Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения

[Farest2]

Внесу свой вклад -- интегральное соотношение между нулевым Бесселем и функцией Эйри. От интеграла можно избавиться с помощью функции Пирси, но и без неё формула, на мой взгляд, довольно изящна ($x$ -- любое вещественное число).

$$ \int_0^\infty J_0(2t^2+xt)\,dt=3\int_0^\infty \mathrm{Ai}(3t^4+xt)\,dt. $$

[VladTK]

На меня сильное впечатление произвела формула для суммы ряда Тейлора, обобщающая ряд экспоненты ($n$ натуральное число)

$$ \sum \limits^{+ \infty}_{k=0} \frac{x^{n k}}{(n k)!}=\frac{1}{n} \; \sum \limits^{n}_{m=1} e^{r_m x} $$

где $r_m$ - это корни из единицы $r_m^n=1$

[Alex_J]

$$\frac{x\pm\sqrt{x^2+4}}{2}=x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+...}}}$$

Было получено здесь.

Из этого получались интересные представления корней некоторых натуральных чисел:
$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+...}}}$ (известное)
$\sqrt{13}=3+2\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+...}}}$
$\sqrt{20}=4+2\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+...}}}$
$\sqrt{5}=2+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+...}}}=1+2\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}$
$\sqrt{29}=5+2\frac{1}{5+\frac{1}{5+\frac{1}{5+...}}}$
$\sqrt{10}=3+\frac{1}{6+\frac{1}{6+\frac{1}{6+...}}}$
$\sqrt{53}=7+2\frac{1}{7+\frac{1}{7+\frac{1}{7+...}}}$
И т.д.

Оттуда же:

$$f(x+a)=\sum^\infty_{n=0}{\frac{f^{(n)}(x)}{n!}a^n}$$

Не то что бы неизвестное, но интересное.

[kotenok gav]

Alex_J в сообщении #1524826 писал(а):

$$\frac{x\pm\sqrt{x^2+4}}{2}=x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+...}}}$$

Это как раз известно и тривиально (в отличие от всего остального, полученого вами в той теме).

Alex_J в сообщении #1524826 писал(а):

$$f(x+a)=\sum^\infty_{n=0}{\frac{f^{(n)}(x)}{n!}a^n}$$

А что неизвестного в формуле Тейлора?

[maxal]

VladTK в сообщении #1519438 писал(а):

На меня сильное впечатление произвела формула для суммы ряда Тейлора, обобщающая ряд экспоненты ($n$ натуральное число)

$$ \sum \limits^{+ \infty}_{k=0} \frac{x^{n k}}{(n k)!}=\frac{1}{n} \; \sum \limits^{n}_{m=1} e^{r_m x} $$

где $r_m$ - это корни из единицы $r_m^n=1$

Это частный случай мультисекции рядов. В данном случае применённый к ряду $e^x=\sum_{k\geq0} \frac{x^k}{k!}$.

[B.A.S.]

kotenok gav в сообщении #1524868 писал(а):

Alex_J в сообщении #1524826 писал(а):

$$f(x+a)=\sum^\infty_{n=0}{\frac{f^{(n)}(x)}{n!}a^n}$$

А что неизвестного в формуле Тейлора?

Интересно, что ее можно записать так (тоже было вроде бы где-то на этом форуме):

e^{a \frac{d}{dx}}f(x)=f(x+a)

Экспонента от оператора дифференцирования! И в результате получается всего лишь оператор сдвига аргумента.


