Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения

[arseniiv]

Panfilov
Да, это аналогичное соотношение, ему тоже удовлетворяет куча функций. Осталось для общности взять в том уравнении не $a = \pm1$, а $a\in\mathbb C : a^2 = 1$.

[Panfilov]

(Оффтоп)

Хочу обратить внимание, что в дополнение к

venco в сообщении #1083351 писал(а):

... что синус тоже оказался решением вышеприведённого функционального уравнения, в дополнение к очевидному $f(x)=x$.

в тождествах:
$A^2\sin^2a-A\sin(a-b)A\sin(a+b)=A^2\sin^2b$
$A^2\cos^2a-A\cos(a-b)A\cos(a+b)=A^2\sin^2b$

$A^2\sin^2b$ -является квадратом половины хорды окружности, радиусом А, между крайними из трех точек на синусоиде (косинусоиде). По трем точкам проекции траектории находим абсолютное значение длины хорды.
Ещё $A^2\sin^2b$ -является степенью точки центра хорды.
Разумеется это константа для всей синусоиды, причем любопытно, что она не спотыкается о точки перегиба.
По аналогии константами будут и другие разности произведений типа:
$A\cos(a)A\cos(a+b)-A\cos(a-b)A\cos(a+2b)=Const$
$A\cos(a)A\cos(a+2b)-A\cos(a-b)A\cos(a+3b)=Const$

[DeBill]

arseniiv

Дифференцируя (по $x$ и $y$ ) уравнение
$f(x+y)f(x-y) = f^2(x) - f^2(y)$

получим

$f''(x+y)\cdot f(x-y) - f(x+y)\cdot f''(x-y) =0$

так что

$\frac{f''(x+y)}{f(x+y)} = \frac{f''(x-y)}{f(x-y)}$

всегда. Значит, $\frac{f''(t)}{f(t)} = \operatorname{const}$.

Выписав общее решение, из исходного ФУ найдем подходящие константы...
(Это решение проходит и для вариантов этого уравнения с костантами и добавками).
Так что мы нашли ВСЕ решения - по крайней мере в классе двжды дифференцируемых) - ну, если, конечно, на 0 можно делить...

[Panfilov]

Функциональное уравнение Стампа, показали недавно.

$f(a) f(a+b-c) - f(a+b) f(a-c) = f(b) f(c)$

Если $ b=c $ , уравнение вырождается в рассмотренное выше.

[arqady]

Докажите, что для всех $a$, $b$ и $c$, для которых $\prod\limits_{cyc}(a+b)\neq0$, верно следующее равенство.

$$\frac{(a^2+bc)(b^2+ac)}{(a+c)(b+c)}+\frac{(a^2+bc)(c^2+ab)}{(a+b)(b+c)}+\frac{(b^2+ac)(c^2+ab)}{(a+b)(a+c)}=a^2+b^2+c^2$$

[sergei1961]

Тупой способ-всё в линию, одну букву назовём иксом, равенство двух многочленов, если сразу не удастся доказать совпадение в нужном числе точек-то вздохнём и будем брать производные?

[arqady]

Сергей, дело не в том, как это доказать. Доказательтво можно устроить обычным раскрытием скобок.
Что, меня лично поражает в этом равенстве, так это то, почему оно вообще говоря может быть верным. Это равенство является, видимо, контр-примером к какому-то неверному утверждению, которое мне не удаётся сформулировать.
Тут всё гораздо сложнее, чем, например, в равенстве $\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+1}=1$ или ему подобных.

[sergei1961]

arqady -возможно, это какая-то интерполяционная формула для суммы квадратов, но я многомерные интерполяционные формулы знаю плохо, а к известной одномерной свести-не получается додумать.

[Lia]

Оффтоп отделен в «Еще одна длина эллипса от kalin»

[Modest]

Формула для производной сложной функции перенесена в Чулан.

[kthxbye]

$$\prod\limits_{p[4k+1]}^{\infty}\frac{p+1}{p-1}\prod\limits_{p[6k+1]}^{\infty}\frac{p-1}{p+1}=\prod\limits_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(6n-3)^2}{(6n-2)(6n-4)}\right]=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

Здесь $p[mk+n]$ - простые вида $mk+n$. Равенство не тривиальное - произведения очень похожи, но в первом отствует ряд членов, присутствующих во втором:

$$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{9}{8}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{15}{14}\cdot\frac{15}{16}\cdot \frac{21}{20}\cdot\frac{21}{22}\cdot\frac{27}{26}\cdot\color{red}{\frac{27}{28}}\color{black}\cdot\color{red}{\frac{33}{32}}\color{black}\cdot\frac{33}{34}\cdot\color{red}{\frac{39}{38}}\color{black}\cdot\frac{39}{40}\cdot\frac{45}{44}\cdot\color{red}{\frac{45}{46}}\color{black}\cdot\frac{51}{50}\cdot\frac{51}{52}\cdots$$

Часть из них чуть больше единицы, другая часть - чуть меньше, но в бесконечности все они сходятся к $1$. Иначе это можно записать так:

$$\prod\limits_{s[12k+5]}^{\infty}\frac{s+1}{s-1}\prod\limits_{s[12k+7]}^{\infty}\frac{s-1}{s+1}=\prod\limits_{s[12k+7]}^{\infty}\frac{s+1}{s-1}\prod\limits_{s[12k+5]}^{\infty}\frac{s-1}{s+1}=1$$

Здесь $s[mk+n]$ - составные вида $mk+n$.

[kthxbye]

Произведение знакочередующихся сумм чисел, обратных взаимно простым с $n$, типа $+-$ и $++--$ равно знакочередующейся сумме типа $+--+$ обратных взаимно простым с $n$ в квадрате.

$$\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots\right)\left(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots\right)=\left(1-\frac{1}{3^2}-\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots\right)=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}\pi^2}{16}$$

$$\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots\right)\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots\right)=\left(1-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots\right)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}=\frac{2\pi^2}{27}$$

$$\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots\right)\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots\right)=\left(1-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots\right)=\frac{2\pi}{5^{5/4}\sqrt{\varphi}}\cdot\frac{2\pi\sqrt{\varphi}}{5^{5/4}}=\frac{4\pi^2}{5^{5/2}}$$

[kthxbye]

Довольно простая, на первый взгляд, сумма:

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2+1}=\frac{\pi}{4}\tanh\left(\frac{\pi}{2}\right)$$

В общем виде:

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2-z^2}=\frac{\pi}{4z}\tg\left(\frac{\pi z}{2}\right)$$

[kthxbye]

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(5n-1)5n(5n+1)}=\frac{\ln(\sqrt{5}\varphi^{1/\sqrt{5}})-1}{2}$$

[ps16015]

Связь арксинуса с синусом:

$\forall x > 1: i\arcsin \left(i\cdot \frac{1-x^2}{2x} \right)=x-1-\int _1^x\frac{\int_0^{\pi/2}\sin^x(t)dt }{\int^{\pi/2}_0\sin^{x-2}(t)dt }\,dx$