Пытаясь понять вчера и сегодня
а что собственно я считал под видом

, наткнулся на пробел в рассуждениях
Батороева,
не ошибку, а именно пропущенное обоснование перехода, точнее метода построения функции

. Попытаюсь восполнить этот пробел в меру своего понимания.
При выводе/выдумывании формулы для

опираемся на два факта:
1) функция

выдаёт количество взаимно простых с

пар чисел с разницей в 2 между ними (доказательство метода расчёта этой функции как произведения также отсутствует, хотя возможно имеется где-то в другом месте, но мне для понимания достаточно численного совпадения);
2) оба числа в таких парах до

гарантированно простые (это доказывается легко);
и одну
гипотезу (недоказанную и очевидно неверную):
3) распределение взаимно простых с

пар
достаточно равномерно в каждом/любом малом относительно

интервале.
Из этих трёх оснований для получения количества простых пар близнецов до

считаем количество взаимно простых с

пар, что легко выдаёт

, переводим в плотность таких пар беря отношение количества к интервалу

и домножаем на интересующий нас интервал

. Если бы 3) выполнялось строго для любых

и

, то получили бы точное (с погрешностью типа

) число простых близнецов, но реально получаем число с некоторой бОльшей погрешностью, которую в интервале до

я и проверил выше.
Другими словами можно сказать что

пытается оценить количество взаимно простых с

пар чисел, не превышающих

, оба числа в которых являются гарантированно простыми. Т.е. простых близнецов.
Дополнительным источником ошибок служит пропуск простых близнецов до

так как они оказываются не взаимно просты с

и в общее количество не попадают, что и отмечено автором буквально через строку после (1) с обозначением (3). Т.е. фактически
считает оценивает количество простых близнецов в интервале

.
PS. Надеюсь нигде не накосячил.
PPS. Функция

(точнее от номера простого) представлена в OEIS:
A059861, можно попробовать поискать по ссылкам там её нормальное доказательство. Общеизвестного названия функции там не углядел.