Некоторые решения уравнения $(P(x))^m+(Q(x))^n=(R(x))^k$ в многочленах от одной переменной $x$ с комплексными коэффициентами при натуральных $m,n,k \ge 2$:

12i \sqrt{3} (x^5-x)^2+(x^4-2i \sqrt{3}x^2+1)^3=(x^4+2i \sqrt{3}x^2+1)^3

(x^{12}-33x^8-33x^4+1)^2+108(x^5-x)^4=(x^8+14x^4+1)^3

и монструозное

(x^{30}+1+522(x^{25}-x^5)-10005(x^{20}+x^{10}))^2+(-(x^{20}+1)+228(x^{15}-x^5)-
-494x^{10})^3=1728(x(x^{10}+11x^5-1))^5

Решения (кроме тривиальных, в которых все три многочлена - константы или имеют общий корень) существуют для тех и только тех наборов $(m;n;k)$, для которых $\frac 1m+\frac 1n+\frac 1k>1$ (это следует из аналога abc-гипотезы для многочленов, который, в отличие от соответствующей гипотезы для чисел, доказывается достаточно просто).
Данные соотношения можно преобразовать так, чтобы коэффициенты всех многочленов были целыми (я вообще не понимаю, зачем в первом понадобилось $i$, можно же легко от него избавиться, но видимо, тем методом, которым были найдены эти соотношения, они получились именно в таком виде) и они дадут серии решений соответствующих уравнений в целых числах. Но в целых числах есть решения и при некоторых других $m,n,k$, например $2^5+7^2=3^4$.

[lel0lel]

B.A.S. в сообщении #1527044 писал(а):

Интересно, что ее можно записать так (тоже было вроде бы где-то на этом форуме):
$e^{a \frac{d}{dx}}f(x)=f(x+a)$

Это оператор трансляции в КМ, генератор -- оператор импульса.

[VladTK]

B.A.S. в сообщении #1527044 писал(а):

Интересно, что ее можно записать так (тоже было вроде бы где-то на этом форуме):

e^{a \frac{d}{dx}}f(x)=f(x+a)

Экспонента от оператора дифференцирования! И в результате получается всего лишь оператор сдвига аргумента.

Интересно есть ли обобщение этого выражения на

e^{a \frac{d^n}{dx^n}}f(x)

[novichok2018]

VladTK - есть другое обобщение для функций Бесселя, формула Тэйлора-Дельсарта.
B.A.S. - про решения в многочленах, где можно посмотреть?

[B.A.S.]

novichok2018 в сообщении #1527076 писал(а):

B.A.S. - про решения в многочленах, где можно посмотреть?

Прасолов В.В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу, глава 9 дополнения. Там приведены указанные 3 соотношения и доказательство того, что решения могут быть лишь при определенных наборах показателей. Еще там есть ссылка еще на одну книгу (Ф. Клейн. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени), но я ее не читал.

[kthxbye]

$$\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{b=1}^{\infty} \sum_{c=1}^{\infty} \frac{1}{a(a+b)(a+b+c)^2}=\zeta(4)$$

[Lexey]

Преобразование Фурье распределения Пуассона:

$$ \sum \limits^{\infty}_{k=0} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}e^{i k x}=e^{\lambda(e^{i x} -1)} $$

Мне это выдал Маткад, и нигде более я подобного не нашел (хотя искал не очень сильно).
Более того, мне лично это соотношение упростило решение моей задачи удивительно неожиданным образом.

[nnosipov]

Lexey в сообщении #1540103 писал(а):

Мне это выдал Маткад, и нигде более я подобного не нашел (хотя искал не очень сильно).

Если сократить обе части на $e^{-\lambda}$, то сразу видно, что в ряд для экспоненты вместо переменной просто подставили $\lambda e^{ix}$. Т.е. переменную (произвольное комплексное число) записали в тригонометрической форме и подставили в хорошо известный ряд.

[Lexey]

nnosipov, спасибо, таки да, вывод оказался прост, а я и не пытался его делать, поскольку небыло в этом надобности (Маткаду доверяю).
А перед размещением здесь просто погуглил на предмет малоизвестности в исходном виде, для которого ключевые слова очевидны.

[Lexey]

Распределение взвешенной суммы случайных пуассоновых переменных, заданных распределением $\lambda(w)$ матожидания этих переменных в пространстве весовых коэффициентов:

$$ \mathcal F(e^{\mathcal F^{-1}(\lambda)-\int \limits^\infty_0{\lambda (w)}{dw}} ) $$

Это то что у меня вывелось благодаря упомянутой мной ранее красивой формуле.
Кто-то встречал такое? Почему оно не гуглится? в чем подвох?