2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 39  След.
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение20.03.2021, 20:29 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ещё можете доказать более общую теорему: доказать равномощность $[n) ^ X$, где $[n)$ — множество из $n$ элементов ($n$ — натуральное), а более конкретно $\{0, \ldots, n - 1\}$, и множества всех наборов $(X_0, \ldots, X_n)$ таких, что $X = X_0 \supset \ldots \supset X_n = \varnothing$; смысл этих наборов в том, что они задают «мультиподмножества» $X$ с менее чем $n$ элементами: $X_m$ говорит, какие элементы $X$ в такое мультимножество входят ${} \geqslant m$ раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение20.03.2021, 20:51 


03/06/12
2745
В ответе к 3.1, в) точно опечатка: там в ответ на перемножение двух подстановок пятой степени приведена подстановка шестой степени. И я даже могу сказать, откуда взята эта подстановка. Это - результат перемножения подстановок буквы г), взятых в обратном порядке.

-- 20.03.2021, 21:54 --

arseniiv в сообщении #1510231 писал(а):
$[n) ^ X$

А почему скобки разные с обеих сторон?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение20.03.2021, 21:12 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Это аллюзия к $[0; n)$ — если мы определим такие обозначения $[\ldots], [\ldots), (\ldots], (\ldots)$ промежутков для любого (частично) упорядоченного множества, то для $\mathbb Z$ мы получим, что $[0; n) = \{0, \ldots, n - 1\}$. Чтобы не путать с вещественными промежутками, можно такие обозначать как-то так: $[0; n)_{\mathbb Z}$. Но когда часто находишь себя в использовании левой границы, равной всегда одному и тому же нулю, тянет сократить обозначение до $[n)$ — и спутать с чем-то трудно, и наглядно, и коротко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение20.03.2021, 21:43 


03/06/12
2745
Ясно. Спасибо за разъяснение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение21.03.2021, 20:53 


03/06/12
2745
Проверьте, пожалуйста, решение задачи 3.5, г):
Определить число инверсий в последовательности 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2.
Имеем: 7 образует 6 инверсий, 5 - 4, 6 тоже 4 инверсии, 4 - 3 инверсии, 3 - 1. Итого - 18 инверсии, а в ответе - всего 14.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение21.03.2021, 21:22 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Тоже насчитал 18.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение21.03.2021, 21:56 


03/06/12
2745
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение23.03.2021, 13:19 


03/06/12
2745
Проверьте, плиз, решение 3.6, д):
Определить четность перестановки $\setcounter{MaxMatrixCols}{11}
\begin{pmatrix}
\vspace{-1em}&&&&&&&&&&\\
1 & 2 & 3 & \hdotsfor{6}& n-1 & n\\
2 & 4 & 6 & \ldots & 1 & 3 & 5 & \hdotsfor{4}
\end{pmatrix}$
Имхо, в этой задаче нужно рассматривать отдельно случаи четного и нечетного $n$.
1) $\fbox{n=2m}$. Тогда перестановка (хотя меня так и тянет назвать ее подстановкой после изучения высшей алгебры по Курошу) примет следующий вид: $\setcounter{MaxMatrixCols}{11}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & \ldots & m-1 & m & m+1 & m+2 & \ldots & 2m-1 & 2m\\
2 & 4 & 6 & \ldots & 2(m-1) & 2m & 1 & 3 & \ldots & 2m-3 & 2m-1
\end{pmatrix}$. Инверсии создают в этой перестановке только элементы, стоящие в первой половине нижней строки этой перестановки с элементами второй половины этой строки. Каждый элемент этой первой половины дает некоторое количество инверсий с элементами второй половины. Подсчитаем количество этих инверсий для каждого элемента первой половины нижней строки. Имеем: $\begin{matrix}2 & 1\\
4 & 2\\
6 & 3\\
\hdotsfor{2}\\
2(m-1) & m-1\\
2m & m
\end{matrix}$. Общее количество инверсий в этом случае есть $1+2+\ldots+m=\dfrac{m(m+1)}{2}$.
2) $\fbox{n=2m+1}$. Перестановка: $\setcounter{MaxMatrixCols}{11}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & \ldots & m-1 & m & m+1 & m+2 & \ldots & 2m & 2m+1\\
2 & 4 & 6 & \ldots & 2(m-1) & 2m & 1 & 3 & \ldots & 2m-1 & 2m+1
\end{pmatrix}$. Тут практически все так же, только инверсии дают не элементы первой половины нижней строки со второй ее половиной, а первые $m$ элементов этой строки с последующими $m$ элементами этой строки. По-хорошему, надо бы переписать случай $n=2m$ под этот случай. Ну, да, ладно. И, так же, как и выше, каждый из первых $m$ элементов этой строки дает определенное количество инверсий с последующими $m$ элементами этой строки. Таблица количества инверсий будет следующей: $\begin{matrix}2 & 1\\
4 & 2\\
6 & 3\\
\hdotsfor{2}\\
2(m-1) & m-1\\
2m & m
\end{matrix}$. Значит, общее количество инверсий будет таким же - $\dfrac{m(m+1)}{2}$. И вот тут-то самое оно и возникает. В ответе написано, что $(-1)^{\left[(n+2)/2\right]}$. Как в случае 1), так и в случае 2) $\left[\dfrac{n+2}{2}\right]=m+1$. Однако сравнение $\dfrac{m(m+1)}{2}\equiv m+1(\mod2)$ (для случая 1) ) выполняется как не для всех положительных (для случая 1) ), так и не для всех неотрицательных целых (для случая 2); 0 - натуральное или нет - под вопросом, поэтому здесь написал неотрицательных целых) $m$. Как думаете, это у меня ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение23.03.2021, 13:43 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Sinoid в сообщении #1510598 писал(а):
Как думаете, это у меня ошибка?

