2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ... 19  След.
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 20:53 


21/04/19
1210
Mikhail_K в сообщении #1521966 писал(а):
xagiwo в сообщении #1521958 писал(а):
Может, рассказать ТСу про связанные/свободные переменные?
Рассказывайте. Это лучше, чем невнятные "постоянные" и "переменные" в невнятных обсуждениях типа того, какие значения может принимать $x$ в формуле $x\in\{x\}$.

А вот, между прочим, я так и не понял, какие значения он может принимать в этой формуле. У меня в молодости был один знакомый, который говорил: "Ты не так живёшь!" - Я спрашивал: "А как надо жить? -- "Тебе ещё объяснять?"

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4680
Vladimir Pliassov
Мне всё это обсуждение кажется недостаточно внятным, поэтому я не очень хочу его комментировать.
Скажу лишь, что в формулу $x\in\{x\}$ можно подставить вместо $x$ любой объект <который в принципе может быть элементом множества>, и она будет верной.
Можно сказать, что справедливо $\forall x,\,x\in\{x\}$.
Можно, конечно, зафиксировать $x$, тогда $\{x\}$ будет фиксированным множеством, а $x\in\{x\}$ верным утверждением. Тогда вместо $x$ уже не нужно ничего подставлять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 21:35 
Заслуженный участник


31/12/05
1509
Надо различать определения и утверждения. Определения вводят новые символы, утверждения говорят что-то о существующих.

«Пусть $x\in\mathbf{Z}$» вводит новый символ $x$.
«Пусть $X=\{a,b,c\}$» вводит сразу четыре новых символа - множество $X$ из трёх элементов и имена этих трёх элементов. Чему равны $a$, $b$ и $c$, не оговаривается, потому что их свойства дальше использоваться не будут, только тот факт, что они различны, поэтому, если читателю зачем-то необходимо, он может сам придумать для них значения, например, $1,2,3$ или $\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}$.
«$x\in\{x\}$» не вводит нового символа, а утверждает что-то о ранее введённом символе $x$. Вот там, ранее, и надо искать информацию о том, какие значения может принимать $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 22:24 


21/04/19
1210
beroal в сообщении #1521989 писал(а):
В выражении $\exists e(\phi)$ ($\phi$ — какая-нибудь логическая формула, например, $e\in A$), $e$ всегда переменная. Синтаксис не разрешает использовать там литерал или выражение.

Кстати, $\exists e(\phi)$ может писаться как $(\exists e)\phi$ или $(\exists e)(\phi)$. А я предпочитаю писать его как $\exists e, \phi$.

Спасибо, все понятно. Немного смущает только то, что не разрешается использовать при $\exists$ выражение, в том смысле, что мне это и в голову не приходило, а теперь я думаю, как бы можно было это себе представить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 22:37 
Аватара пользователя


23/12/18
430
Я, кажеця, проследил хронологию преступления:
  1. Приходит tolstopuz и задаёт множество $X$ вместе с его элементами $a, b, c, d, e$
    tolstopuz в сообщении #1521650 писал(а):
    Пусть $X=\{a,b,c,d,e\}$
  2. С муками Vladimir Pliassov формулирует некоторое достаточное условие неравенства двух множеств, имея ввиду заданное tolstopuzом $e$:
    Vladimir Pliassov в сообщении #1521924 писал(а):
    $$e\notin A, e\in E\to A\ne E,$$
  3. Приходит Pphantom и предлагает использовать кванторы.
  4. Vladimir Pliassov ставит квантор над $e$, а никто и не против.
  5. Vladimir Pliassov не понимает, что значит $e$.

-- 09.06.2021, 22:47 --

Короче, либо мы забываем про то, что множество $X$ и $a, b, c, d, e$ у нас вообще были и считаем, что вне формулы $\exists e \,(e \notin A, e \in E)$ буква $e$ не встречается нигде(то есть совсем нигде), и тогда это формула значит просто "мы можем подставить что-то вместо $e$ так, чтобы выражение $e \notin A, e \in E$ стало истинным" и всё, вроде, хорошо

Либо мы оставляем $X, a, b, c, d, e$ и не пишем $\exists e \,(e \notin A, e \in E)$ вообще и заменяем его чем-нибудь вроде $\exists t \,(t \notin A, t \in E)$.

Предлагаю второй вариант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 22:56 


21/04/19
1210
tolstopuz в сообщении #1522005 писал(а):

«Пусть $X=\{a,b,c\}$» вводит сразу четыре новых символа - множество $X$ из трёх элементов и имена этих трёх элементов. Чему равны $a$, $b$ и $c$, не оговаривается, потому что их свойства дальше использоваться не будут, только тот факт, что они различны, поэтому, если читателю зачем-то необходимо, он может сам придумать для них значения, например, $1,2,3$ или $\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}$.

Это Вы меня проверяете? $a, b, c$ не обязательно различны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4680
Vladimir Pliassov в сообщении #1522022 писал(а):
Это Вы меня проверяете? $a, b, c$ не обязательно различны.
Ну, я выше говорил так: из утверждения $X=\{a,b,c\}$ логически не следует различность $a,b,c$, но она может подразумеваться автором.
tolstopuz это конкретизирует, когда именно такое происходит: если автор пишет "Пусть $X=\{a,b,c\}$" (т.е. объекты $X,a,b,c$ никогда ранее не упоминались и впервые вводятся этой фразой), то он обычно подразумевает, что $a,b,c$ различны.
Пожалуй, это вопрос соглашений, и в таком соглашении есть резон.
Важно здесь то, что если равенство $X=\{a,b,c\}$ записано в другом контексте, то в нём, понятное дело, $a,b,c$ не обязательно различны.

