Множества и объекты

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521795 писал(а):

"Отождествляем" -- не в том смысле, что "считаем, будто между объектом и его именем нет разницы" -- она, конечно, есть, -- а в том смысле, что, работая с объектами, не принимаем эту разницу во внимание (если только в нашей работе мы не рассматриваем эту разницу).

Неправда. Просто, встречая имя объекта, мы автоматически думаем о самом объекте, так как нас интересуют именно объекты, а не их имена. А об именах мы начинаем вспоминать совсем в других ситуациях.

Я не понимаю причину ваших затруднений: уже больше 18 страниц Вам это разъясняют и никак не разъяснят, хотя всё очень просто: объект — это нечто вне нас, а то, что мы произносим или пишем, говоря об объекте — это не сам объект, а его имя. Я уже давно убеждён, что Вы ваньку валяете.

[Vladimir Pliassov]

Мне льстит, что Вы так думаете.

Что касается предмета, то Вы ведь говорите то же самое, что и я, хотя другими словами:

у меня:

Vladimir Pliassov в сообщении #1521795 писал(а):

работая с объектами, не принимаем эту разницу во внимание

у Вас:

Someone в сообщении #1521807 писал(а):

встречая имя объекта, мы автоматически думаем о самом объекте, так как нас интересуют именно объекты, а не их имена.

(эти Ваши слова очень хорошо поясняют, что я имел в виду)

у меня:

Vladimir Pliassov в сообщении #1521795 писал(а):

(если только в нашей работе мы не рассматриваем эту разницу).

у вас:

Someone в сообщении #1521807 писал(а):

А об именах мы начинаем вспоминать совсем в других ситуациях.

-- 08.06.2021, 20:05 --

Someone в сообщении #1521630 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521621 писал(а):

Нет, при $x\in\mathbb{N}$. $x$ принимает бесконечное число значений, но при $x\in \{x\}$ только одно.

Какое именно "одно"?

Не могли бы Вы сами ответить на этот вопрос прямым текстом? (Я попытался, но мой ответ не был признан удовлетворительным, я не понимаю, что здесь имеется в виду.)

[beroal]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521771 писал(а):

Спасибо! Вообще, я думаю, тексты подобных сообщений должны входить в учебники -- причем полностью, -- чтобы читателю было понятно, о чём идёт речь., но авторы очень боятся написать что-нибудь лишнее, и дают почти только самую необходимую информацию, которая понятна только тем, кто и так все это знает.

Дело может быть в том, что общая топология не для начинающих, а неначинающий уже знает всё, что нужно для чтения книги.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521828 писал(а):

Вы ведь говорите то же самое, что и я, хотя другими словами:

Нет. Рассуждать об объекте и не принимать во внимание разницу между объектом и его именем — это не одно и то же.

Vladimir Pliassov в сообщении #1521828 писал(а):

Не могли бы Вы сами ответить на этот вопрос прямым текстом?

Я об этом писал, и не вижу смысла повторять. Пользы не было и не будет.

[Vladimir Pliassov]

Во всяком случае, я имел в виду то же, что и Вы.

-- 08.06.2021, 20:54 --

tolstopuz в сообщении #1521650 писал(а):

Цитата:

Пусть $f$ - функция из множества целых чисел $\mathbf{Z}$ в себя, заданная формулой $f(z)=|z|$ для любого $z\in\mathbf{Z}$.

Какова область определения функции $f$? Сколько в ней элементов? Приведите пример элемента этого множества.

Область определения функции $F$ -- множество целых чисел, область значений -- множество неотрицательных целых чисел, оба множества бесконечны. Пример элемента первого множества: $-1$, пример элемента второго множества: $ 1$.

tolstopuz в сообщении #1521650 писал(а):

Цитата:

Пусть $X=\{a,b,c,d,e\}$ и $\mathcal{T}_2=\{X,\emptyset,\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}\}$. Тогда $\mathcal{T}_2$ не является топологией на $X$, так как объединение $\{c,d\}\cup\{a,c,e\}=\{a,c,d,e\}$ двух членов $\mathcal{T}_2$ не принадлежит $\mathcal{T}_2$

Сколько элементов во множестве $X$? Приведите пример элемента этого множества.

В множестве $X$ по результатам голосования пять элементов. Пример элемента: $a$.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1521721 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521720 писал(а):

$\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}$ это не обозначения элементов множества $\mathcal T_2$, а сами элементы, и потому они различны по определению?

...

Мы общими усилиями выяснили, что $|X|=5$ и $a,b,c,d,e$ попарно различны. Задайте себе несколько вопросов и ответьте на них.