Нет, в задачнике. Это бывает. Это можно было сразу увидеть (если сомневались) на маленьких примерах, скажем $n=2,8$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение23.03.2021, 19:38 


03/06/12
2745
Вот тут:
vpb в сообщении #1510606 писал(а):
...Как в случае 1), так и в случае 2) $\left[\dfrac{n+2}{2}\right]=m+1$. Однако...

Имелось ввиду $\left\lfloor \dfrac{n+1}{2}\right\rfloor=m$.

-- 23.03.2021, 20:48 --

А вот так, на будущее. Довольно часто попадаются, например, суммы, в которых пределы - целые части чисел. Вот, допустим, мне попалась сумма с верхним пределом $\left\lfloor \dfrac{n}{3}\right\rfloor$, которую нужно вычислить. Это что, нужно рассматривать отдельно случаи $n=3n_{1}$, $n=3n_{1}+1$ и $n=3n_{1}+2$? Я понимаю, что формулировка вопроса довольно размыта, но все же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение23.03.2021, 20:06 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
В более позднем (4-м) издании задачника ошибку исправили.
Sinoid в сообщении #1510674 писал(а):
Это что, нужно рассматривать отдельно случаи $n=3n_{1}$, $n=3n_{1}+1$ и $n=3n_{1}+2$? Я понимаю, что формулировка вопроса довольно размыта, но все же.
Бывает надо отдельно рассматривать, бывает можно всё вместе, по разному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение23.03.2021, 20:30 


03/06/12
2745
vpb в сообщении #1510683 писал(а):
Бывает надо отдельно рассматривать,

Значит, все-таки возможно, что отдельно, а по-другому никак. А я думал, это дело в скудости моей фантазии. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение23.03.2021, 21:11 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sinoid
И ещё если вас значительно занесёт в преобразования выражений с разными суммированиями, целыми частями, остатками от деления, биномиальными коэффициентами, то довольно много материала по поводу таких преобразований (и упражнения тоже) есть в замечательной «Конкретной математике» Кнута, Грэма, Паташника. Про пределы суммирования с полом я не помню, но пол в самих слагаемых сумм рассматривается там весьма много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение23.03.2021, 23:31 


03/06/12
2745
arseniiv, о, спасибо большое за рекомендацию. Обязательно посмотрю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение26.03.2021, 14:37 


