2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение15.01.2021, 17:44 


26/04/11
90
Внесу свой вклад -- интегральное соотношение между нулевым Бесселем и функцией Эйри. От интеграла можно избавиться с помощью функции Пирси, но и без неё формула, на мой взгляд, довольно изящна ($x$ -- любое вещественное число).
$$
\int_0^\infty J_0(2t^2+xt)\,dt=3\int_0^\infty \mathrm{Ai}(3t^4+xt)\,dt.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение21.05.2021, 19:33 


16/03/07
825
На меня сильное впечатление произвела формула для суммы ряда Тейлора, обобщающая ряд экспоненты ($n$ натуральное число)
$$
\sum \limits^{+ \infty}_{k=0} \frac{x^{n k}}{(n k)!}=\frac{1}{n} \; \sum \limits^{n}_{m=1} e^{r_m x}
$$
где $r_m$ - это корни из единицы $r_m^n=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение30.06.2021, 18:50 
Аватара пользователя


14/08/12
309
$$\frac{x\pm\sqrt{x^2+4}}{2}=x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+...}}}$$
Было получено здесь.

Из этого получались интересные представления корней некоторых натуральных чисел:
$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+...}}}$ (известное)
$\sqrt{13}=3+2\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+...}}}$
$\sqrt{20}=4+2\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+...}}}$
$\sqrt{5}=2+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+...}}}=1+2\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}$
$\sqrt{29}=5+2\frac{1}{5+\frac{1}{5+\frac{1}{5+...}}}$
$\sqrt{10}=3+\frac{1}{6+\frac{1}{6+\frac{1}{6+...}}}$
$\sqrt{53}=7+2\frac{1}{7+\frac{1}{7+\frac{1}{7+...}}}$
И т.д.

Оттуда же:
$$f(x+a)=\sum^\infty_{n=0}{\frac{f^{(n)}(x)}{n!}a^n}$$
Не то что бы неизвестное, но интересное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение01.07.2021, 07:37 


21/05/16
4292
Аделаида
Alex_J в сообщении #1524826 писал(а):
$$\frac{x\pm\sqrt{x^2+4}}{2}=x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x+...}}}$$

Это как раз известно и тривиально (в отличие от всего остального, полученого вами в той теме).
Alex_J в сообщении #1524826 писал(а):
$$f(x+a)=\sum^\infty_{n=0}{\frac{f^{(n)}(x)}{n!}a^n}$$

А что неизвестного в формуле Тейлора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение03.07.2021, 04:18 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
VladTK в сообщении #1519438 писал(а):
На меня сильное впечатление произвела формула для суммы ряда Тейлора, обобщающая ряд экспоненты ($n$ натуральное число)
$$
\sum \limits^{+ \infty}_{k=0} \frac{x^{n k}}{(n k)!}=\frac{1}{n} \; \sum \limits^{n}_{m=1} e^{r_m x}
$$
где $r_m$ - это корни из единицы $r_m^n=1$

Это частный случай мультисекции рядов. В данном случае применённый к ряду $e^x=\sum_{k\geq0} \frac{x^k}{k!}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение24.07.2021, 22:14 
Аватара пользователя


23/07/21
18
kotenok gav в сообщении #1524868 писал(а):
Alex_J в сообщении #1524826 писал(а):
$$f(x+a)=\sum^\infty_{n=0}{\frac{f^{(n)}(x)}{n!}a^n}$$

А что неизвестного в формуле Тейлора?


Интересно, что ее можно записать так (тоже было вроде бы где-то на этом форуме):

e^{a \frac{d}{dx}}f(x)=f(x+a)

Экспонента от оператора дифференцирования! И в результате получается всего лишь оператор сдвига аргумента.


Некоторые решения уравнения $(P(x))^m+(Q(x))^n=(R(x))^k$ в многочленах от одной переменной $x$ с комплексными коэффициентами при натуральных $m,n,k \ge 2$:

12i \sqrt{3} (x^5-x)^2+(x^4-2i \sqrt{3}x^2+1)^3=(x^4+2i \sqrt{3}x^2+1)^3

(x^{12}-33x^8-33x^4+1)^2+108(x^5-x)^4=(x^8+14x^4+1)^3

и монструозное

(x^{30}+1+522(x^{25}-x^5)-10005(x^{20}+x^{10}))^2+(-(x^{20}+1)+228(x^{15}-x^5)-
-494x^{10})^3=1728(x(x^{10}+11x^5-1))^5

