2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение11.12.2018, 21:54 
Модератор


13/07/17
165
 i  Отделил «Соотношение с логарифмом».


 i  Отделил очередное «Соотношение Эйлера». Просьба обращать внимание на слово "малоизвестные" в заголовке темы.


 i  Отделил «Соотношения с конечными разностями». Пожалуй, на "малоизвестные" не тянет, но могут быть какие-то интересные обсуждения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение16.02.2019, 12:25 
Заслуженный участник


13/12/05
4038
Не знаю, малоизвестно или нет. Я не знал до недавнего времени, по крайней мере.
Формула суммирования Пуассона (англ. вики)
$$\sum_{n=-\infty}^\infty f(n)=\sum_{k=-\infty}^\infty \hat f\left(k\right),$$
где $\hat f(y)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-2\pi i xy} dx$.

Условия на функцию $f$ -- 1) $f$ абсолютно интегрируема на всей прямой (чтобы преобразование Фурье имело смысл) 2) в любой точке $n\in\mathbb Z$ функция $\varphi(x)=f(x-n)$ в нуле является суммой своего ряда Фурье 3) существует $R>0$ такое, что в промежутках $(-\infty,R)$ и $(R,+\infty)$ функция $f$ имеет ограниченную вариацию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение16.04.2019, 15:50 
Заслуженный участник


20/12/10
7637
Пусть $\Lambda$ --- решетка целых гауссовых чисел (на комплексной плоскости) и $\beta \not\in \Lambda$. Тогда$$\pi=\frac{1}{\beta}+\frac{1}{1-\beta}+\sum_{0 \neq \alpha \in \Lambda}\left(\frac{1}{\alpha+\beta}+\frac{1}{1-\alpha-\beta}+\frac{1}{\alpha^2}\right).$$Это тождество связано с дзета-функцией Вейерштрасса $\zeta(z,\Lambda)$, ассоциированной с решеткой $\Lambda$. Доказательство вполне элементарно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение30.05.2019, 16:07 


30/03/18
5
Самая простая серия замечательных соотношений, где в правых частях равенства идут последовательно нечётные натуральные числа и где количество слагаемых равно соответствующему основанию третьей степени:

$1^3=1,$

$2^3=3+5,$

$3^3=7+9+11,$

$4^3=13+15+17+19,$

$5^3=21+23+25+27+29,$

$6^3=31+33+35+37+39+41,$

$7^3=43+45+47+49+51+53+55, -$

что в общем виде можно написать:

$n^3=\sum\limits_{k=\frac{n(n-1)}{2}}^{\frac{(n-1)(n+2)}{2}}[2k+1].$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение18.06.2019, 18:13 
Заслуженный участник


13/12/05
4038
1) Соотношение для якобианов (непосредственное следствие формулы Бине-Коши)
Если
$$
\begin{array}{cccccc}
\mathbb R^n &\longrightarrow &\mathbb R^m &\longrightarrow &\mathbb R^l \\
x &\longmapsto&y & \longmapsto &z
\end{array}
$$
то для любого набора индексов $1\leqslant i_1<\ldots<i_p\leqslant l$, $1\leqslant j_1<\ldots< j_p\leqslant n$
$$
\frac{\partial(z_{i_1},\ldots, z_{i_p})}{\partial (x_{j_1},\ldots, x_{j_p})}=\sum\limits_{1\leqslant k_1<\ldots<k_p\leqslant m} \frac{\partial(z_{i_1},\ldots, z_{i_p})}{\partial (y_{k_1},\ldots, y_{k_p})}\cdot\frac{\partial(y_{k_1},\ldots, y_{k_p})}{\partial (x_{j_1},\ldots, x_{j_p})}
$$

2) Если отображение $y=f(x)$ определяется из системы уравнений
$$
\begin{cases}
F_1(x_1,\ldots,x_n,y_1\ldots,y_n)=0\\
\cdots\\
 F_n(x_1,\ldots, x_n,y_1,\ldots, y_n)=0
\end{cases}
$$
то его якобиан
$$
\frac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial (x_1,\ldots, x_n)}=(-1)^n\frac{\frac{\partial(F_1,\ldots,F_n)}{\partial (x_1,\ldots, x_n)}}{\frac{\partial(F_1,\ldots,F_n)}{\partial (y_1,\ldots, y_n)}}
$$

Следует из равенства для матриц Якоби $\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial\mathbf {x}}+\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial\mathbf {y}}\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial\mathbf {x}}=0$ $\Longrightarrow$ $\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial\mathbf {x}}=-\left(\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial\mathbf {y}}\right)^{-1}\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial\mathbf {x}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение30.06.2019, 10:19 


04/01/10
101
Ряд
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{[g(n)]}}{f(n)},$$
где $g(x)\to \infty $ возрастающая функция и $\dfrac{g'(x)=o(1)}{x\to \infty}}$, сходится, если монотонно возрастает $g'(x)f(x)\to\infty$ и сходится ряд
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{f(g^{-1}(k))}},$$
где $g^{-1}$ функция, обратная к $g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение16.07.2019, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6561
Теперь есть компьютерная программа для поиска красивых выражений $e$ и $\pi$ через цепные дроби: http://www.ramanujanmachine.com/. Примеры по ссылке есть. Код открытый, работа в распределённой сети пользовательских компьютеров, при желании можно подключиться.

