Кострикин. Курс алгебры, задачник

[Sinoid]

vpb в сообщении #1515114 писал(а):

(Если еще вдруг не решили)

Да, не решил.

-- 21.04.2021, 22:14 --

vpb в сообщении #1515114 писал(а):

Сначала подумайте, почему произведение двух транспозиций не может быть 4-циклом,

Пусть (a_{1},\, a_{2})(a_{3},\, a_{4})=\begin{pmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4}\\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & a_{1} \end{pmatrix}$. Оставим в стороне несовпадение левой и правой части этого равенства после выполнения умножения в левой части этого "равенства": нам ведь нужно через количество инверсий. Вот в этом-то и будет несовпадение, ибо в левой части их 2, а в правой - уже 3.

-- 21.04.2021, 22:23 --

vpb в сообщении #1515114 писал(а):

почему поизведение трех (или двух) 5-циклом

Точно потому же.

-- 21.04.2021, 22:29 --

А у цикла длины $n$ декремент равен $n-1$ и он имеет столько же инверсий.

[vpb]

Sinoid в сообщении #1515222 писал(а):

ибо в левой части их 2, а в правой - уже 3.

Нет, это не так. Транспозиция может иметь сколько угодно инверсий. Скажем, $(1,2)$ имеет одну инверсию, а $(1,3)$ --- три. Тип разложения подстановки на циклы с количеством инверсий слабо связан, вообще говоря.

Sinoid в сообщении #1515222 писал(а):

нам ведь нужно через количество инверсий.

Нет, нам этого не нужно. (В задачах вообще часто не предполагается какого-то определенного пути решения.) И количество инверсий в этой задаче вообще ни при чем.

[Sinoid]

vpb в сообщении #1515274 писал(а):

И количество инверсий в этой задаче вообще ни при чем.

А тогда что, непосредственное умножение? Выглядит малоаппетитно для хоть что-то обещающего обобщения.

-- 22.04.2021, 22:18 --

vpb в сообщении #1515114 писал(а):

Да, конечно. Середины всех отрезков, $l$-ю вершину с $(2m+1-l)$-й, лежат на одной прямой. Это совершенно очевидно, из картинки.

Вот только картинку это нужно нарисовать в уме. С абстрактным $l$ и не менее абстрактным $(2m+1-l)$.

[vpb]

Sinoid в сообщении #1515295 писал(а):

А тогда что, непосредственное умножение? Выглядит малоаппетитно для хоть что-то обещающего обобщения.

Это сами думайте, как её решать. Могу только сообщить, что на указание, которое в задачнике к ней дается, можно и не обращать внимания (по моему, оно вообще ни к селу, ни к городу).

Sinoid в сообщении #1515295 писал(а):

Вот только картинку это нужно нарисовать в уме. С абстрактным $l$ и не менее абстрактным $(2m+1-l)$.

Можно и на бумажке, но лучше в уме.

[Sinoid]

vpb в сообщении #1515332 писал(а):

Могу только сообщить, что на указание, которое в задачнике к ней дается, можно и не обращать внимания (по моему, оно вообще ни к селу, ни к городу).

Хоть от этого легче: вообще не знал, как это указание прикрутить к этой задаче.

[Sinoid]

vpb в сообщении #1515274 писал(а):

Нет, нам этого не нужно. ....... И количество инверсий в этой задаче вообще ни при чем.

Что пришло в голову. Вспомнил указание к задаче 3.13:

Фух... Пусть, как и выше,

Sinoid в сообщении #1515222 писал(а):

$(a_{1},\, a_{2})(a_{3},\, a_{4})=\begin{pmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4}\\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & a_{1} \end{pmatrix}$

Для того, чтобы произведение слева образовало цикл, необходимо, чтобы у этих транспозиций был 1 общий элемент (если общих элементов будет 2, эти транспозиции совпадут и их произведение станет равным $E$). Но тогда слева будет 3-цикл, а справа, как и прежде по предположению, - 4-цикл. Противоречие.

[vpb]

Sinoid в сообщении #1515444 писал(а):

Для того, чтобы произведение слева образовало цикл, необходимо, чтобы у этих транспозиций был 1 общий элемент (если общих элементов будет 2, эти транспозиции совпадут и их произведение станет равным $E$). Но тогда слева будет 3-цикл, а справа, как и прежде по предположению, - 4-цикл. Противоречие.

Верно, но рассуждение от противного излишне. Просто: если у двух транспозиций оба элемента общие, то это одна и та же транспозиция, и произведение --- тождественная подстановка; если один общий элемент, то произведение --- 3-цикл; а если нет общих элементов, то представление произведения в виде независимых циклов из этих двух транспозиций и состоит.

[Sinoid]

vpb в сообщении #1515506 писал(а):

Просто: если у двух транспозиций оба элемента общие, то это одна и та же транспозиция, и произведение --- тождественная подстановка; если один общий элемент, то произведение --- 3-цикл; а если нет общих элементов, то представление произведения в виде независимых циклов из этих двух транспозиций и состоит.

Так это получается, чтобы произведение произвольного количества транспозиций было циклом, у них непременно должен быть общий элемент?

[arseniiv]

Нет, вот контрпример (и вообще серия контрпримеров):

               () =
1 2 3 4 5 6
               применим (12)
2 1 3 4 5 6
               применим (23)
3 1 2 4 5 6
               применим (34)
4 1 2 3 5 6
               применим (45)
5 1 2 3 4 6
               применим (56)
6 1 2 3 4 5
               = (654321)

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1515550 писал(а):

Нет

Спасибо. Да, хороший контрпример. Тогда не знаю, как.

