999 /1000 = 999 \text{ Гц}$. А начиная с 1000 Гц пойдет уже "повторяющийся" спектр. Т.е. Точка при $f=0 \text{ Гц}$ и при $f=1000 \text{ Гц}$ это одна и таже 1-я точка, только одна в основном спектре, а другая в повторяющемся. Это так?

[Евгений Машеров]

ViktorArs в сообщении #1529962 писал(а):

Правильно ли я понимаю , что если напрмер у меня основная гармоника 50 Гц, то чтобы мне именно ее увидеть, (а не 49.5), то нужно выбрать определенное соотношение между количеством отсчетов в сигнале и частотой дискретизации, так , чтобы точка получиласть ровно 50?

Чтобы увидеть её в виде отдельного пика, без расщепления на два соседних и без паразитных пичков, надо, чтобы она была равна $f=\frac {kF_N} {n}$, где $F_N$ - частота Найквиста-Котельникова-Шеннона, n - число точек спектра, k - целое. Причём с высокой точностью, даже небольшое расхождение (ну, скажем, позволенное ГОСТом для частоты сети - нормально допустимые 0.2 Гц, тем более предельно допустимые 0.4 Гц) уже красивый единственный пик "убьют". При такой частоте значение синусоиды в начале отрезка и в конце совпадают, и разрыва не случается. А именно он и даёт "пички".

[epros]

ViktorArs, давайте на примере. Скажем, есть Ваша любимая синусоида частотой 50 Гц. Её спектр представляет собой дельта-функцию: $\delta(t-50)$. Но если рассмотреть от неё только кусок длиной, скажем, 1 секунду, то спектр такого обрезанного сигнала окажется примерно таков:



Если мы хотим "дискретизировать спектр", то мы можем повторить этот кусок через каждую секунду (этому соответствует свёртка сигнала с решёткой Дирака с шагом в 1 секунду). Поскольку спектр свёртки является произведением спектров аргументов свёртки, мы должны умножить спектр на картинке на решётку Дирака с шагом в 1 Гц. Но (сюрприз, сюрприз!) дельта-функции в точках 47 Гц, 48 Гц, 49 Гц, а также в точках 51 Гц, 52 Гц, 53 Гц и т.д. попадают в точности в нули того спектра, который на картинке. Так что от спектра остаётся одна дельта-функций в точке 50 Гц - вернулись к исходной не обрезанной синусоиде.

А давайте попробуем повторить наш кусок сигнала не через 1 секунду, а через 1.1 секунды. Это значит, что спектр на картинке нужно умножить на решётку Дирака, дельта-функции которой находятся в точках 48.6 Гц, 49.5 Гц, 50.4 Гц, 51.3 Гц и т.д. (через 0.9 Гц). Гармоники 50 Гц, как видите, нет. Хотя это в точности тот же самый кусок сигнала.

[ViktorArs]

Спасибо большое. Много понятнее становится.
Особенно по теоретической части. Спасибо.
По теории вопрос: кол-во точек спектра равно количеству точек сигнала. Это теорема какая-то есть? Или правило?

Евгений Машеров в сообщении #1529996 писал(а):

ViktorArs в сообщении #1529962 писал(а):

Правильно ли я понимаю , что если напрмер у меня основная гармоника 50 Гц, то чтобы мне именно ее увидеть, (а не 49.5), то нужно выбрать определенное соотношение между количеством отсчетов в сигнале и частотой дискретизации, так , чтобы точка получиласть ровно 50?

Чтобы увидеть её в виде отдельного пика, без расщепления на два соседних и без паразитных пичков, надо, чтобы она была равна $f=\frac {kF_N} {n}$, где $F_N$ - частота Найквиста-Котельникова-Шеннона, n - число точек спектра, k - целое. Причём с высокой точностью, даже небольшое расхождение (ну, скажем, позволенное ГОСТом для частоты сети - нормально допустимые 0.2 Гц, тем более предельно допустимые 0.4 Гц) уже красивый единственный пик "убьют". При такой частоте значение синусоиды в начале отрезка и в конце совпадают, и разрыва не случается. А именно он и даёт "пички".

Так всеж уточнить хочу по практическому вопросу
1-я точка $ F_N \cdot 0 / n$
N-я точка $ F_N \cdot (n-1) / n$
N+1-я точка $ F_N \cdot n / n = F_N$
???
и N+1-я точка это уже повторяющийся спектра начинается?
ЗЫ: Обозначения в формулах согласно цитаты.