Верно ли, что $\{a\}=\{c,d\}$? Почему?
Верно ли, что $\{a\}=\emptyset$? Почему?
Верно ли, что $\{a,c,e\}=\{b,c,d\}$? Почему?

$\{a\}\ne \{c,d\}$, потому что $a\ne c$.

$\{a\}\ne \varnothing$, так как $a$ это элемент, который не является множеством, а $\varnothing$ это множество.

$\{a,c,e\}\ne \{b,c,d\}$, потому что $a\ne b$.

-- 08.06.2021, 21:51 --

beroal в сообщении #1521833 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521771 писал(а):

Спасибо! Вообще, я думаю, тексты подобных сообщений должны входить в учебники -- причем полностью, -- чтобы читателю было понятно, о чём идёт речь., но авторы очень боятся написать что-нибудь лишнее, и дают почти только самую необходимую информацию, которая понятна только тем, кто и так все это знает.

Дело может быть в том, что общая топология не для начинающих, а неначинающий уже знает всё, что нужно для чтения книги.

Нет, я имею в виду учебники вообще, например, Гельфанда.

-- 08.06.2021, 22:02 --

beroal в сообщении #1521761 писал(а):

beroal в сообщении #1521711 писал(а):

Автор не уточнил, что в этих примерах строчные латинские буквы есть литералы. Причём в дальнейших примерах — переменные.

Похоже, что строчные латинские буквы из начала алфавита (примерно до $f$) у автора книги являются литералами, а остальные — переменными. Потому что в дальнейших примерах он использует $n$, $r$, $x$ явно в качестве переменных. Я догадался об этом, потому что, автор утверждает, что

$$\{c, d\}\cup \{a, c, e\}\not\in \{X, \varnothing, \{a\}, \{c, d\}, \{a, c, e\}, \{b, c, d\}\},$$

но это ложно, если $c=d$. Умение угадывать, что автор подразумевал, очень ценно при чтении книг по математике. Хотя я бы на его месте использовал натуральные числа и тем устранил бы неоднозначность на корню.

То есть Вы написали бы:

$$\{3, 4\}\cup \{1, 3, 5\}\not\in \{X, \varnothing, \{1\}, \{3, 4\}, \{1, 3, 5\}, \{2, 3, 4\}\}?$$

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521840 писал(а):

$\{a\}\ne \{c,d\}$, потому что $a\ne c$.

По вашей логике получается, что $\{a\}=\{a,d\}$, потому что $a=a$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1521840 писал(а):

$\{a\}\ne \varnothing$, так как $a$ это элемент, который не является множеством, а $\varnothing$ это множество.

Это вообще что-то непонятное. Получается, что $\{a\}\ne\{a\}$, так как слева $a$ - элемент, который не является множеством, в справа $\{a\}$ - это множество.

Vladimir Pliassov в сообщении #1521840 писал(а):

$\{a,c,e\}\ne \{b,c,d\}$, потому что $a\ne b$.

По вашей логике получается, что $\{a,c,e\}=\{a,c,d\}$, потому что $a=a$. И что $\{a,c,e\}\ne\{e,c,a\}$, потому что $a\ne e$.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1521851 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521840 писал(а):

$\{a\}\ne \{c,d\}$, потому что $a\ne c$.

По вашей логике получается, что $\{a\}=\{a,d\}$, потому что $a=a$.

Почему? Разве

$$(a\ne c\to \{a\}\ne \{c,d\})\to (a=a\to \{a\}=\{a, d\})?$$

Я, конечно, мог бы просто сказать, что в первом множестве один элемент, а во втором два, так что они не могут быть равны друг другу, но ведь и, поскольку $a\ne c$, и они входят в разные множества, эти множества не могут быть равны.

tolstopuz в сообщении #1521851 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521840 писал(а):

$\{a\}\ne \varnothing$, так как $a$ это элемент, который не является множеством, а $\varnothing$ это множество.

Это вообще что-то непонятное. Получается, что $\{a\}\ne\{a\}$, так как слева $a$ - элемент, который не является множеством, в справа $\{a\}$ - это множество.

Я это написал? Значит, я сошел с ума. Они не равны, потому что первое содержит элемент $a$, а второе не содержит ни одного.

tolstopuz в сообщении #1521851 писал(а):

Vladimir Pliassov в

[quote="Vladimir Pliassov в сообщении #1521840 писал(а):

$\{a,c,e\}\ne \{b,c,d\}$, потому что $a\ne b$.

По вашей логике получается, что $\{a,c,e\}=\{a,c,d\}$, потому что $a=a$. И что $\{a,c,e\}\ne\{e,c,a\}$, потому что $a\ne e$.