-- 09.06.2021, 23:17 --

К слову, само слово "пусть" в математическом тексте свидетельствует, что он записан не абсолютно строго, и поэтому в нём могут подразумеваться какие-то неформальные соглашения.

Абсолютно строгий математический текст (на уровне мат.логики) не содержит слов вообще, только символы.
Такие тексты всем хороши, кроме одного: их невозможно читать.
Поэтому математики работают всё-таки с читаемыми текстами, где есть слова и неформальные соглашения. Эти соглашения, обычно, даже не требуется формулировать, их понимание приходит с опытом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 23:25 


21/04/19
1210
Я опять дал маху.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 23:33 
Аватара пользователя


23/12/18
430
Vladimir Pliassov в сообщении #1521948 писал(а):
Достаточно. Тогда в выражении

$$(\exists e \; \; e\notin A, e\in E)\to A\ne E$$
$e$ это постоянный объект?

А у Вас останется этот вопрос, если заменить это выражение на $(\exists t \; \; t\notin A, t\in E)\to A\ne E$? Просто если нет, то достаточно сказать, что нехорошо засовывать сразу после квантора что-то, что имеет определённый смысл вне этого квантора — это то же самое, что написать $\exists 2 \; \;2\cdot2=4$. Не понятно, что в таком случае вообще значит квантор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 23:46 
Заслуженный участник


31/12/05
1509
xagiwo в сообщении #1522017 писал(а):
Приходит tolstopuz и задаёт множество $X$ вместе с его элементами $a, b, c, d, e$
tolstopuz в сообщении #1521650 писал(а):
Пусть $X=\{a,b,c,d,e\}$
Все намного смешнее. Началось с поста ТС:
Vladimir Pliassov в сообщении #1520409 писал(а):
Пусть нам дана совокупность $M$ множеств $X, Y$: $M=\{X, Y\}$, где $X=\{a, b, c\},\; Y=\{d, e, f, g\}$, и при этом $c=d$.
Мы все хором убеждали его, что надо сначала определить $a,b,c,d,e,f,g$, и когда почти убедили, я нашел в "Топологии без слез" аналогичный пример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение09.06.2021, 23:54 
Аватара пользователя


23/12/18
430
tolstopuz
Но это уже слабо связано с текущей ситуацией. Я-то к тому, что никто, кажется, не заметил, что ТС поставил квантор там, где ему лучше бы не быть и из-за этого могло возникнуть недопонимание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение10.06.2021, 00:49 
Заслуженный участник


31/12/05
1509
Vladimir Pliassov в сообщении #1522022 писал(а):
tolstopuz в сообщении #1522005 писал(а):
«Пусть $X=\{a,b,c\}$» вводит сразу четыре новых символа - множество $X$ из трёх элементов и имена этих трёх элементов
Это Вы меня проверяете? $a, b, c$ не обязательно различны.
Вы опять ходите по кругу.
Vladimir Pliassov в сообщении #1521835 писал(а):
tolstopuz в сообщении #1521650 писал(а):
Цитата:
Пусть $X=\{a,b,c,d,e\}$ и $\mathcal{T}_2=\{X,\emptyset,\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}\}$. Тогда $\mathcal{T}_2$ не является топологией на $X$, так как объединение $\{c,d\}\cup\{a,c,e\}=\{a,c,d,e\}$ двух членов $\mathcal{T}_2$ не принадлежит $\mathcal{T}_2$
Сколько элементов во множестве $X$? Приведите пример элемента этого множества.
В множестве $X$ по результатам голосования пять элементов. Пример элемента: $a$.
Вы пробовали читать какие-нибудь книги? Давайте перейдем от пустых рассуждений к разбору реального математического текста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение10.06.2021, 01:32 


21/04/19
1210
xagiwo в сообщении #1522017 писал(а):
Либо мы оставляем $X, a, b, c, d, e$ и не пишем $\exists e \,(e \notin A, e \in E)$ вообще и заменяем его чем-нибудь вроде $\exists t \,(t \notin A, t \in E)$.

Предлагаю второй вариант.

Если
Vladimir Pliassov в сообщении #1521983 писал(а):
$\exists \,e$ означает "среди всевозможных объектов есть объект $e$, который ..."

то написать

$$(\exists e\;e\notin A\wedge e\in E)\to A\ne E?$$
это то же самое, что написать

$$(\exists e\in \mathbb U\;e\notin A\wedge e\in E)\to A\ne E,$$
где $\mathbb U$ самый общий универсум. Но даже если написать

$$(\exists e\in X\;e\notin A\wedge e\in E)\to A\ne E$$
(не знаю, надо ли поставить запятую после $X$), то это будет слишком много, так как в ситуации $X=\{a, b, c, d, e\}$, которая нам дана изначально, и так ясно, что $e\in X$, так что надо убрать $\in X$. Квантор тоже надо убрать, потому что и так ясно, что $\exists\, e$, раз оно находится в множестве $X$. Останется

$$e\notin A\wedge e\in E\to A\ne E.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение10.06.2021, 01:38 
Аватара пользователя


23/12/18
430
Vladimir Pliassov
Забудьте. Лучше ответьте tolstopuz

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества и объекты
Сообщение10.06.2021, 01:46 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Vladimir Pliassov в сообщении #1522039 писал(а):
где $\mathbb U$ самый общий универсум
Нет такого понятия. Не буду даже просить вас его определить. Вы ответите что-то вроде: «Ну, это вообще всё!».

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 273 ]  На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ... 19  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group