[epros]

ViktorArs в сообщении #1530002 писал(а):

Спасибо большое. Много понятнее становится.
Особенно по теоретической части. Спасибо.
По теории вопрос: кол-во точек спектра равно количеству точек сигнала. Это теорема какая-то есть? Или правило?

Шаг дискретизации спектра, очевидно, должен быть не больше, чем $\frac{1}{T}$, где $T$ - длительность того куска сигнала, спектр которого Вы считаете.
А шаг дискретизации сигнала, очевидно, должен быть не больше, чем $\frac{1}{f}$, где $f$ - удвоенная максимальная частота в его спектре (иначе при дискретизации верхние частоты спектра наложатся друг на друга).
Вот и все правила.

[EUgeneUS]

ViktorArs в сообщении #1530002 писал(а):

По теории вопрос: кол-во точек спектра равно количеству точек сигнала. Это теорема какая-то есть? Или правило?

Это следует из определения дискретного преобразования Фурье.

Уважаемый epros почему-то (по неведомым мне причинам) игнорирует свойства ДПФ, по ходу дела выводя некоторые из них.

Вот это:

epros в сообщении #1529998 писал(а):

Если мы хотим "дискретизировать спектр", то мы можем повторить этот кусок через каждую секунду (этому соответствует свёртка сигнала с решёткой Дирака с шагом в 1 секунду). Поскольку спектр свёртки является произведением спектров аргументов свёртки, мы должны умножить спектр на картинке на решётку Дирака с шагом в 1 Гц. Но (сюрприз, сюрприз!) дельта-функции в точках 47 Гц, 48 Гц, 49 Гц, а также в точках 51 Гц, 52 Гц, 53 Гц и т.д. попадают в точности в нули того спектра, который на картинке. Так что от спектра остаётся одна дельта-функций в точке 50 Гц - вернулись к исходной не обрезанной синусоиде.

Это известное _теоретическое_ свойство ДПФ. При этом артефакт конечного окна (спектр гармонического сигнала получается не дельта-функцией, а модулем от $\operatoname(sinc)$) "уничтожается" артефактом ДПФ. Именно это Вы хотели получить в этом посте.
Практически этого достичь весьма сложно, почти невозможно, почему так - объяснил уважаемый Евгений Машеров.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1530053 писал(а):

Это следует из определения дискретного преобразования Фурье.

Что не мешает использовать другое определение, которое тоже будет про дискретизацию (по времени и по частоте) и про преобразование Фурье, а значит оно тоже будет дискретным преобразованием Фурье.

EUgeneUS в сообщении #1530053 писал(а):

При этом артефакт конечного окна (спектр гармонического сигнала получается не дельта-функцией, а модулем от $\operatoname(sinc)$) "уничтожается" артефактом ДПФ.

Этот "артефакт" является всего лишь следствием выбора специфического способа перехода от конечного сигнала к периодическому, в результате которого мы случайно получили исходную синусоиду. Но, вообще-то говоря, никому не известно, что находится за пределами того участка, на котором мы отсчитываем сигнал, так что в реальной природе никакого такого эффекта не существует. На абзац ниже я написал, что можно дискретизировать спектр не через 1 Гц, а через 0.9 Гц, что соответствует повторению этого секундного отрезка сигнала не через 1 секунду, а примерно через 1.1 секунды. И этот способ - такой же законный.

Что касается количества отсчётов:
Посмотрев на картинку, мы можем догадаться, что где-то выше 100 Гц спектр этого отрезка сигнала становится мало отличим от нуля. Это значит, что при дискретизации сигнала с частотой 200 Гц мы внесём в его спектр (в ту его часть, которая от 0 до 100 Гц) пренебрежимо малые искажения. Это соответствует 200 отсчётам на рассматриваемом секундном отрезке. Т.е. всего лишь по 4 отсчёта на каждый период исходной синусоиды в 50 Гц дают не такое уж плохое качество. Означает ли это, что в спектре тоже должно быть ровно 200 отсчётов? А вот ни фига! Ничто не мешает нам отсчитывать линии спектра через каждые 0.1 Гц (т.е. 1000 отсчётов от 0 до 100 Гц), что соответствует повторению рассматриваемого секундного отрезка сигнала с периодом в 10 секунд. Берёте формулу преобразования Фурье и считаете, никаких проблем. И когда будем вычислять исходный сигнал через обратное преобразование Фурье, на секундном отрезке получим ровно то же самое, как если бы взяли линии спектра через 1 Гц.

