Что-то не пойму с задачей 3.17:
Пусть один из двучленов или , где и произвольные числа от 1 до , , и пусть произведение всех этих двучленов. Доказать, что для любой перестановки В случае определителя Вандермонда все прекрасно доказывается. Но в этом доказательстве есть один момент, делающий его непригодным для случая произвольного
. Вот посмотрите, пожалуйста. Берем произведение
(для удобства будем называть его определителем Вандермонда). Перестановка
преобразует наш определитель в следующее выражение:
. Вот здесь-то и начинается кино. Ввиду сюръективности
и в исходном определителе присутствует множитель
, если пара
(здесь и далее, для определенности
) не образует инверсии относительно перестановки
: при этом будет
, а во всех скобках исходного определителя Вандермонда индекс уменьшаемого больше индекса вычитаемого. Наоборот, если пара
образует инверсию относительно перестановки
, то будет
и в исходном определителе ввиду сформулированного выше соотношения между индексами переменных, являющимися уменьшаемым и вычитаемым, присутствует скобка
. В выражении же, полученном из исходного определителя Вандермонда перестановкой
, будет скобка
. И это верно для любой пары
. Итак, мы получили, что каждая инверсия любой пары
относительно перестановки
создает в произведении, получающемся из исходного определителя Вандермонда с помощью перестановки
скобку, отличающуюся только знаком от какой-то скобки в исходном определителе Ванедермонда (все, мной сделан первый шаг к Галуа
). После чего утверждение задачи по отношению к определителям Вандермонда становится очевидным. А вот в случае произвольного
... Произведение
преобразованием
переводится в произведение
. И, если в данном случае какая-нибудь пара
образует инверсию относительно перестановки
, то в этом случае уже ничто не запретит множителю
входить как в произведение после преобразование, так и в исходное произведение: в этом случае какие-либо соотношения между индексами уменьшаемого и вычитаемого в каждой скобке исходного произведения просто-напросто отсутствуют.