-- 24.04.2021, 21:36 --

В вашем контрпримере общие элементы у соседних транспозиций.

[arseniiv]

Это так, но мы можем исхитриться:

               () =
1 2 3 4 5 6
               применим (12)
2 1 3 4 5 6
               применим (23)
3 1 2 4 5 6              ↕ коммутируют
               применим (45)
3 1 2 5 4 6
               применим (56)
3 1 2 6 4 5
               применим (36)
6 1 2 3 4 5
               = (654321)

-- Сб апр 24, 2021 22:47:41 --

То есть когда мы умножаем перестановку на транспозицию, у нас всего-то несколько возможностей (с точки зрения изменения в составе циклов):

☙ переставляемые элементы входят в один и тот же цикл перестановки
☙ переставляемые элементы входят в два разных цикла перестановки
☙ один элемент — неподвижная точка перестановки
☙ оба элемента неподвижные точки

— чего бы их не рассмотреть и всё.

Мне лень соображать, но два последних случая должны по идее прекрасно учитываться во втором, если не забывать, что каждая неподвижная точка — это свой отдельный 1-цикл (и мы их не пишем в цикловой записи просто для удобства). Но может быть длина 1 этих циклов что-то портит. Ах, простуда.

[Sinoid]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1515554 писал(а):

Ах, простуда.

Скорейшего выздоровления!

arseniiv в сообщении #1515554 писал(а):

☙ переставляемые элементы входят в один и тот же цикл перестановки
☙ переставляемые элементы входят в два разных цикла перестановки
☙ один элемент — неподвижная точка перестановки

Вы же тут, говоря "цикл" имеете ввиду транспозицию, а, говоря "перестановка" имеете ввиду цикл?

-- 24.04.2021, 22:36 --

arseniiv в сообщении #1515554 писал(а):

— чего бы их не рассмотреть и всё.

А, так, нет же, ИМХО: циклы-то независимы и поэтому они перестановочны, а транспозициям никто не запрещает иметь общие элементы, так что их перестановочность - не факт. Или я что-то не так понимаю?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Спасибо! Вроде лёгкая, должна скоро сойти, но всё такая же неприятная.

Sinoid в сообщении #1515557 писал(а):

Вы же тут, говоря "цикл" имеете ввиду транспозицию, а, говоря "перестановка" имеете ввиду цикл?

Нееет, почему?

Sinoid в сообщении #1515557 писал(а):

А, так, нет же, ИМХО: циклы-то независимы и поэтому они перестановочны, а транспозициям никто не запрещает иметь общие элементы, так что их перестановочность - не факт.

Да, вот потому мы можем выкинуть все циклы, которые не перестановочны с транспозицией, и останется один или два цикла, и вот с ними-то мы и разберёмся! Можно было бы подумать: а вдруг мы получим после умножения этих циклов на транспозицию такую перестановку, которая не перестановочна с остальными циклами, которые мы отложили в сторону? Но нам должно повезти по очевидным причинам. Так что я не совсем понял вопрос.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1515564 писал(а):

Нееет, почему?

Я, вообще-то думал, что мы пока обсуждаем только циклы:

vpb в сообщении #1515114 писал(а):

Сначала подумайте, почему произведение двух транспозиций не может быть 4-циклом, потом --- почему поизведение трех (или двух) 5-циклом, а потом общий случай.

-- 25.04.2021, 16:12 --

arseniiv в сообщении #1515564 писал(а):

Так что я не совсем понял вопрос.

Я это писал к тому, что, если какие-нибудь соседние транспозиции не имеют общего элемента, то их не получится соединить в цикл длиной больше 2. Ну, да, я уже понял, что, если какая-либо транспозиция окружена с обоих сторон другими транспозициями, не имеющих с ней общих элементов, то данную транспозицию можно в этом разложении цикла в произведение транспозиций поменять местами как с левым, так и с правым ее соседом и, возможно, проделав это несколько раз, передвинуть эту транспозицию в такое положение, в котором у соседней с ней слева или справа транспозиции будет общий с ней элемент, а потом эти, к тому времени уже соседние, транспозиции с общими элементами можно соединить в 3-циклы, далее, точно таким же образом, подгоняем, если нужно, к полученным уже таким образом 3-циклам другие транспозиции, имеющие с этими циклами общие элементы, объединяем эти циклы с этими элементами в еще бо́льшие циклы, и т. д., до получения одного цикла. Верно?

[arseniiv]

Как-то так, да.

Какая-то часть этого прошла в своё время мимо меня, и вчера я с удовлетворением заметил, что при умножении перестановки на цикл (включая транспозицию и тривиальную перестановку) мы просто расставляем в её цикловой записи «порталы» перед элементами, входящими в этот цикл, которые ведут один к другому, и после нам надо просто переклеить цикловую запись в обычную.

$$(1 4 8 3 2) (6 5 7) \cdot (4 5 3) = (1 {}_4|_5 4 8 {}_3|_4 3 2) (6 {}_5|_3 5 7) = (1 3 2) (8 5 7 6 4)$$

(Нотация такая: когда мы подходим к палке слева, мы должны выйти из палки, имеющей то же число в индексе справа от неё, как слева в индексе от этой.)