Правда, она их не доказывает, а только формулирует. Насколько я понимаю, порождает по какому-то алгоритму и считает с доступной ей точностью, чтобы слева и справа было одно и то же. Таким образом, получаются гипотезы о тождествах, а не обязательно верные тождества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение20.07.2019, 04:56 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5499
Простенько, но тем не менее:
$$(a+b-2c)^2 + (a+c-2b)^2 + (b+c-2a)^2 = 3\left((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\right).$$

Это тождество также равносильно тому, что при условии $A+B+C=0$ выполняется тождество:
$$(B-C)^2 + (A-B)^2 + (C-A)^2 = 3(A^2 + B^2 + C^2).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение20.07.2019, 07:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1234
Санкт-Петербург
А то еще так:
$$(a+b)^3+(c+d)^3+(a+c)^3+(b+d)^3+(a+d)^3+(b+c)^3=3(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение20.07.2019, 19:40 


18/08/14
57
И еще:
$p\, {{\left( s-k\right) }^{3}}+s\, {{\left( k-p\right) }^{3}}+k\, {{\left( p-s\right) }^{3}}=\left(
k-p\right) \, \left( p-s\right) \, \left( s-k\right) \, \left( s+p+k\right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение28.12.2019, 12:08 


04/01/10
101
piksel в сообщении #1402291 писал(а):
Ряд
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{[g(n)]}}{f(n)},$$
где $g(x)\to \infty $ возрастающая функция и $\dfrac{g'(x)=o(1)}{x\to \infty}}$, сходится, если монотонно возрастают $f(x)}$, $g'(x)f(x)\to\infty$ и сходится ряд
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{f(g^{-1}(k))}},$$
где $g^{-1}$ функция, обратная к $g$.

Исправлено, добавлено условие: $f(x)$ монотонно возрастает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение28.12.2019, 16:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
maxal в сообщении #1406099 писал(а):
Это тождество также равносильно тому, что при условии $A+B+C=0$ выполняется тождество:
$$(B-C)^2 + (A-B)^2 + (C-A)^2 = 3(A^2 + B^2 + C^2).$$

Потому что $-2(AB+BC+CA)=A^2+B^2+C^2,$ что получается простым возведением в квадрат $A+B+C=0.$

Но таким образом,
выполняются также и для векторов:
$$(\vec a+\vec b-2\vec c)^2 + (\vec a+\vec c-2\vec b)^2 + (\vec b+\vec c-2\vec a)^2 = 3\left((\vec a-\vec b)^2+(\vec a-\vec c)^2+(\vec b-\vec c)^2\right)$$ $$(\vec B-\vec C)^2 + (\vec A-\vec B)^2 + (\vec C-\vec A)^2 = 3(\vec A^2 + \vec B^2 + \vec C^2)$$
Велик соблазн проинтерпретировать $\vec a,\vec b,\vec c$ как радиус-векторы вершин треугольника, а $\vec A,\vec B,\vec C$ - как векторы его сторон, и дальше обобщить эти соотношения на многоугольники или на $n$-мерные тетраэдры. Но для этого нужно понять геометрический смысл этих соотношений, а я его пока не вижу.

-- 28.12.2019 16:41:31 --

Впрочем, для $n$-мерного тетраэдра (симплекса), вроде, получается чисто алгебраически:
$$\sum\limits_{i=1}^n \vec A_i=0\qquad\Longrightarrow\qquad\sum\limits_{\substack{i,j=1\\i>j}}^n (\vec A_i-\vec A_j)^2=n\sum\limits_{i=1}^n \vec A_i^{\,2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение27.03.2020, 20:01 
Заслуженный участник


26/06/07
1917
Tel-aviv
$$\left|\begin{pmatrix}(x^2+1)^2 & (xy+1)^2 & (xz+1)^2  \\ (xy+1)^2 & (y^2+1)^2 & (yz+1)^2 \\ (xz+1)^2 & (yz+1)^2 & (z^2+1)^2  \end{pmatrix}\right|=2(x-y)^2(x-z)^2(y-z)^2$$
Имеется доказательство без раскрытия определителя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение29.06.2020, 05:34 
Аватара пользователя


07/01/15
1117
Якутск
$$
6\sum_{m,n=-\infty}^{\infty} e^{ -\frac{ 4\pi }{ \sqrt{7} } (m^2+mn+2n^2) } = 5\sum_{m,n=-\infty}^{\infty} e^{ -\frac{ 2\pi }{ \sqrt{7} } (m^2+mn+2n^2) }.
$$
Встречается в статье
Chan, Heng Huat, and Yao Lin Ong. “On Eisenstein Series and ∑m,n=-∞. Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 127, no. 6, 1999, pp. 1735–1744. JSTOR, http://www.jstor.org/stable/119485. Accessed 29 June 2020.

Получен развитием идей Рамануджана и охарактеризован авторами как "surprising identity." И ведь действительно surprising!

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение14.01.2021, 21:59 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5499
В копилку:
scwec в сообщении #1498635 писал(а):
$(x-y)^4+(y-z)^4+(z-x)^4=1/2((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)^2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 91 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group