[EUgeneUS]

epros в сообщении .#1530069 писал(а):

Что не мешает использовать другое определение, которое тоже будет про дискретизацию (по времени и по частоте) и про преобразование Фурье, а значит оно тоже будет дискретным преобразованием Фурье.

мешает другое. а именно:
а) набор отсчетов во временной области и набор отсчетов в спектральной области - это эквивалентные описания одного и того же сигнала.
б) то есть у преобразования должно существовать обратное, которое в точности восстанавливает исходный набор отсчетов. А это возможно только при равенстве количества отсчетов в спектральной и временной области.

Поэтому, дискретное преобразование Фурье с непрямоугольным окном, это таки дискретное преобразование Фурье (с непрямоугольным окном).

А то, что Вы пишите ниже этих слов:

epros в сообщении #1530069 писал(а):

Что касается количества отсчётов:

это какие-то манипуляции с сигналом и/или его спектром с использованием априорных знаний о характере сигнала.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1530105 писал(а):

а) набор отсчетов во временной области и набор отсчетов в спектральной области - это эквивалентные описания одного и того же сигнала.

Вы плохо прочитали. Эквивалентных описаний одного и того же сигнала в рассматриваемой области - множество. Они отличаются предположениями о том, каков этот сигнал вне рассматриваемой области.

EUgeneUS в сообщении #1530105 писал(а):

б) то есть у преобразования должно существовать обратное, которое в точности восстанавливает исходный набор отсчетов. А это возможно только при равенстве количества отсчетов в спектральной и временной области.

Это возможно при любом количестве отсчётов спектра, не меньшем некоторой величины. Причём во всех этих случаях обратное преобразование в точности восстанавливает исходный сигнал на рассматриваемом отрезке.

EUgeneUS в сообщении #1530105 писал(а):

это какие-то манипуляции с сигналом и/или его спектром с использованием априорных знаний о характере сигнала.

Ха-ха. Это как раз Вы используете априорные знания о характере сигнала, почему-то предполагая, что за пределами рассматриваемого отрезка он повторяется с периодом, в точности равном длине рассматриваемого отрезка сигнала.

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1530111 писал(а):

Ха-ха. Это как раз Вы используете априорные знания о характере сигнала, почему-то предполагая, что за пределами рассматриваемого отрезка он повторяется с периодом, в точности равном длине рассматриваемого отрезка сигнала.

нет, конечно. Я прекрасно понимаю, что, сделав конечное количество измерений за конечный промежуток времени, мы потеряли какую-то информацию о бесконечном непрерывном сигнале. В частности утеряна информация о поведении сигнала вне временного окна.

epros в сообщении #1530111 писал(а):

Вы плохо прочитали. Эквивалентных описаний одного и того же сигнала в рассматриваемой области - множество. Они отличаются предположениями о том, каков этот сигнал вне рассматриваемой области.

нет. Это Вы плохо написали. Если для описания сигнала, кроме отсчетов во временной или спектральной области требуются ещё какие-то предположения, то это совсем не обзательно эквивалентные описания. Эквивалентные описания сигнала - это когда существует процедура получения одного описания из другого и наоборот. Какие-то предположения о том, о чем информация уже утеряна, не имеют в данном случае никакой роли.

Поймите одну простую вещь. ДПФ применяется не к сигналу (непрерывному и бесконечному), оно применяется к конечному упорядоченному набору чисел. И результатом его является конечный упорядоченный набор чисел.
Чтобы описать набор измерений $N$ независимых величин нам потребуется набор из ровно $N$ независимых переменных.
Если переменных будет больше, то не все они будет независимые. Если переменных будет меньше, то не все наборы из $N$ величин могут быть заданы этими переменными. Вот и весь глубокий смысл равенства количества отсчетов во временной и в спектральной области.

Кстати, есть теорема, что при заданном количестве отсчетов разрешение во временной области обратно пропорционально разрешению в спектральной области. Это как раз про то, что ДПФ не добавляет (и не уменьшает) информацию о сигнале.