Решения (кроме тривиальных, в которых все три многочлена - константы или имеют общий корень) существуют для тех и только тех наборов $(m;n;k)$, для которых $\frac 1m+\frac 1n+\frac 1k>1$ (это следует из аналога abc-гипотезы для многочленов, который, в отличие от соответствующей гипотезы для чисел, доказывается достаточно просто).
Данные соотношения можно преобразовать так, чтобы коэффициенты всех многочленов были целыми (я вообще не понимаю, зачем в первом понадобилось $i$, можно же легко от него избавиться, но видимо, тем методом, которым были найдены эти соотношения, они получились именно в таком виде) и они дадут серии решений соответствующих уравнений в целых числах. Но в целых числах есть решения и при некоторых других $m,n,k$, например $2^5+7^2=3^4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение24.07.2021, 22:27 


20/04/10
1776
B.A.S. в сообщении #1527044 писал(а):
Интересно, что ее можно записать так (тоже было вроде бы где-то на этом форуме):
$e^{a \frac{d}{dx}}f(x)=f(x+a)$

Это оператор трансляции в КМ, генератор -- оператор импульса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение25.07.2021, 09:01 


16/03/07
825
B.A.S. в сообщении #1527044 писал(а):
Интересно, что ее можно записать так (тоже было вроде бы где-то на этом форуме):

e^{a \frac{d}{dx}}f(x)=f(x+a)

Экспонента от оператора дифференцирования! И в результате получается всего лишь оператор сдвига аргумента.


Интересно есть ли обобщение этого выражения на

e^{a \frac{d^n}{dx^n}}f(x)

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение25.07.2021, 10:25 
Заблокирован


16/04/18

1129
VladTK - есть другое обобщение для функций Бесселя, формула Тэйлора-Дельсарта.
B.A.S. - про решения в многочленах, где можно посмотреть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение25.07.2021, 16:16 
Аватара пользователя


23/07/21
18
novichok2018 в сообщении #1527076 писал(а):
B.A.S. - про решения в многочленах, где можно посмотреть?


Прасолов В.В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу, глава 9 дополнения. Там приведены указанные 3 соотношения и доказательство того, что решения могут быть лишь при определенных наборах показателей. Еще там есть ссылка еще на одну книгу (Ф. Клейн. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени), но я ее не читал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение06.08.2021, 21:49 
Аватара пользователя


22/11/13
496
$$\sum_{a=1}^{\infty} \sum_{b=1}^{\infty} \sum_{c=1}^{\infty} \frac{1}{a(a+b)(a+b+c)^2}=\zeta(4)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение22.11.2021, 10:55 


17/09/06
429
Запорожье
Преобразование Фурье распределения Пуассона:
$$
\sum \limits^{\infty}_{k=0} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}e^{i k x}=e^{\lambda(e^{i x} -1)} 
$$
Мне это выдал Маткад, и нигде более я подобного не нашел (хотя искал не очень сильно).
Более того, мне лично это соотношение упростило решение моей задачи удивительно неожиданным образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение22.11.2021, 11:02 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Lexey в сообщении #1540103 писал(а):
Мне это выдал Маткад, и нигде более я подобного не нашел (хотя искал не очень сильно).
Если сократить обе части на $e^{-\lambda}$, то сразу видно, что в ряд для экспоненты вместо переменной просто подставили $\lambda e^{ix}$. Т.е. переменную (произвольное комплексное число) записали в тригонометрической форме и подставили в хорошо известный ряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение22.11.2021, 12:22 


17/09/06
429
Запорожье
nnosipov, спасибо, таки да, вывод оказался прост, а я и не пытался его делать, поскольку небыло в этом надобности (Маткаду доверяю).
А перед размещением здесь просто погуглил на предмет малоизвестности в исходном виде, для которого ключевые слова очевидны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение07.12.2021, 06:22 


17/09/06
429
Запорожье
Распределение взвешенной суммы случайных пуассоновых переменных, заданных распределением $\lambda(w)$ матожидания этих переменных в пространстве весовых коэффициентов:
$$
\mathcal F(e^{\mathcal F^{-1}(\lambda)-\int \limits^\infty_0{\lambda (w)}{dw}} ) 
$$
Это то что у меня вывелось благодаря упомянутой мной ранее красивой формуле.
Кто-то встречал такое? Почему оно не гуглится? в чем подвох?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 117 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group