03/06/12
2745
Что-то не пойму с задачей 3.17:
Пусть $f_{ij}-$один из двучленов $x_i-x_j$ или $x_j-x_i$, где $i$ и $j-$ произвольные числа от 1 до $n$, $i<j$, и пусть $f(x_{1},\, x_{2},\ldots, x_{n})-$произведение всех этих двучленов. Доказать, что для любой перестановки $\sigma\in S_{n}$ $$f(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)})=(\operatorname{sgn}\sigma)\cdot f(x_{1},\ldots,x_{n})$$
В случае определителя Вандермонда все прекрасно доказывается. Но в этом доказательстве есть один момент, делающий его непригодным для случая произвольного $f(x_{1},\, x_{2},\ldots x_{n})$. Вот посмотрите, пожалуйста. Берем произведение ${\displaystyle \prod_{1\leqslant j<i\leqslant n}(x_{i}-x_{j})}$ (для удобства будем называть его определителем Вандермонда). Перестановка $\begin{equation}
\sigma=\begin{pmatrix}1 & 2 & \ldots & j & \ldots & i & \ldots & n\\
\sigma(1) & \sigma(2) & \ldots & \sigma(j) & \ldots & \sigma(i) & \ldots & \sigma(n)
\end{pmatrix}
\end{equation}
$
преобразует наш определитель в следующее выражение: ${\displaystyle \prod_{1\leqslant j<i\leqslant n}(x_{\sigma(i)}-x_{\sigma(j)})}$. Вот здесь-то и начинается кино. Ввиду сюръективности $\sigma$ и в исходном определителе присутствует множитель $x_{\sigma(i)}-x_{\sigma(j)}$, если пара $(j,\,i)$ (здесь и далее, для определенности $j<i$) не образует инверсии относительно перестановки $\sigma$: при этом будет $\sigma(j)<\sigma(i)$, а во всех скобках исходного определителя Вандермонда индекс уменьшаемого больше индекса вычитаемого. Наоборот, если пара $(j,\,i)$ образует инверсию относительно перестановки $\sigma$, то будет $\sigma(j)>\sigma(i)$ и в исходном определителе ввиду сформулированного выше соотношения между индексами переменных, являющимися уменьшаемым и вычитаемым, присутствует скобка $x_{\sigma(j)}-x_{\sigma(i)}$. В выражении же, полученном из исходного определителя Вандермонда перестановкой $\sigma$, будет скобка $x_{\sigma(i)}-x_{\sigma(j)}=-(x_{\sigma(j)}-x_{\sigma(i)})$. И это верно для любой пары $j,\,i$. Итак, мы получили, что каждая инверсия любой пары $j,\,i$ относительно перестановки $\sigma$ создает в произведении, получающемся из исходного определителя Вандермонда с помощью перестановки $\sigma$ скобку, отличающуюся только знаком от какой-то скобки в исходном определителе Ванедермонда (все, мной сделан первый шаг к Галуа :D). После чего утверждение задачи по отношению к определителям Вандермонда становится очевидным. А вот в случае произвольного $f(x_{1},\, x_{2},\ldots x_{n})$... Произведение ${\displaystyle f(x_{1},\, x_{2},\ldots x_{n})=\prod_{\begin{matrix}1\leqslant j,\, i\leqslant n\\
j\neq i
\end{matrix}}(x_{i}-x_{j})}$ преобразованием $\sigma=\begin{pmatrix}\ldots & j & \ldots & i & \ldots\\
\ldots & \sigma(j) & \ldots & \sigma(i) & \ldots
\end{pmatrix}$ переводится в произведение $\displaystyle \prod_{\begin{matrix}1\leqslant j,\, i\leqslant n\\
j\neq i
\end{matrix}}(x_{\sigma(i)}-x_{\sigma(j)})$. И, если в данном случае какая-нибудь пара $(j,\,i)$ образует инверсию относительно перестановки $\sigma$, то в этом случае уже ничто не запретит множителю $x_{\sigma(i)}-x_{\sigma(j)}$ входить как в произведение после преобразование, так и в исходное произведение: в этом случае какие-либо соотношения между индексами уменьшаемого и вычитаемого в каждой скобке исходного произведения просто-напросто отсутствуют.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 573 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 39  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group