Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения

[Brukvalub]

Panfilov в сообщении #1083193 писал(а):

а так:

$\sin(a-b)\sin(a+b)=\sin^2a-\sin^2b$

А это не "малоизвестный и красивый факт", а просто упражнение по тригонометрии для школяров. Вы перепутали темы.

[venco]

Brukvalub в сообщении #1083232 писал(а):

Panfilov в сообщении #1083193 писал(а):

а так:

$\sin(a-b)\sin(a+b)=\sin^2a-\sin^2b$

А это не "малоизвестный и красивый факт", а просто упражнение по тригонометрии для школяров. Вы перепутали темы.

По-моему, вы несправедливы. Мне этот факт не был известен, по крайней мере, я не помню, чтобы встречал такое.
Тем не менее, то, что оно легко выводится, не отменяет того, что само тождество - неожиданное, особенно если его записать так:
$\sin(a-b)\sin(a+b) = (\sin a-\sin b)(\sin a+\sin b)$

[arseniiv]

Это выполняется и для гиперболического синуса. В итоге решениями $f(x+y)f(x-y) = f^2(x) - f^2(y)$ как минимум являются $\mathrm{id},\sin,\sh$ и решения, умноженные на константу с аргументом, умноженным на константу. Общий вид чего-то не находится. Кстати, может, тему про это уравнение создать? Есть аналогичное «чётное».

[Brukvalub]

venco в сообщении #1083324 писал(а):

Тем не менее, то, что оно легко выводится, не отменяет того, что само тождество - неожиданное

Тогда давайте не мелочиться и выпишем сюда все упражнения на тождественные преобразования по тригонометрии из, скажем, Сканави, мне они все кажутся сказочными и удивительными.

[venco]

Зачем все? Я только про это сказал. Если вы не поняли, чем оно примечательно, то это как раз тем, что синус тоже оказался решением вышеприведённого функционального уравнения, в дополнение к очевидному $f(x)=x$.
Мне этот факт показался интересным.

[maxal]

g______d в сообщении #840771 писал(а):

$$ \int\limits_0^1 x^{-x}\,dx=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}n^{-n} $$

Недавно только узнал, что это тождество называется "мечтой второкурсника"

[venco]

arseniiv в сообщении #1083330 писал(а):

Это выполняется и для гиперболического синуса. В итоге решениями $f(x+y)f(x-y) = f^2(x) - f^2(y)$ как минимум являются $\mathrm{id},\sin,\sh$ и решения, умноженные на константу с аргументом, умноженным на константу. Общий вид чего-то не находится. Кстати, может, тему про это уравнение создать? Есть аналогичное «чётное».

Общий вид: $f(x) = c\sum{a^k x^{2k+1}\over{(2k+1)!}}$
При разных параметрах $a$ и $c$ получаются как раз $\mathrm{id},\sin,\sh$.

[maxal]

venco в сообщении #1083355 писал(а):

Общий вид: $f(x) = c\sum{a^k x^{2k+1}\over{(2k+1)!}}$

Это сворачивается до $\frac{c}{\sqrt{a}} \sinh(\sqrt{a}\cdot x)$.

[arseniiv]

venco
О. Кажется, я к чему-то подобному почти подошёл. Хотя, наверно, не с той стороны, потому что не очень прозрачно пока. Поместил ваш ответ в тему (всё-таки создал её) в спойлере.

-- Пт дек 18, 2015 23:48:09 --

Выглядит как мультисекция (здесь би-) ряда, но почему она появляется…

[venco]

maxal в сообщении #1083359 писал(а):

venco в сообщении #1083355 писал(а):

Общий вид: $f(x) = c\sum{a^k x^{2k+1}\over{(2k+1)!}}$

Это сворачивается до $\frac{c}{\sqrt{a}} \sinh(\sqrt{a}\cdot x)$.

Не совсем. $\mathrm{id}$ должно получиться при $a=0$, а в вашей формуле с этим проблемы.

[arseniiv]

Надо просто ввести shc по аналогии с sinc как доопределённый по непрерывности $\sh z/z$, получится и компактнее: $cx\operatorname{shc}(x\sqrt{a})$.

[venco]

arseniiv в сообщении #1083362 писал(а):

Надо просто ввести shc по аналогии с sinc как доопределённый по непрерывности $\sh z/z$, получится и компактнее: $cx\operatorname{shc}(x\sqrt{a})$.

Таким образом синус мнимым получится. А если перейти к комплексным параметрам (а что нам мешает?) то и корень не нужен. И вместо shc можно использовать с тем же успехом стандартный sinc:

$$cx\operatorname{sinc}(ax)$$

Я думаю, на этом можно закончить.

[arseniiv]

Ага. (Только я так и не понял, как вывести ряд из первых принципов, прямо из уравнения. )

[venco]

Если честно, я его почти угадал. Взял первые несколько членов Тейлора и нашёл между ними соотношение. Синус получился однозначно.

[Panfilov]

$\cos(a-b)\cos(a+b)+1=\cos^2a+\cos^2b$