Здесь я тоже мог бы сказать, что первое множество содержит элемент $a$, а второе его не содержит, поэтому они не равны.

Но, опять же, разве

$$(a\ne b\to \{a,c,e\}\ne \{b,c,d\})\to (a=a\to \{a,c,e\}=\{a,c,d\})?$$

А

$$a\ne b\to \{a,c,e\}\ne \{b,c,d\},$$

потому что, поскольку в первом множестве есть элемент, которого нет во втором, множества не могут быть равны.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521869 писал(а):

Здесь я тоже мог бы сказать, что первое множество содержит элемент $a$, а второе его не содержит, поэтому они не равны.

Отличное объяснение для всех трех случаев.

Vladimir Pliassov в сообщении #1521869 писал(а):

Но, опять же, разве

$$(a\ne b\to \{a,c,e\}\ne \{b,c,d\})\to (a=a\to \{a,c,e\}=\{a,c,d\})?$$

1. Читаю у вас: $\{a,c,e\}\ne \{b,c,d\}$, потому что $a\ne b$.
2. Пытаюсь восстановить вашу методику, прихожу к выводу, что вы берете первые попавшиеся элементы из каждого множества, сравниваете их и на основании результата сравнения делаете вывод о равенстве или неравенстве множеств.
3. Применяю ее в другой ситуации: $a=a\to \{a,c,e\}=\{a,c,d\}$.

Если я ошибся в пункте 2, поправьте. Расскажите, чем вы на самом деле руководствовались в пункте 1.

[Vladimir Pliassov]

Нет, Вы не ошиблись в пункте 2, я именно так и делаю.

Но относительно пункта 3: из неравенства хотя бы двух элементов следует неравенство множеств, но из равенства двух элементов при наличии других элементов, кроме сравниваемых, не следует равенство множеств.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521871 писал(а):

из неравенства хотя бы двух элементов следует неравенство множеств

То есть $\{a,c,e\}\ne\{e,c,a\}$, потому что $a\ne e$.

[beroal]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521840 писал(а):

То есть Вы написали бы:

$$\{3, 4\}\cup \{1, 3, 5\}\not\in \{X, \varnothing, \{1\}, \{3, 4\}, \{1, 3, 5\}, \{2, 3, 4\}\}?$$

да

Vladimir Pliassov в сообщении #1521869 писал(а):

Здесь я тоже мог бы сказать, что первое множество содержит элемент $a$, а второе его не содержит, поэтому они не равны.

Выше правильный способ доказывать, что множества не равны. То, как вы писали раньше:

Vladimir Pliassov в сообщении #1521840 писал(а):

$\{a\}\ne \{c,d\}$, потому что $a\ne c$.

то есть находить пару различных элементов, первый из которых принадлежит левому множеству, а второй — правому, чревато ошибками. Например, $1\neq 2$, но это не значит, что $\{1, 2\}\neq \{2, 1\}$.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1521874 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521871 писал(а):

из неравенства хотя бы двух элементов следует неравенство множеств

То есть $\{a,c,e\}\ne\{e,c,a\}$, потому что $a\ne e$.

При изменении порядка имён элементов в записи множества оно остаётся тем же, так что

$$ \{a,c,e\}=\{e,c,a\}$$

и

$$a\ne e \not \to \{a,c,e\}\ne\{e,c,a\}.$$

-- 09.06.2021, 13:24 --

beroal в сообщении #1521875 писал(а):

То, как вы писали раньше:

Vladimir Pliassov в сообщении #1521840 писал(а):

$\{a\}\ne \{c,d\}$, потому что $a\ne c$.

то есть находить пару различных элементов, первый из которых принадлежит левому множеству, а второй — правому, чревато ошибками. Например, $1\neq 2$, но это не значит, что $\{1, 2\}\neq \{2, 1\}$.

А, понял! Надо так:

$$a\in A, e\notin A, e\in E\to A\ne E.$$

И ещё:

$$a\in A, e\notin A\to a\ne e.$$

[Vladimir Pliassov]

То есть надо все-таки так:

$$e\notin A, e\in E\to A\ne E,$$

потому что $a\in A, e\in E, a\ne e\not \to A\ne E.$

И ещё:

$$a\in A, e\notin A\to a\ne e.$$

[Nemiroff]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521924 писал(а):

$$a\in A, e\in E, a\ne e\to A\ne E.$$

$$1\in\{1,2\}, 2\in\{1,2\}, 1\neq 2 \to \{1,2\}\neq\{1,2\}$$